Ejemplo de una integral indefinida semi inmediata

Voy a calcular la siguiente integral indefinida $$\int\,k^x\,dx$$ siendo $k$ una constante positiva:

$\displaystyle \int\,k^x\,dx=$
  $\displaystyle =\int\,(e^{\ln\,k})^x\,dx$
    $\displaystyle =\int\,e^{x\,\ln\,k}\,dx$
      $\displaystyle =\dfrac{1}{\ln\,k}\,e^{x\,\ln\,k}+C$
        $\displaystyle=\dfrac{1}{\ln\,k}\,(e^{\ln\,k})^x+C$
          $\displaystyle=\dfrac{1}{\ln\,k}\,k^x+C$
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Ejercicio de integración bastante completo en cuanto a técnicas y teoremas empleados

Calculemos la integral definida $$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\,\sqrt{1-x^2}\,dx$$

Calculo en primer lugar la familia de primitivas de la integral indefinida $\displaystyle \int\,\sqrt{1-x^2}\,dx$. Para ello, parece apropiado el siguiente cambio de variable: $x=\sin\,\theta$; de este modo, $dx=(\sin\,\theta)_{\theta}^{'}\,d\theta=\cos\,\theta\, d\theta$. Con lo cual, $\int\,\sqrt{1-x^2}\,dx=\int\,\sqrt{1-\sin^2\,\theta}\,\cos\,\theta\,d\theta=\int\,\cos\,\theta\cdot \cos\, \theta\,d\theta$, integral que se brinda a ser resulta por la técnica de por partes.

Designando $u=\cos\,\theta$, y por tanto, $du=(\cos\,\theta)_{\theta}^{'}=-\sin\,\theta\,d\theta$ y $dv=\cos\,\theta\,d\theta$, lo que nos lleva a $v=\int\,\cos\,\theta\,d\theta=\sin\,\theta$, por la propiedad $\int\,u\,dv=uv-v\,\int\,du$, podemos escribir nuestra integral de la forma $\int\,\cos\,\theta\cdot \cos\, \theta\,d\theta=\sin\,\theta \cdot \cos\,\theta-\int\,\sin\,\theta\cdot (-\sin\,\theta)\,d\theta=\sin\,\theta\cdot\cos\,\theta+\int\,\sin^2\,\theta\,d\theta=$
  $=\sin\,\theta\cdot\cos\,\theta+\int\,(1-\cos^2\,\theta)\,d\theta \therefore \int\,\cos\,\theta\cdot \cos\, \theta\,d\theta=\int\,\cos^2\,\theta\,d\theta=\sin\,\theta\cdot\cos\,\theta+\int\,d\,\theta-\int\,\cos^2\,\theta\,d\theta\Rightarrow$
  $\Rightarrow 2\,\int\,cos^ 2\,\theta\,d\theta=\sin\,\theta\cdot \cos\,\theta+\theta \therefore \int\,\cos\,\theta\cdot \cos\,\theta\,d\theta=\dfrac{1}{2}\,\left(\theta+ \sin\,\theta\cdot \cos\,\theta\right)=\dfrac{1}{2}\,\left(\theta+ \sin\,\theta\cdot \sqrt{1-\sin^2\,\theta}\right)$. Por consiguiente, la familia de primitivas es:
  $F(x)=\dfrac{1}{2}\,\left(\text{arcsin}\,x+ x\,\sqrt{1-x^2}\right)+C \because \sin\,\theta=x \Rightarrow x=\text{arcsin}\,\theta$, siendo $C$ la constante de integración.

Finalmente, aplico el segundo teorema del cálculo integral (regla de Barrow), tomando cualquier valor para la constante de integración, por ejemplo, $C=0$:
  $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\,\sqrt{1-x^2}\,dx=F(\frac{\pi}{4})-F(0)=\dfrac{1}{2}\,\left(\text{arcsin}\,(\frac{\pi}{4})+ \frac{\pi}{4}\cdot \sqrt{1-(\frac{\pi}{4})^2}\right)-\dfrac{1}{2}\,\underset{0}{\underbrace{\left(\text{arcsin}\,0+ 0\cdot \sqrt{1-0^2}\right)}}=$
    $=\dfrac{1}{2}\,\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\pi}{4}\cdot \sqrt{1-(\frac{\pi}{4})^2}\right)=\dfrac{1}{2}\,\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\pi}{16}\cdot \sqrt{16-\pi^2}\right)=\dfrac{1}{4}\,\left(\sqrt{2}+\dfrac{\pi}{8}\cdot \sqrt{(4+\pi)(4-\pi)}\right)\,\diamond$

Dos ejercicios de integración definida en los que interviene la función piso

Deseamos calcular el valor de la integral definida $$\displaystyle \int_{1}^{3}\,\dfrac{x}{\left \lfloor x \right \rfloor}\,dx$$

Recordemos la definición de la función piso: $$\left \lfloor x \right \rfloor := \text{máximo}(\{\ell \le x: \ell \in \mathbb{Z}\}$$

Entonces, $$\displaystyle \int_{1}^{3}\,\dfrac{x}{\left \lfloor x \right \rfloor}\,dx=\int_{1}^{2}\,\dfrac{x}{1}\,dx+\int_{2}^{3}\,\dfrac{x}{2}\,dx=\int_{1}^{2}\,x\,dx+\dfrac{1}{2}\,\int_{2}^{3}\,x\,dx=\left[ \dfrac{1}{2}\,x^2 \right]_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \left[ \dfrac{1}{2}\,x^2 \right]_{2}^{3}=$$ $$\displaystyle = \dfrac{1}{2} \cdot \left[ x^2 \right]_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \left[ x^2 \right]_{2}^{3}=\dfrac{1}{2} \cdot \left( 2^2-1^2 \right)+\dfrac{1}{4}\cdot \left( 3^2-2^2 \right)=\dfrac{1}{2} \cdot 3 +\dfrac{1}{4}\cdot 5 = \dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{6}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{11}{4}$$

