Cálculos de probabilidad condicionada. Independencia de sucesos. Sucesos incompatibles.

ENUNCIADO. Considérense dos sucesos $A$ y $B$ asociados a una cierta experiencia aleatoria tales que $P(B)=\dfrac{1}{3}$, $P(A)=\dfrac{2}{5}$ y $P(\bar{A}|B)=\dfrac{2}{3}$. Averígüese si:
a) Averígüese si $A$ y $B$ son independientes
b) Averígüese si $A$ y $B$ son incompatibles
c) Calcúlese $P(A|\bar{B})$
d) Calcúlese $P(A \cup B)$

SOLUCIÓN.
a) Sabemos que $A$ y $B$ son independientes si y sólo si $P(A|B)=P(A)$ y $P(B|A)=P(B)$. Veamos si se cumple la condición necesaria; como $P(\bar{A}|B)=1-P(A|B)$, tenemos que $P(A|B)=1-P(\bar{A}|B)$, esto es, $P(A|B)=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3} \neq P(A)$, en consecuencia $A$ y $B$ no son independientes.

b) Para que $A$ y $B$ sean incompatibles se ha de cumplir que $P(A \cap B)=0$; sin embargo, $P(A\cap B)\overset{\text{def}}{=}P(A|B)P(B)=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{9}\neq 0$, luego $A$ y $B$ no son incompatibles.

c) $P(A|\bar{B})\overset{\text{def}}{=}\dfrac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}=\dfrac{P(A)-P(A\cap B)}{1-P(B)}=\dfrac{2/5-1/9}{1-1/3}=\dfrac{13}{20}$

d) $P(A \cup B)\overset{\text{inclusión-exclusión}}{=}P(A)+P(B)-P(A \cap B)=\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{28}{45}$

$\square$