Cálculos básicos con la distribución normal

ENUNCIADO. Considérese una variable aleatoria $X$ que sigue una distribución normal $N(16\,,\,2)$. Calcúlense las siguientes probabilidades:
a) $P\{X\le 18\}$
b) $P\{X\ge 14\}$
c) $P\{15\le X\le 17\}$
d) $P\{17\le X \le 18\}$


SOLUCIÓN.
a)
$P\{X\le 18\}\overset{(1)}{=}P\{Z\le 1\}=F(1)\overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=}0'8413$

Aclaraciones:
(1) Tipificación de la variable aleatoria $X$ $\rightarrow Z=\dfrac{X-16}{2}$, luego $18 \rightarrow \dfrac{18-16}{2}=1$

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b)
$P\{X\ge 14\}\overset{2}{=}1-P\{X \le 14 \} \overset{(3)}{=}1-P\{Z \le -1\}=$
  $=1-(1-P\{Z \le 1\})=P\{Z\le 1\} =F(1) \overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=}0'8413$

Aclaraciones:
(2) Al tratar con variables aletorias contínuas, recordemos que $P\{X \prec k\}=P\{X \le k\}$
(3) Tipificación de la variable aleatoria $X$ $\rightarrow Z=\dfrac{X-16}{2}$, donde $Z$ es $N(0,1)$; entonces $14 \rightarrow \dfrac{14-16}{2}=-1$

-oOo-

c)
$P\{15\le X\le 17\}\overset{(2)}{=}P\{X \le 17 \}-P\{X \le 15 \} \overset{(3)}{=}P\{Z \le 0'5\}-P\{Z \le -0'5\}\overset{(4)}{=}$
  $=P\{Z \le 0'5\}-(1-P\{Z \le 0'5\}) =2\,P\{Z \le 0'5\}-1=2\,F(0'5)-1 \overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=}$
    $=2\cdot 0'6915-1=0,3830$

Aclaraciones:
(2) Al tratar con variables aletorias contínuas, recordemos que $P\{X \prec k\}=P\{X \le k\}$
(3) Tipificación de la variable aleatoria $X$ $\rightarrow Z=\dfrac{X-16}{2}$, donde $Z$ es $N(0,1)$; entonces:
    $17 \rightarrow \dfrac{17-16}{2}=0'5$
    $15 \rightarrow \dfrac{15-16}{2}=-0'5$
(4) Simetría con respecto del eje $Oz$ de la función de densidad de probabilidad $f(z)$

-oOo-
d)
$P\{17\le X\le 18\}\overset{(5)}{=}P\{X \le 18 \}-P\{X \le 17 \} \overset{(6)}{=}P\{Z \le 1\}-P\{Z \le 0'5\}=$
  $=F(1)-F(0'5) \overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=} 0'8413-0'6915$
    $=0'1498$

Aclaraciones:
(5) Al tratar con variables aletorias contínuas, recordemos que $P\{X \prec k\}=P\{X \le k\}$
(6) Tipificación de la variable aleatoria $X$ $\rightarrow Z=\dfrac{X-16}{2}$, donde $Z$ es $N(0,1)$; entonces:
    $18 \rightarrow \dfrac{18-16}{2}=1$
    $17 \rightarrow \dfrac{17-16}{2}=0'5$

$\square$