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Ahora voy a calcular el valor de la integral definida $$\displaystyle \int_{1}^{3}\,\dfrac{\left \lfloor x \right \rfloor}{x}\,dx$$ que no es la misma que la primera que hemos resuelto, ya que $\dfrac{x}{\left \lfloor x \right \rfloor} \neq \dfrac{\left \lfloor x \right \rfloor}{x}$

$$\displaystyle \int_{1}^{3}\,\dfrac{\left \lfloor x \right \rfloor}{x}\,dx=\int_{1}^{2}\,\dfrac{1}{x}\,dx+\int_{2}^{3}\,\dfrac{2}{x}\,dx=\left[\ln(x)\right]_{1}^{2}+2\,\left[\ln(x)\right]_{2}^{3}=\left(\ln(2)-\ln(1)\right)+2\cdot \left( \ln(3)-\ln(2)\right)=$$ $$=\ln(2)-0+2\,\ln(3)-2\,\ln(2)=2\,\ln(3)-\ln(2)=\ln(3^2)-\ln(2)=\ln\left(3^2/2\right)=\ln\left(9/2\right)$$

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Y para acabar este artículo, expondré el cálculo de la integral definida $$\displaystyle \int_{-1}^{1}\,\dfrac{|x|}{\left \lfloor x \right \rfloor+2}\,dx$$

Teniendo en cuenta las definiciones de las funciones valor absoluto y piso: $$\displaystyle \int_{-1}^{1}\,\dfrac{|x|}{\left \lfloor x \right \rfloor+2}\,dx=\int_{-1}^{0}\,\dfrac{-x}{-1+2}\,dx+\int_{0}^{1}\,\dfrac{x}{0+2}\,dx=\int_{-1}^{0}\,\dfrac{-x}{1}\,dx+\int_{0}^{1}\,\dfrac{x}{2}\,dx=$$ $$\displaystyle =-\int_{-1}^{0}\,x\,dx+\dfrac{1}{2}\,\int_{0}^{1}\,x\,dx=-\left[\dfrac{1}{2}\,x^2\right]_{-1}^{0}+\dfrac{1}{2}\cdot \left[\dfrac{1}{2}\,x^2\right]_{0}^{1}=-\dfrac{1}{2}\cdot \left[x^2\right]_{-1}^{0}+\dfrac{1}{4}\cdot \left[x^2\right]_{0}^{1}=$$ $$=-\dfrac{1}{2}\cdot \left(0^2-(-1)^2\right)+\dfrac{1}{4}\cdot \left(1^2-0^2\right)=-\dfrac{1}{2}\cdot (-1)+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$$

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Un ejercicio de integración con intervención de la función valor absoluto

Deseamos calcular el valor de la integral definida $$\displaystyle \int_{1}^{3}\,\left(\dfrac{x}{|x|}+\dfrac{2\,|x|}{x}\right)\,dx$$

Recordemos la definición de valor absoluto de un número real: $$\|x|:=\left\{\begin{matrix}x & \text{si} & x\gt 0 \\ -x & \text{si} & x \lt 0 \end{matrix}\right.$$

Notemos que $\forall x \in \mathbb{R}: x^2=\left(|x|\right)^2 \Leftrightarrow x \cdot x=|x|\cdot|x|\; \Leftrightarrow \dfrac{x}{|x|}=\dfrac{|x|}{x} \therefore \dfrac{x}{|x|}+2\cdot \dfrac{|x|}{x}=\dfrac{x}{|x|}\,\left( 1+2 \right)=\dfrac{3x}{|x|} $

Entonces, $\displaystyle \int_{1}^{3}\,\left(\dfrac{x}{|x|}+\dfrac{2\,|x|}{x}\right)\,dx=\int_{1}^{3}\,\dfrac{3x}{|x|}\,dx=3\,\int_{1}^{3}\,\dfrac{x}{|x|}\,dx = 3\,\int_{1}^{3}\,\dfrac{x}{x}\,dx \because\, |x|=x,\; \forall x \in [1,3]\subset \mathbb{R}$. En consecuencia, $$\displaystyle \int_{1}^{3}\,\left(\dfrac{x}{|x|}+\dfrac{2\,|x|}{x}\right)\,dx=3\,\int_{1}^{3}\,dx=\displaystyle 3\,\left[x\right]_{1}^{3}=3\cdot (3-1)=3\cdot 2=6$$ $\diamond$

Integrales definidas en las que interviene la función piso (también llamada función suelo, y, en algunos ámbitos, función parte entera)

Nos proponemos calcular la integral $$\displaystyle \int_{0}^{n}\,(x+\left \lfloor x \right \rfloor)\,dx$$, con $n$ un número entero positivo, y donde $\left \lfloor x \right \rfloor$ denota la función piso (o suelo), que, para todo número real $x$, se define como $\left \lfloor x \right \rfloor := \text{máximo}(\{\ell \le x: \ell \in \mathbb{Z}\}$

Ensayemos esta integral para fijando un valor de $n$, pongamos que $n=4$, para ver lo que ocurre. Al tratarse de una función a trozos, con un número finito —y, por tanto, numerable— de discontinuidades, la función $f(x)=x+\left \lfloor x \right \rfloor$ es integrable Riemann. Podéis ver en la siguiente figura la gráfica realizada con GeoGebra (tecleando $\text{floor}(x)$ para la función piso —sintaxis de la función piso en la mayor parte de los programas y calculadoras— en la línea de entrada), si bien también podemos hacerlo a mano sin ninguna dificultad:

Por otra parte, podemos servirnos del cálculo automático que nos ofrece WolframAlpha para saber qué encontraremos. Veámoslo en esta segunda figura, que he obtenido tecleando en la casilla de entradas de WolframAlpha lo siguiente: $$\text{integrate}(x+\text{floor}(x),x,0,4)$$

