Análisis de funciones reales de una variable real

ENUNCIADO. Se considera la función real de una variable real $$f(x)=\dfrac{3x}{1-x^2}$$ Se pide:
a) Las rectas asíntotas, si las hubiese
b) Las abscisas de los puntos de inflexión, de haber alguno
c) El área del recinto limitado por la gráfica de la función y la recta $y=4x$

SOLUCIÓN.
a)
Asíntotas verticales:
Son del tipo $\text{a.v.}\equiv x=a$, donde $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a} \,f(x) = +\infty $$ o bien $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a }\,f(x) = -\infty$$ Estos valores de $a$ son los que anulan el denominador de la función ( sin anular el numerador ): $$1-x^2 =0 \Leftrightarrow x=\pm 1$$ pues, en efecto, se puede comprobar que $$\displaystyle \lim_{x\, \rightarrow\, -1^{-}}\,f(x)=+\infty\;\; \text{y} \;\; \displaystyle \lim_{x\, \rightarrow\, -1^{+}}\,f(x)=-\infty$$ y $$\displaystyle \lim_{x\, \rightarrow\, 1^{-}}\,f(x)=-\infty \;\; \text{y} \;\; \displaystyle \lim_{x\, \rightarrow\, 1^{+}}\,f(x)=+\infty$$ Así pues, encontramos dos asíntotas verticas: $$\text{a.v.}_1\equiv x=-1$$ y $$\text{a.v.}_2\equiv x=1$$

Asíntotas oblicuas:
Para encontrar las asíntotas oblicuas, $\text{a.o.}\equiv y=mx+k$, tendremos que calcular primero la pendiente, $m$:
$\displaystyle m\overset{\text{def}}{=} \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,f'(x) \overset{\text{def. equiv.}}{=} \lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{3x}{x(1-x^2)}=$
    $=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{3}{1-x^2}=\dfrac{3}{1-\infty}=0$
A continuación, calculamos la ordenada en el origen, $k$:
$\displaystyle k\overset{\text{def}}{=}\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\,\left( f(x)- m\,x\right)=\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \left( f(x) - 0 \right)=\lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,\dfrac{3x}{1-x^2}=0$ ( por ser el grado del polinomio del denominador mayor que el del numerador )
Encontramos pues una asíntota horizontal, como un caso particular de asíntota oblicua con pendiente nula: $$\text{a.h.}\equiv y=0$$

b)
Las abscisas de los puntos de inflexión son las raíces de la función segunda derivada ( condición necesaria ): $$f''(x)=0$$
Derivando una vez la función $f(x)$ obtenemos -- dejo al lector que reproduzca el cálculo rutinario --: $$f'(x)=3\cdot\dfrac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$$

Nota: Démonos cuenta de que esta función no tiene raíces, pues el numerador no se anula para ningún valor de $x$, luego no hay extremos relativos

Y derivando, a su vez, la función primera derivada, llegamos a la función segunda derivada $$f''(x)=-6\cdot \dfrac{x\,(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$$ Con lo cual $$-6\cdot \dfrac{x\,(x^2+3)}{(x^2-1)^3}\Leftrightarrow x=0$$

Si bien no se pide en el enunciado, un bosquejo de la gráfica de la función es el de la figura siguiente:

c)
Los puntos de corte de la gráfica de la función $y=4x$ con la gráfica de la función del integrando $f(x)=\dfrac{3x}{1-x^2}$ son las soluciones de la ecuación $$4x = \dfrac{3x}{1-x^2}$$ y, por tanto ( dejo al lector el cálculo elemental ), de $$4x^3-x=0$$ Sacando factor común de $x$ en el primer miembro, vemos que $$x\,(4x^2-1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 \\ 4x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm \,\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.$$ Tenemos por tanto tres puntos de corte, cuyas abscisas son $-1/2$, $0$ y $1/2$. Entonces,
$$\displaystyle \mathcal{Área}=\left| \int_{-1/2}^{0}\,f(x)\,dx \right| + \left| \int_{0}^{1/2}\,f(x)\,dx \right|\overset{\text{Barrow}}{=}|F(0)-F(-1/2)|+|F(1/2)-F(0)|$$

