Sobre una enfermedad infecciosa asintomática se sabe que la tiene un 4\,\% de la población. Un cierto test de diagnóstico es capaz de detectar la infección en el 95\,\% de las personas que están realmente infectadas, pero da como infectadas a un 5\,\% de las personas que en realidad no lo están. Calcular la probabilidad de que, elegida una persona al azar:
a) Dé positivo en el test
b) Habiendo dado positivo en el test, no tenga la enfermedad ( falso positivo )
c) Habiendo dado positivo en el test, tenga la enfermedad
SOLUCIÓN.
a)
Una partición del espacio muestral \Omega (asociado a la experiencia aleatoria 'elegir una persona al azar') viene dada por \{E,\bar{E}\}, donde E representa el suceso "tener la enfermedad" y \bar{E} el suceso "no tener la enfermedad". Sea D el suceso, "dar positivo en el test". Entonces, por el teorema de la probabilidad total, podemos escribir P(D)=P(D|E)P(E)+P(D|\bar{E})P(\bar{E}) así que, poniendo los datos del problema, encontramos P(D)=0,95\cdot 0,04+0,05\cdot (1-0,04)=0,086
b)
Aplicando el teorema de Bayes, P(\bar{E}|D)=\dfrac{P(D|\bar{E})P(\bar{E})}{P(D)}= \dfrac{0,05\cdot (1-0,04)}{0,086}=0,5581
c)
P(E|D)=1-P(\bar{E}|D)=1-0,5581=0,4419 que, de forma alternativa, también podemos calcular aplicando, otra vez, el teorema de Bayes: P(E|D)=\dfrac{P(D|E)P(E)}{P(D)}= \dfrac{0,95\cdot 0,04}{0,086}=0,4419
\square
No hay comentarios:
Publicar un comentario
Gracias por tus comentarios