Reproduzcamos ahora este resultado, paso a paso: $\displaystyle \int_{0}^{4}\,(x+\left \lfloor x \right \rfloor)\,dx=\int_{0}^{1}\,(x+0)\,dx+\int_{1}^{2}\,(x+1)\,dx+\int_{2}^{3}\,(x+2)\,dx+\int_{3}^{4}\,(x+3)\,dx$
  $\displaystyle=\left[\dfrac{1}{2}\,(x+0)^2\right]_{0}^{1}+\left[\dfrac{1}{2}\,(x+1)^2\right]_{1}^{2}+\left[\dfrac{1}{2}\,(x+2)^2\right]_{2}^{3}+\left[\dfrac{1}{2}\,(x+3)^2\right]_{3}^{4}$
    $\displaystyle=\dfrac{1}{2}\,\left((1+0)^2-(0+0)^2\right)+\dfrac{1}{2}\,\left((2+1)^2-(1+1)^2\right)+\dfrac{1}{2}\,\left((3+2)^2-(2+2)^2\right)+\dfrac{1}{2}\,\left((4+3)^2-(3+3)^2\right)$
      $=\dfrac{1}{2}\,\left(1+5+(25-16)+(49-36)\right)$
       $=\dfrac{1}{2}\,\left(1+5+9+13\right)$
          $=14$

Observemos que los términos entre paréntesis de la penúltima línea de arriba están en progresión aritmética, cuya diferencia es $d=4$, el primer término tiene valor $1$ y el cuarto $13$, y, por tanto, bien podemos escribir que $\displaystyle \int_{0}^{4}\,(x+\left \lfloor x \right \rfloor)\,dx=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{(1+ 13)\cdot 4}{2}=14$ lo cual nos hace pensar en inducir una fórmula general para la integral $\displaystyle \int_{0}^{n}\,(x+\left \lfloor x \right \rfloor)\,dx$, con $n$ un número entero positivo, pues, visto cómo se ha desarrollado el cálculo de la integral definida pedida entre $0$ y $4$, fácilmente inducimos el siguiente resultado para esta otra, más general, cuyo resultado consta de $n$ términos de una progresión aritmética, con primer término, también, igual a $1$, y último término igual a $1+4\,(n-1)=4n-3$: $$\displaystyle \int_{0}^{n}\,(x+\left \lfloor x \right \rfloor)\,dx=\dfrac{1}{2}\,(1+5+9+13+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+(1+4\,(n-1)))=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(1+(4n-3))\,n}{2}=\dfrac{4n^2-2n}{4}=\dfrac{2n^2-n}{2}$$Notemos que, si $n=4$, obtenemos el resultado ya sabido: $\dfrac{2n^2-n}{2}=\dfrac{2\cdot 4^2-4}{2}=\dfrac{28}{2}=14$, como debe ser.

También podemos llegar directamente a este resultado general haciendo un poco de álgebra con sumatorios: $$\displaystyle \int_{0}^{n}\,(x+\left \lfloor x \right \rfloor)\,dx\overset{(1)}{=}\sum_{k=0}^{n-1}\,\int_{k}^{k+1}\,(x+k)\,dx$=\sum_{k=0}^{n-1}\,\dfrac{1}{2}\,\left((2k+1)^2-(2k)^2\right)=$$ $$=\dfrac{1}{2}\,\sum_{k=0}^{n-1}\,4k+1\overset{(2)}{=}\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(1+(4n-3))\,n}{2}=\dfrac{2n^2-n}{2}$$ Aclaraciones:
  (1): Entre $k=0$ y $k=n-1$ tenemos los $n$ sumandos del desarrollo
  (2): Recordemos que el término $n$-ésimo de una sucesión aritmética de diferencia $d$ y primer término $a_1$ es $a_n=a_1+d\,(n-1)$, y que la suma de los $n$ (sucesivos) primeros términos de dicha sucesión es $\dfrac{(a_1+a_n)\,n}{2}$. De ahí que la suma de los $n$ sucesivos primeros términos de una sucesión aritmética de primer término igual a $1$, diferencia igual a $4$, y último término igual a $1+4\,(n-1)$ es $\dfrac{(1+(4n-3))\,n}{2}$

Comentario: No siempre podremos evitar los desarrollos si empleamos herramientas de cálculo automático. Démonos cuenta de que al pedir a WolframAlpha que nos de directamente el resultado que acabamos de obtener, tecleando $$\text{integrate}(x+\text{floor}(x),x,0,n)$$ no obtenemos nada en claro:

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Ejercicio con una integral indefinida, aperentemente complicada: $\displaystyle \int\,\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)+3}\,dx$

$$\displaystyle \int\,\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)+3}\,dx=\int\,\dfrac{\cos(x)\,dx}{\sin(x)+3}\overset{(1)}{=}\int\,\dfrac{d(\sin(x)+3)}{\sin(x)+3}=\ln\,(\sin(x)+3)+C$$ (1) $d(\sin(x)+3)=(sin(x)+3)'\,dx=\cos(x)\,dx$
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Integración. Área de una elipse

ENUNCIADO. Calcúlese el área de la elipse $$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$



SOLUCIÓN.
En esta figura se ha representado una elipse reducida ( centrada en el origen de coordenadas ) de semiejes $a$ y $b$ ( con GeoGebra ). Despejando $y$ en dicha ecuación se llega a $$y=\pm \sqrt{1-(x/a)^2}$$ La mitad de dicho trazo en el semiplano superior es la función $$f(x)=\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|$$