Calculando la integral definida de $f(x)$ encontraremos una función primitiva $F(x)$: $$\displaystyle \int\,\dfrac{3x}{1-x^2}\,dx = \dfrac{3}{2}\,\int\,\dfrac{2\,x\,dx}{1-x^2} = -\dfrac{3}{2}\,\int \,\dfrac{d(x^2-1)}{x^2-1} = -\dfrac{3}{2}\,\ln \, |x^2-1|+C$$ y eligiendo un valor cualquiera para la constante de integración, pongamos que $C:=0$, una función primitiva es $F(x)=-\dfrac{3}{2}\,\ln \, |x^2-1|$

Así pues,
$|F(0)-F(-1/2)|=\left|-\dfrac{3}{2}\cdot \ln\,|0-1|- (-\dfrac{3}{2})\cdot |\ln\,|(-1/2)^2-1|\right|=$
  $=-\dfrac{3}{2}\,\ln\,(3/4)=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)$
y
$|F(1/2)-F(0)|=\left|-\dfrac{3}{2}\cdot \ln\,|(1/2)^2-1|- (-\dfrac{3}{2})\cdot |\ln\,|0-1|\right|=$
  $=-\dfrac{3}{2}\,\ln\,(3/4)=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)$
por tanto,
$\mathcal{Área}=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)+\dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)=2\cdot \dfrac{3}{2}\,\ln\,(4/3)=$
    $=3\,\ln\,(4/3)\;\text{unidades arbitrarias de área}$
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Análisis y representación de funciones

ENUNCIADO. Considérese la función $f(x)=-x^3+x+2$. Se´ pide:ç
a) Hállense los máximos y mínimos locales de dicha función
b) Hállense los puntos de inflexión
c) Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=0$
d) Hágase un esbozo de la gráfica de la función $f(x)$ así como de la recta tangente pedida en el apartado anterior

SOLUCIÓN.
a) El conjunto de abscisas de los extremos relativos: $\{x \in \text{Dom}\,f:f'(x)=0\}$
Impongamos la condición necesaria para que $x\in \text{Dom}\,f$ sea la abscisa de un extremo relativo $$f'(x)=0$$ esto es $$-3x^2+1=0 \Leftrightarrow x \in \{ -\dfrac{1}{|\sqrt{3}|} \, , \, \dfrac{1}{ |\sqrt{3}|} \}$$

A continuación, procedemos a ver cuál es la naturaleza de dichos extremos relativos; para ello, emplearemos el criterio del signo de la segunda derivada, $f''(x)=-6x$, en cada uno de dichos puntos. Es evidente que $f''( -\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}) \succ 0$, luego hay un mínimo local en el punto de abscisa $x_{1}^*=-\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}\approx -0,6$, siendo la ordenada de dicho punto $y_{1}^{*}\equiv f(x_{1}^{*}) = 2- \dfrac{2}{9}\cdot |\sqrt{3}| \approx 1,6$. Por otra parte, como es claro que $f''( \dfrac{1}{|\sqrt{3}|}) \prec 0$, hay un máximo local en el punto de abscisa $x_{1}^*=\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}\approx 0,6$, y el valor de la ordenada que le corresponde es ordenada de dicho punto $y_{2}^{*}\equiv f(x_{2}^{*}) = 2+ \dfrac{2}{9}\cdot |\sqrt{3}| \approx 2,4$

b)
Para encontrar los puntos de inflexión, imponemos la condición necesaria: $f''(x)=0$, que en el caso de la función concreta en este problema es $-6x=0$. Así pues $x_{p.i.}=0$, luego $y_{p.i.}\equiv f(x_{p.i.})=f(0)=2$