El área pedia, dada la simetría con respecto al eje $Ox$, es igual a $$\text{Área}=2\,\int_{-a}^{a}\,\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|\,dx \quad \quad(1)$$ En otro artículo del blog se resolvió el problema de encontrar la familia de primitivas de dicha función:
$$\int\,\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|\,dx = \dfrac{a}{2}\,\left( \dfrac{x}{a}\,\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|+\arcsin\,(x/a)\right)+C$$ Así pues una función primitiva de $f(x)=\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|$ es $$F(x)=\dfrac{a}{2}\,\left( \dfrac{x}{a}\,\left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right|+\arcsin\,(x/a)\right)$$ Aplicando pues la regla de Barrow en (1) llegamos $\text{Área}=2\,b\,\left[ \left|\sqrt{1-(x/a)^2}\right| +\arcsin\,(x/a) \right]_{-a}^{a}=2\,b\left(F(a)-F(-a)\right)=$
    $=ab\,(\pi/2-(-\pi/2))=\pi\,ab$
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Análisis de funciones

ENUNCIADO. Dada la función $f(x)=\dfrac{|x|}{\sqrt{x^2+9}}$ ( donde se toman sólo los valores positivos de la raíz cuadrada ), se pide:
a) Determinar, si existen, las asíntotas horizontales de $f(x)$
b) Calcular $f'(4)$
c) Hallar el área del recinto limitado por la gráfica de la función $y=f(x)$, el eje $Ox$, y las rectas $x=-1$ y $x=1$

SOLUCIÓN.

Optimización. Integración.

ENUNCIADO.
a) En un experimento en un laboratorio se han realizado 5 medidas del mismo objeto, que han dado los resultados siguientes:
    $m_1=0'92$, $m_2=0'94$, $m_3=0'89$, $m_4=0'90$, $m_5=0'91$
Se tomará como resultado el valor de $x$ tal que la suma de los errores de los cuadrados sea mínima; es decir, el valor de $x$ para el que la función $$E(x)=(x-m_1)^2+(x-m_2)^2+(x-m_3)^2+(x-m_4)^2+(x-m_5)^2$$ alcanza un mínimo. Calcúlese dicho valor de $x$
b) Aplíquese el método de integración por partes para calcular la integral $$\displaystyle \int_{1}^{2}\,x^2\,\ln(x)\,dx$$

SOLUCIÓN.

Cálculo del área delimitada entre dos curvas

ENUNCIADO. Calcúlese el área de la región del plano delimitada por las funciones $f(x)=x^3+3$ y $g(x)=x+3$

SOLUCIÓN. Dadas las gráficas de dos funciones continuas $\phi(x)$ y $\theta(x)$, y siendo $\{x_1,x_2,\ldots,x_k\}$ el conjunto de abscisas de los puntos de intersección entre las dos curvas, el área de la región del plano comprendida entre éstas se calcula de la forma $$\mathcal{A}=\displaystyle \left| \int_{x_1}^{x_2}\,(f(x)-g(x))\,dx\right|+\left| \int_{x_2}^{x_3}\,(f(x)-g(x))\,dx\right|+\overset{\underbrace{k-1}}{\ldots}+\left| \int_{x_{k-1}}^{x_k}\,(f(x)-g(x))\,dx\right|$$

Veamos pues cuáles las abscisas de los puntos de corte entre las funciones dadas $f(x)$ y $g(x)$:
Imponiendo la condición de corte, $$f(x)=g(x)$$ luego $$f(x)-g(x)=0$$ y por tanto $$x^3-x=0$$ esto es $$x\,(x^2-1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_1=-1 \\ x_2=0 \\ x_3=1\end{matrix}\right.$$ En consecuencia $$\displaystyle \mathcal{A}=\left| \int_{-1}^{0}\,(x^3-x)\,dx\right|+\left| \int_{0}^{1}\,(x^3-x)\,dx\right|$$ Una función primitiva de $f(x)-g(x)=x^3-x$ es $\dfrac{1}{4}\,x^4-\dfrac{1}{2}\,x^2$, luego, por la regla de Barrow,
$\displaystyle \mathcal{A}=\left| \left(\dfrac{1}{4}\cdot 0^4 -\dfrac{1}{2}\cdot 0^2 \right)-\left(\dfrac{1}{4}\cdot (-1)^4 -\dfrac{1}{2}\cdot (-1)^2 \right)\right|+$
                   $+\left| \left(\dfrac{1}{4}\cdot 1^4 -\dfrac{1}{2}\cdot 1^2 \right)-\left(\dfrac{1}{4}\cdot 0^4 -\dfrac{1}{2}\cdot 0^2 \right)\right|=$
                         $=\left|-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\right)\right|+\left|\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\right|=$
                               $=\left|-(-\dfrac{1}{4})\right|+\left|-\dfrac{1}{4}\right|=$
                                    $=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}$
                                          $=\dfrac{1}{2}$ unidades de área
$\square$

Ejercicios de integración

ENUNCIADO.
I) Calcular las siguientes integrales indefinidas:
a) $\displaystyle \int \,\dfrac{dx}{x^2+4}$       b) $\displaystyle \int\,x\,e^x\,dx$
II) Calcular la integral definida $\displaystyle \int_{-1}^{1}\,(2x-5)^5\,dx$

SOLUCIÓN.
I.a)
Esta integral es semi inmediata, pues es sabido que $\displaystyle \int \,\dfrac{dx}{x^2+1}=\arctan\,x+C$; así que basta con hacer unos arreglos para calcular la familia de primitivas que corresponde a la función del integrando:
$\displaystyle \int \,\dfrac{dx}{x^2+4}=\dfrac{1}{4}\,\int \,\dfrac{dx}{x^{2}/4+4/4}=\dfrac{1}{4}\,\int \,\dfrac{dx}{(x/2)^2+1}\overset{(1)}{=} \dfrac{1}{4}\,\int \,\dfrac{2\,dt}{t^2+1}=\dfrac{1}{2}\,\int \,\dfrac{dt}{t^2+1}=$
  $=\arctan\,t+C\overset{(2)}{=} \dfrac{1}{2}\,\arctan\,\dfrac{x}{2}+C$

(1) cambio de variable: si $t:=x/2$, $dx=2\,dt$
(2) deshaciendo el cambio de variable

I.b)
La función del integrando, $x\,e^x$, es el producto de dos funciones de distinta naturaleza, por lo que emplearemos el método de integración por partes: $$\int\,u\,dv = u\,v-\int\,v\,du$$ Designando $u:=x$, con lo cual $dx=du$, y, $e^x\,dx=dv$ y por tanto $v=\int\,e^x\,dx=e^x$. Así, podemos escribir $$\displaystyle \int\,x\,e^x\,dx=x\,e^x-\int\,e^x\,dx$$ e integrando fácilmente el segundo término del segundo miembro, encontramos finalmente $$\displaystyle \int\,x\,e^x\,dx=x\,e^x-e^x+C=e^x\,(x-1)+C$$

II) Mediante un sencillo cambio de variable, $t:=2x-5$ ( y por tanto $dx=\dfrac{1}{2}\,dt$ ), teniendo en cuenta la integral indefinida inmediata $\int\,t^n\,dt=\dfrac{1}{n+1}\,t^{n+1}+C$, vemos que una primitiva de $f(x)=(2x-5)^5$ es $F(x)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{6}\,(2x-5)^6$, luego por la regla de Barrow, $\displaystyle \int_{-1}^{1}\,(2x-5)^5\,dx=F(1)-F(-1)=\dfrac{1}{12}\,\left( (2\cdot 1-3)^6-(2\cdot (-1)-3)^6\right)=$
  $=\dfrac{1}{12}\,(1-5^6)=-1302$
$\square$

Demostración de la expresión del volumen de una esfera de radio dado. Aplicaciones de la integral definida

Aplicaciones de la integral definida a la Cinemática

ENUNCIADO. Un vehículo, cuando arranca, lleva un movimiento rectilíneo uniformamente acelerado, en el que la aceleración es de $2\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Se pide:
a) La velocidad al cabo de $30$ segundos
b) La longitud de camino recorrido en esos $30$ segundos

SOLUCIÓN.
a) Como $a(t)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{d^2\,\left(x(t)\right)}{dt^2}\,=2$, esto es, $\dfrac{d\,\left(v(t)\right)}{dt}\,=2$, luego $d\,v(t) = 2\, dt \Rightarrow \int\,d\,v(t) = \int\,2\,dt$ . En consecuencia, $v(t)=2t+C_1$. Teniendo en cuenta que el móbil parte del reposo, podemos escribir que $v(0)=0$, $0=2\cdot 0+C_1 \Rightarrow C_1=0$. En consecuencia, la función velocidad es
$v(t)=2t+0=2\,t$. Así pues $v(30)=2\cdot 30 = 60\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$


b) Teniendo en cuenta que $v(t)\overset{\text{def}}{=}\dfrac{d\,\left(x(t)\right)}{dt}\,=2\,t$, por tanto $d\left(x(t)\right)=2\,t\,dt$, con lo cual $\int\,d\left(x(t)\right) = \int\,2\,t\,dt$, esto es $x(t)=t^2+C_2$. Ahora bien, $x(0)=0$, en consecuencia $0=0^2+C_2 \Rightarrow C_2=0$. Así pues $x(t)=t^2$. Y en consecuencia $x(30)=30^2=900\,\text{m}$

Otra forma de calcularlo: Como una función primitiva de $v(t)=2t$ es $x(t)=t^2$, otra forma de calcular la longitud, $\ell$, de camino recorrido ( entre los dos instantes de tiempo dados ) es la siguiente: $$\ell=\displaystyle\,\int_{0}^{30}\,2t\,dt=\left[ t^2 \right]_{0}^{30}=30^2-0^2=900\,\text{m}$$

$\square$

Dada la función ...

ENUNCIADO. Dada la función $f(x)=(6-x)\,e^{x/3}$, se pide:
a) Determinar su dominio de definición, las rectas asíntotas y los puntos de corte con los ejes
b) Calcular la derivada, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos
c) Determinar el área del triángulo que forman los ejes de coordenadas con la recta tangente a la curva $y=f(x)$ en el punto de abscisa $x=0$

SOLUCIÓN.
a)
Dominio de definición:
Tanto $6-x$ como $e^{x/3}$ son funciones que están definidas ( y son continuas ) en todos los puntos de $\mathbb{R}$, así que $f(x)=(6-x)\,e^{x/3}$ también está definida en todo $\mathbb{R}$. Por consiguiente $\text{Dom}\,f(x)=\mathbb{R}$

Puntos de corte con los ejes:
Punto de corte con el eje $Oy$. La ordenada del punto de corte con el eje de ordenadas es $f(0)=(6-0)e^{0}=-6$. Por tanto el punto de corte con dicho eje es $A(0,6)$

Puntos de corte con el eje $Ox$. Las abscisas de los puntos de corte con el eje de abscisas son las raíces de $f(x)$. Recordemos que $x$ es raíz de $f(x)$ si y sólo si $f(x)=0$, luego $(6-x)\,e^{x/3}\Leftrightarrow x=6$, por lo que hay un único punto de corte con el eje de abscisas a distancia finita del origen de coordenadas, que es $B(6,0)$.

Además, adelantamos que, como $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\,f(x)=0$, la función toma contacto con el eje de abscisas en $-\infty$; ésto es así por tener $f(x)$ una asíntota horizontal, cuya ecuación es, por tanto, $y=0$.