c)
La ecuación de la recta tangente es $r.t.\equiv y=mx+k$, donde la pendiente $m$ es el valor de la función derivada $f'(x)=-3x^2+1$ en el punto pedido, $x=0$; esto es $f'(0)=0+1=1$. Así pues $r.t.\equiv y=x+k$. Falta ahora calcular el valor de $k$, que determinaremos teniendo en cuenta que, en $x=0$, las ordenadas de la función $f$ y de la recta han de ser iguales, por lo que $f(0)=0+k$ y por tanto $k=2$. En consecuencia, la recta tangente pedida es $r.t.\equiv y=x+2$

d)
Reuniendo los elementos de análisis que hemos encontrado, y teniendo en cuenta además que, por el teorema de Bolzano, $f(x)$ tiene una raíz en el intervalo $[1,2]\subset \mathbb{R}$, pues los valores de función cambian de signo en los extremos del mismo, $f(1)\succ 0$ y $f(2)\prec 0$; por lo demás, sólo puede haber una raíz, pues no hemos encontrado otro mínimo local a la derecha de $x_{2}^{*}=\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}$. Ésto basta para dibujar el siguiente esbozo:

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Construcción de una función de un determinado tipo, calculando el valor de varios parámetros, dadas determinadas condiciones

ENUNCIADO. Dada la función $f(x)=ax^4+3bx^3-3x^2-ax$, determinar el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la gráfica de la función presente dos puntos de inflexión, uno en $x=1$ y otro en $x=\dfrac{1}{2}$

SOLUCIÓN. Impondremos la condición de punto de inflexión, $f''(x)=0$. La primera derivada es $f'(x)=4ax^3+9bx^2-6x-a$, luego la función segunda derivada es $f''(x)=12ax^2+18bx-6$. De la condición, $$2ax^2+3bx-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-3b\pm \sqrt{9b^2+8a}}{4a}$$ Como $x$ ha de tomar los valores $1$ y $1/2$, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{-3b+\sqrt{9b^2+8a}}{4a}=1 \\ \\ \dfrac{-3b-\sqrt{9b^2+8a}}{4a}=1/2 \end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}(4a+3b)^2=9b^2+8a \\ \\ (2a+3b)^2=9b^2+8a \end{matrix}\right.$$ que simplificado queda $$\left\{\begin{matrix}2a+3b=1 \\ a+3b=2\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}2a&+&3b&=&1 \\&& -3b&=&-3\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}a&&&=&-1 \\&& b&=&1\end{matrix}\right. $$ Por consiguiente, la función pedida es $$f(x)-x^4+3x^3+3x^2+1$$
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Ejemplo de análisis de una función real de una variable real

Enunciado:
Dada la función
    $f(x)=\dfrac{4}{x-4}+\dfrac{27}{2x+2}$
se pide:
  a) Hallar las asíntotas de su gráfica
  b) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcular sus puntos de inflexión
  c) Esbozar la gráfica de la función

Resolución:
  a)
Observemos que la función no es continua en todos los puntos de $\mathbb{R}$ a excepción de $x=4$ y $x=-1$ pues al anularse los denominadores de los términos respectivos, éstos tienden a $\pm \infty$ cuando $x$ tiende a estas dos valores. Por lo tanto, la función tiene las siguientes asíntotas verticales: $r:x=4$ y $s:x=-1$. Por otra parte, vemos que
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,f(x)=\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{4}{x-4}+\lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{27}{2x+2}=\dfrac{1}{\infty}+\dfrac{1}{\infty}=0$
luego el eje de abscisas es una asíntota horizontal de $f(x)$
Un examen de asíntotas oblicuas $\text{a.o}:y=mx+k$ nos lleva a concluir que esta función no las tiene; en efecto, al determinar la pendiente $m$ vemos que es nula. En efecto, calculando la función derivada de $f(x)$
$f'(x)=\Big(\dfrac{4}{x-4}\Big)'+\Big(\dfrac{27}{2x+2}\Big)'=\dfrac{-4}{(x-4)^2}+\dfrac{-27\cdot 2}{(2x+2)^2}$
y pasando al límite
$\displaystyle m=\lim_{x\rightarrow \infty}\,f'(x)=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{-4}{(x-4)^2}+\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\,\dfrac{-54}{(2x+2)^2}=0$
resultado que simplemente confirma la existencia de una asíntota horizontal, que ya hemos encontrado, pero no hay otras, aparte de las dos verticales.