Rectas asíntotas:
Veamos si hay alguna asíntota oblicua. La ecuación de toda asíntota oblicua es $y=mx+k$, donde $m=\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm \infty}\,f'(x)$. Observemos que, siendo $f'(x)=(6-x)'(e^{x/3})+(6-x)(e^{x/3})'=(1-\dfrac{1}{3}x)\,e^{x/3}$, entonces $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\,f'(x)=0$, luego la pendiente de dicha asíntota es $m=0$; se trata de la asíntota horizontal de la que hablábamos antes. Comprobemos que $k=0$; en efecto,

$k=\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\, f(x)-m\,x=\lim_{x\rightarrow -\infty}\,f(x)-0\cdot x=$
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow -\infty}\,(6-x)\,e^{x/3}\overset{\infty\cdot 0}{=}\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{6-x}{e^{-x/3}}=\dfrac{\infty}{\infty}\overset{\text{L'Hôpital}}{=}\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{(6-x)'}{(e^{-x/3})'}=$
$\displaystyle=\lim_{x\rightarrow -\infty}\,\dfrac{-1}{-\frac{1}{3}\,e^{-x/3}}=\dfrac{3}{\infty}=0$

Por otra parte no hay más asíntotas oblicuas, pues el límite $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\, f'(x)$ diverge.

Tampoco hay asíntotas verticales, ya que no existe ningún $k \in \mathbb{R}$ tal que $\displaystyle \lim_{x\rightarrow k}\,f(x)=\pm \infty$

Así pues, sólo hay una asíntota, $\text{r}:y=0$

b)
Hemos calculado ya la primera derivada de la función: $f'(x)=(1-\dfrac{1}{3}x)\,e^{x/3}$. Veamos si $f(x)$ presenta extremos relativos ( que son todos los valores de $x$ donde la función es derivable y cuya derivada es nula ): $$f'(x)=0 \Leftrightarrow x=3$$ luego la función tiene un único extremos relativo. A continuación, debemos determinar qué tipo de extremo relativo es; para ello emplearemos el criterio del signo de la segunda derivada.

Derivando la primera derivada obtenemos $$f''(x)=(1-\dfrac{1}{3}x)'\,e^{x/3}+(1-\dfrac{1}{3}x)\,(e^{x/3})'=\dfrac{1}{3}(1-\dfrac{4}{3}x)\,e^{x/3}$$ Observemos que $f''(3)\prec 0$, luego $x=3$ es la abscisa de un máximo relativo. Su ordenada es igual a $f(3)=(6-3)\,e^{3/3}=3e\approx 8,15$

Intervalos de crecimiento/decrecimiento:
$I_{\uparrow}=(-\infty,3)$ y $I_{\downarrow}=(3,+\infty)$



A modo de resumen, dibujamos la gráfica de la función:

c)
La pendiente $m$ de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en $x=0$ es $f'(0)$. Recordemos que $f'(x)=(1-\dfrac{1}{3}x)\,e^{x/3}$, luego $m=(1-0)e^0=1$

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en $x=0$ es $\text{t}:y=1\cdot x+k$. Procedemos a calcular el valor de $k$. Como en $x=0$, la ordenada de la función ( $f(0)=(6-0)\,e^{0}=6$ ) y la ordenada la ordenada de la recta tangente ( que es igual a $0\cdot 1 +k$ ) han de tener el mismo valor, $$6=0+k$$ luego $k=6$, por tanto la ecuación de la recta tangente pedida es $$\text{t}:y=x+6$$ que aparece representada en la figura, junto con la región del plano cuya área queremos determinar

El punto de corte de la recta tangente con el eje de abscisas es $C(-6,9)$; en efecto, imponiendo que $y=0$, $x+6 \Leftrightarrow x=-6$

Así, el área de la región triangular pedida ( coloreada en la figura ) es $$\displaystyle \int_{-6}^{0}\,(x+6)\,dx=\left[\dfrac{1}{2}x^2+6x\right]_{-6}^{0}=18$$

$\square$

Integració del moviment

Exemples d'aplicació de la integral indefinida (funcions primitives d'una funció donada)

Enunciat:
Considereu que la funció $v(t)=t^3-t^2+t+1$ ( $t$ designa la variable temps ) descriu la velocitat instantània d'una partícula en un moviment unidimensional i rectilini (al llarg de l'eix $\text{Ox}$). Sabent que a l'instant $t=1 \; \text{s}$, la posició $s$ és igual a $1 \, \text{m}$ (respecte de l'origen), determineu:
    a) la funció que dóna l'acceleració instanània $a(t)$
            [la funció acceleració instantània $a(t)$ és la funció derivada de la funció velocitat $v(t)$]
    b) la funció que dóna la posició en cada instant de temps $x(t)$
            [la funció velocitat instantània $v(t)$ és la funció derivada de la funció de posició instantànica $x(t)$]
    c) els valors de la posició, la velocitat, i l'acceleració per a $t=2 \, \text{s}$

Resolució:
a)     Trobem la funció acceleració derivant la funció velocitat
$a(t)=\dfrac{dx}{dt}$
        $=3\,t^2-2\,t+1$

b)     Per determinar la funció de posició cal resoldre el problema de la integral indefinida de la funció $v(t)$; és a dir,

$\displaystyle \int \,v(t)\,dt$

que, com és ben sabut, és igual a una família de funcions primitives $\{x(t)+C\}$     (on $C$ representa la constant d'integració )

Integrant (en aquest cas es tracta d'una i. semi immediata), trobem fàcilment

$\displaystyle \int \, \big(t^3-t^2+t+1 \big) \, dt = \dfrac{1}{4}\,t^4 - \dfrac{1}{3}\,t^3 + \dfrac{1}{2}\,t^2+ t + C \quad \quad \quad (1)$

I, imposant la condició inicial $x(1)=1$, determinem el valor de la constant d'integració: $C$

$\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}+1+C=1$

per tant

$C=-\dfrac{5}{12} \; \text{m}$

I, finalment, substituint aquest valor en (1) podem concretar la funció de posició

$x(t)=\dfrac{1}{4}\,t^4 - \dfrac{1}{3}\,t^3 + \dfrac{1}{2}\,t^2+ t - \dfrac{5}{12}$

c)     Substituint aquest valor de la variable temps a les funcions corresponents obtenim:
      $x(2)=\ldots=\dfrac{59}{12} \; \text{m}$ (la coordenada de posició es pot expressar com la distància a l'origen de coordenades)
      $v(2)=\ldots=7 \; \text{m}\;\text{s}^{-1}$
      $a(2)=\ldots=9 \; \text{m}\;\text{s}^{-2}$

$\square$

Un ejercicio de integración

ENUNCIADO.
a) Determinar el polinomio $f(x)$, sabiendo que $f'''(x)=12$, para todo $x \in \mathbb{R}$ y, además, verifica: $f(1)=3$; $f'(1)=1$; $f''(1)=4$
b) Determinar el polinomio $g(x)$, sabiendo que $g''(x)=6$, para todo $x \in \mathbb{R}$ y que, además, verifica: $$\displaystyle \int_{0}^{1}\,g(x)\,dx=5$$ y $$\displaystyle \int_{0}^{2}\,g(x)\,dx=14$$

SOLUCIÓN.
a)
Si $f(x)$ es un polinomio y $f'''(x)=12$ ( constante ) para todo $x \in \mathbb{R}$, entonces $\text{grado}(f(x))=3$ y por tanto $f(x)=a\,x^3+b\,x^2+c\,x+d \quad \quad (1)$
luego derivando,
$$f'(x)=3ax^2+2bx+c \quad \quad (2)$$
$$f''(x)=6ax+2b \quad \quad (3)$$
$$f'''(x)=6a=12 \Rightarrow a=\dfrac{12}{6}=2$$

Teniendo en cuenta ahora que $f''(1)=4$, y siendo $a=2$, de (3) se deduce que $b=-4$. Por otra parte, como $f'(1)=1$, sustituyendo los valores encontrados de $a$ y $b$ en (2) vemos que $c=3$. Y, finalmente, como $f(1)=3$, sustituyendo los valores de los coeficientes $a,b$ y $c$ en (1), encontramos que $d=2$

Por consiguiente, $$f(x)=2\,x^3-4\,x^2+3\,x+2$$

b)
Si $g''(x)=6$ ( constante ) para todo $x \in \mathbb{R}$, entonces $\text{grado}(g(x))=2$ y, por tanto, $$g(x)=m\,x^2+n\,x+k \quad \quad (4)$$ derivando
$$g'(x)=2mx+n \quad \quad (5)$$
$$g''(x)=2m \quad \quad (6)$$

Teniendo en cuenta que $g''(x)=6$, de (6) deducimos que $2m=6 \Rightarrow m=3$, con lo cual $g(x)=3\,x^2+nx+k$.

Además, sabemos que $\displaystyle \int_{0}^{1}\,g(x)=5$, y, por otra parte, $$\displaystyle \int_{0}^{1}\,g(x)\,dx\overset{(4)}{=}\displaystyle \int_{0}^{1}\, (3x^2+nx+k)\,dx = \left[3\cdot \dfrac{1}{3}\,x^3+\dfrac{1}{2}\,x^2+k\,x\right]_{0}^{1}=\dfrac{1}{2}\,n+k+1$$ luego $$\dfrac{1}{2}\,n+k+1=5 \Leftrightarrow n+2k=8$$

EN PROCESO ...

Dada la función ...

ENUNCIADO. Dada la función $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{\ln\,(1-x)}{1-x} &\text{si}& x\prec 0 \\
x\,e^{-x}&\text{si}& x\ge 0 \end{matrix}\right.$$ se pide:
a) Estudiar la continuidad de $f$ y calcular $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\,f(x)$
b) Calcular la recta tangente a la curva $y=f(x)$, en $x=2$
c) Calcular $\displaystyle \int_{-1}^{1}\,f(x)\,dx$

SOLUCIÓN.

a)
El dominio de definición de la función es $\text{Dom}_f=\{x \in \mathbb{R}: 1-x \succ 0\; \text{y}\; x \neq 1 \}=(-\infty\,,\,1)$. Veamos pues, si la función es discontinua en alguno de los puntos donde la función está definida; en particular, en el punto que separa los dos tramos de la función, $x=0$.

Para que la función sea continua en $x=0$ debe cumplirse que exista el límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,f(x)=\ell$ y que $f(0)=\ell$. El valor de función en $x=0$ viene dada por el segundo tramo de la definición ( dada la desigualdad débil ), luego $f(0)=0\cdot e^{0}=0\cdot 1=0$. Estudiemos ahora el límite; para que exista el límite global deben existir y ser iguales los límites laterales; como $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-}\,\dfrac{\ln\,(1-0)}{1-0}=\dfrac{\ln\,1}{1}=\dfrac{0}{1}=0$ y $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}}=0 \cdot e^0=0 \cdot 1 =0$, el límite existe y es igual a $\ell=0$ y como $\ell = f(0) = 0$, la función es continua en $x=0$.

En los demás puntos del dominio de definición, la función es continua.

Nota: podrían presentarse problemas en $x=1$ si este valor formase parte del dominio de definición de la función, pero no es ese el caso.

Pasemos ahora a calcular el límite pedido
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow -\infty}\,\dfrac{\ln\,(1-x)}{1-x}=\dfrac{\infty}{\infty}\overset{\text{L'Hôpital}}{=} \lim_{x \rightarrow -\infty}\,\dfrac{(\ln\,(1-x))'}{(1-x)'}=$
$=\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}\,\dfrac{-1/(1-x)}{-1}=\lim_{x \rightarrow -\infty}\,\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{1}{-(-\infty)}=\dfrac{1}{+\infty}=0$

b)
La función no está definida en $x=2$, luego no existe la recta tangente pedida.

c)
De $-1$ a $1$ la función pasa de un tramo ( de definición a otro ), por lo tanto separaremos el dominio de integración, $[-1\,,\,1)$, en dos subintervalos: $[-1\,,\,0)$ y $[0\,,\,1)$:
$$\displaystyle \int_{-1}^{1}\,f(x)\,dx=\int_{-1}^{0}\,\dfrac{\ln\,(1-x)}{1-x}\,dx + \int_{0}^{1}\,x\,e^{-x}\,dx \quad \quad (1)$$