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  b)
Veamos los puntos de crecimiento nulo imponiendo la condición
$f'(x)=0$
que nos lleva a resolver la ecuación
$\dfrac{4}{(x-4)^2}+\dfrac{54}{(2x+2)^2}=0 \Leftrightarrow 7x^2-40x+88=0$
ecuación que no tiene solución en $\mathbb{R}$ pues el discriminante
$(-40)^2-4\cdot 88 \cdot 7$ es menor que cero, luego al no haber puntos donde la función pase de ser creciente a decreciente o viceversa, ésta es monótona, siendo su carácter decreciente ya que al aumentar el valor de la abscisa disminuye el valor de la ordenada en todo el dominio de continuidad ( que es $\mathbb{R}-\{-1,4\}$ ); conclusión que ya se entreveía atendiendo a este sólo razonamiento antes de intentar encontrar ceros de $f'(x)$.

A continuación, veamos si la función tiene puntos de inflexión ( en los que cambia el signo de la curvatura del gráfico ), ésto es, el de la segunda derivada. Por ello, calculemos la función segunda derivada e impongamos que sea cero para encontrar dichos puntos. La segunda derivada es
$f''(x)=\big(f'(x)\big)'=\bigg(\dfrac{-4}{(x-4)^2}+\dfrac{-54}{(2x+2)^2}\bigg)'=\dfrac{8}{(x-4)^3}+\dfrac{27}{(x+1)^3}$
luego
$f''(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac{8}{(x-4)^3}+\dfrac{27}{(x+1)^3}=0 \Leftrightarrow 35x^3-300x^2+1320x-1270=0$
ecuación polinómica de tercer grado de la que $x=2$ es una posible raíz entera ( por ser un divisor de $1270$ ) y, en efecto, dividiendo por Ruffini, y, por el teorema del resto, vemos que efectivamente lo es. No hay ninguna más, pues el polinomio cociente, que es $35x^2-230x+860$, es primo ( al ser su discriminante de la ecuación $35x^2-230x+860=0$, menor que cero ).
La ordenada del punto de inflexión es
$f(2)=\dfrac{4}{2-4}+\dfrac{27}{2\cdot 2+2}=\dfrac{5}{2}$
luego el punto de inflexión ( que denotaremos por $B$ ) tiene coordenadas $B(2,\frac{5}{2})$.

A partir de este resultado podemos escribir los intervalos de concavidad y convexidad.

Intervalos de convexidad ( signo negativo de la segunda derivada en todos sus puntos ):
      $(-\infty, -1) \subset \mathbb{R}$
      $(2, 4) \subset \mathbb{R}$
      $(4, +\infty) \subset \mathbb{R}$

Intervalos de concavidad ( signo positivo de la segunda derivada en todos sus puntos ):
      $(1, 2) \subset \mathbb{R}$

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  c)
Para trazar el esquema del gráfico, determinaremos también los puntos de corte con los ejes. La ordenada en el origen es $f(0)=\dfrac{4}{0-4}+\dfrac{27}{2\cdot 0+2}=\dfrac{25}{2}$. Vamos a examinar ahora los ceros/raíces de la función $f(x)$; para ello, hagamos que ésta sea nula:
$f(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac{4}{x-4}+\dfrac{27}{2x+2}=0 \Leftrightarrow 35x-100=0$
por tanto encontramos una sola raiz, $x=\frac{20}{7}$
Los puntos buscados son, por tanto
$A(\frac{20}{7},0)$
y
$C(0,\frac{25}{2}$

Ahora, podemos ya esbozar el trazo de la función:

$\square$