Integramos el primer término integral de (1):
$\int_{-1}^{0}\,\dfrac{\ln\,(1-x)}{1-x}\,dx \overset{\text{Barrow}}{=}F(0)-F(-1)$   (2), por lo que debemos encontrar ahora una función primitiva, $F(x)$, de la función integrando; para ello, calculamos la integral indefinida: $\displaystyle \int\, \dfrac{\ln\,(1-x)}{1-x}\,dx = -\int d(\ln\,(1-x))=-\ln\,(1-x)+C$ donde $C$ es la constante de integración; así pues, una función primitiva es $F(x)=\dfrac{\ln\,(1-x)}{1-x}$, por tanto, de (2), $$\int_{-1}^{0}\,\dfrac{\ln\,(1-x)}{1-x}\,dx=-\left(\ln(1-0)-\ln(1-(-1))\right)=-(\ln\,1-\ln\,2)=0+\ln\,2=\ln\,2$$

Procedomos a integrar el segunto término integral de (1):
$\displaystyle \int_{0}^{1}\,x\,e^{-x}\,dx \overset{\text{Barrow}}{=}G(1)-G(0)$   (2); encontremos pues una función primitiva, $G(x)$, de la función del integrando: $\displaystyle \int\, x\,e^{-x} \,dx \overset{\text{por partes}}{=} -e^{-x}\,(x+1) +C$ donde $C$ es la constante de integración. Entonces, de (2), $$\displaystyle \int_{0}^{1}\,x\,e^{-x}\,dx = -\left( (1 \cdot e^{-1}+e^{-1}) - ( 0 \cdot e^0 +e^0)\right)=\dfrac{e-2}{2}$$

Damos a continuación un detalle aclaratorio del resultado de la integración por partes de la integral indefinida $\displaystyle \int\, x\,e^{-x} \,dx$ por partes. Sea $u:=x$, entonces $du=dx$; por otra parte, sea $dv:=e^{-x}\,dx$, entonces $v=\int\,e^{-x}\,dx=-e^{-x}+k$, luego
$\displaystyle \int\, x\,e^{-x} \,dx =\int\,u\,dv\overset{\text{propiedad}}{=}uv-\int v\,du=$
$= -x\,e^{-x}-\int\,e^{-x}\,dx=-x\,e^{-x}-e^{-x}=(x+1)\,e^{-1}$

Finalmente, sustituyendo los resultados de los dos términos integrales en (1), encontramos el siguiente resultado para la integral definida pedida: $$\displaystyle \int_{-1}^{1}\,f(x)\,dx=\ln\,2+\dfrac{e-2}{2}$$

$\square$

Una partícula se mueve en línea recta, con una celeridad de ...

ENUNCIADO
Una partícula se mueve en línea recta, con una celeridad ( módulo de la velocidad ) dada por la función $v(t)=t^3$ ( en metros por segundo ). Se sabe que en el instante $t=1\,\text{s}$ se encuentra a $10\,\text{m}$ del origen de coordenadas. ¿ Cuál es su posición en cada instante de tiempo ? ¿ Cuál es la función que da el módulo de aceleración en cada instante de tiempo ?.

SOLUCIÓN
Como la función celeridad se define como la derivada de coordenada de posición, $x(t)$, respecto del origen de coordenadas, podemos escribir $$\dfrac{dx}{dt}=t^3$$ luego, empleando la notación de Leibniz $$dx=t^3\,dt$$ con lo cual $$\int dx = \int t^3\,dt$$ que es igual a la familia de primitivas $$x(t)=\dfrac{1}{4}\,t^4+C$$ Ahora bien, debemos determinar el valor de la constante de integración, dadas las condiciones del enunciado; así, pues, como $x(1)=10$ tenemos que $$10=\dfrac{1}{4}\,1^4+C $$ y por tanto, despejando la constante de integración, $$C=10-\dfrac{1}{4}=\dfrac{39}{4}$$. En consecuencia, $$x(t)=\dfrac{1}{4}\,x^4+\dfrac{39}{4}$$

Por otra parte, el módulo de la aceleración se define como el ritmo instantáneo de variación de la función celeridad, $a(t)=(v(t))'=(t^4)'=4\,t^3$. $\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}$

Solución:
Haciendo el cambio de variable
    $e^x=t \Rightarrow dt=e^x\,dx$
podemos escribir
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}=\int\,\dfrac{dt}{\sqrt{t+1}}$
y, a su vez, con éste otro cambio, $1+t=u^2 \Rightarrow dt=2\,u\,du$, llegamos a
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}=\int\,\dfrac{dt}{\sqrt{t+1}}=\int\,\dfrac{2\,u\,du}{u}=2\,\int\,du=2\,u+k_1$
Deshaciendo ahora los cambios por orden inverso
    $2\,u+k_1=2\,\sqrt{1+t}+k_2=2\,\sqrt{e^x+1}+C$
vemos que
    $\displaystyle \int \, \dfrac{e^x\,dx}{\sqrt{1+e^x}}=2\,\sqrt{e^x+1}+C$
$\square$

[nota del autor]

Resolver la integral indefinida $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}$

Enunciado:
Resolver la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}$

Solución:
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}=\int \, \dfrac{\frac{1}{9}\,dx }{\big(\frac{x}{3}\big)^2+1}$
y haciendo el cambio de variable
    $\dfrac{x}{3}=t \Rightarrow dx=3\,dt$
obtenemos
    $\displaystyle \frac{1}{3}\,\arctan{t}+k$
deshaciendo finalmente el cambio de variable llegamos a
    $\displaystyle \int \, \dfrac{1}{x^2+9}=\frac{1}{3}\,\arctan{\frac{x}{3}}+C$
$\square$

[nota del autor]