¿Qué son los elementos pivote de una matriz?

Dada una matriz $M$ de tamaño $m \times n$, se denomina pivote (de una cierta fila) al primer elemento distinto de cero de dicha fila. Este concepto es importante a la hora de leer los textos que hablan de la reducción de una matriz, para poder entenderlos bien. Así, por ejemplo, en la siguiente matriz, de tamaño $3 \times 4$, $A=\begin{pmatrix}0&0&2&-1\\ 4&-3&6&5 \\ 0 & 8 & 7 & -2\end{pmatrix}$, el pivote de la primera fila es $2$; el de la segunda fila es $4$ y el de la tercera es $8$.

Calculemos el rango de dicha matriz:

Recordemos que el rango de una matriz es el número de filas no identicamente nulas que quedan tras haber reducido por Gauss (escalonado) dicha matriz. Tengamos en cuenta que el rango de una matriz no se altera al cambiar el orden de las filas; así que, para escalonar una matriz, podemos ordenar las filas de manera que el pivote de la primera esté a la izquierda del de la segunda, y el de la segunda a la izquierda del de la tercera, siguiendo así en el caso de que hubiesen más filas; a continuación, procederíamos a realizar las combinaciones entre filas que permitiesen obtener los ceros por debajo de cada pivote (en las respectivas columnas). En el caso que nos ocupa, no hace falta hacer ninguna combinación entre filas: basta con cambiar la primera fila por la segunda, y, a continuación, la segunda por la tercera, con lo cual vemos que $\text{rango}(A)=\text{rango}\,\begin{pmatrix} 4&-3&6&5 \\ 0 & 8 & 7 & -2\\ 0&0&2&-1\end{pmatrix}=3$ ya que, habiendo quedado escalonada la matriz que nos ocupa, el número de filas no identicament nulas es $3$· $\diamond$

Un ejercicio con matrices del tipo triangular inferior

ENUNCIADO. Sean $a,b,c,d$ números reales, la matriz triangular inferior $A=\begin{pmatrix}a&0\\ b&a\end{pmatrix}$ no nula y la matriz triangular inferior $B=\begin{pmatrix}c&0\\ d&c\end{pmatrix}$ no nula (nótese que los elementos de las diagonales principales son tales que $A_{11}=A_{22}=a$ y $B_{11}=B_{22}=c$). Compruébese que, así definidas, las matrices $A$ y $B$ conmutan.

SOLUCIÓN. Los cálculos simbólicos los he realizado con ayuda de la herramienta CAS, GNU MAXIMA [1]

(%i28)	A:matrix( [a,0],[b,a]   ); /* Defino una matriz genérica A */
(%o28)	matrix(
		[a,	0],
		[b,	a]
	)
(%i29)	B:matrix( [c,0],[d,c]   ); /* Defino una matriz genérica B */
(%o29)	matrix(
		[c,	0],
		[d,	c]
	)
(%i30)	is(A.B=B.A); /* Compruebo si conmutan. Nótese que en MAXIMA 
                      es necesario usar el punto bajo (.)
                      para la multiplicación de matrices 
                      en lugar del punto elevado (·), pues éste
                      multiplica elemento a elemnto; tal cosa
                      da lugar a muchas confusiones */
(%o30)	true /* En efecto, así es */


(%i31)	A.B; /* Observo el por qué */
(%o31)	matrix(
		[a*c,	0],
		[a*d+b*c,	a*c]
	)
(%i32)	B.A;
(%o32)	matrix(
		[a*c,	0],
		[a*d+b*c,	a*c]
	)
(%i33)	A.B-B.A;
(%o33)	matrix(
		[0,	0],
		[0,	0]
	)

$\diamond$

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Utilidades:

  [1] GNU MAXIMA

Toda matriz cuadrada puede expresarse de manera única como la suma de una matriz cuadrada simétrica y una matriz cuadrada hemisimétrica

Proposición

Pruébese que siendo $Q$ cualquier matriz cuadrada de orden $n$, no nula. Entonces, es posible escribir $Q=S+H$ de manera única, donde $S$ es una matriz (no nula) simétrica ($S=S^\top$); y $H$ es una matriz (no nula) hemisimétrica ($H=-H^\top$), ambas de orden $n$.

Demostración

Al ser $S$ una matriz simétrica, podemos escribirla de la forma $S=\dfrac{1}{2}\,(Q+Q^\top) \quad (1)$, donde $Q$ es una matriz cualquiera. En efecto, al trasponer $S$, se tiene que $S^\top= \dfrac{1}{2}\,(Q+Q^\top)=\dfrac{1}{2}\,(Q^\top+Q)=S$, como debe ser.

Y al ser $H$ una matriz hemisimétrica, podemos escribirla de la forma $H=\dfrac{1}{2}\,(Q-Q^\top) \quad (2)$, donde, igual que antes, $Q$ es una matriz cualquiera. En efecto, al trasponer $H$, se tiene que $H^\top= \dfrac{1}{2}\,(Q-Q^\top)=\dfrac{1}{2}\,(Q^\top-Q)=-\dfrac{1}{2}\,(Q-Q^\top)=-H$, como debe ser.

De lo arriba dicho se sigue que, sumando miembro a miembro, las igualdades (1) y (2), se tiene que $S+H=\dfrac{1}{2}\,(Q+Q^\top)+\dfrac{1}{2}\,(Q-Q^\top)=\dfrac{1}{2}\,(Q+Q+Q^\top-Q^\top)=\dfrac{1}{2}\cdot 2\,Q=Q$.

Veamos ahora que dicha descomposición $Q=S+H$ es única. Empecemos suponiendo lo contrario, entonces existe una matriz simétrica $S'\neq S$ y una matriz hemisimétrica $H'\neq H$ tales que $Q$ también puede expresarse como $Q=S'+H'$, entonces $Q=S+H=S'+H'$, y, por tanto, $(S+H)^\top=(S'+H')^\top$, esto es, $S^\top+H^\top=S'^\top+H'^\top$, y de ahí se sigue que $S-H=S'-H'$, luego $S-S'=H-H' \Leftrightarrow S-S'=H-H'=O$ (matriz nula), con lo cual $S=S'$ y $H=H'$, en contra de la hipótesis de partida.$\square$

Ejemplo

Cálculos efectuados con GNU Octave (la notación prima como instrucción indica la traspuesta de una matriz)

>> Q=[1,2,3;-1,0,2;2,1,1]
Q =

   1   2   3
  -1   0   2
   2   1   1

>> S=(Q+Q')/2
S =

   1.0000   0.5000   2.5000
   0.5000        0   1.5000
   2.5000   1.5000   1.0000

>> H=(Q-Q')/2
H =

        0   1.5000   0.5000
  -1.5000        0   0.5000
  -0.5000  -0.5000        0

>> S+H
ans =

   1   2   3
  -1   0   2
   2   1   1

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Un ejemplo de las bondades de usar una herramienta de cálculo automático para operar con matrices

Toda vez que ya se sepa operar perfectamente a mano, conviene aprender a utlizar un programa/calculadora que permita hacer cálculos de manera automática. Aquí tenéis un ejemplo con GNU Octave [1]: dada la matriz cuadrada, de orden $3$, $A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\1&0&0\\1&1&1\end{pmatrix}$ y la matriz identidad (también de orden $3$), $I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$, queremos calcular la matriz que resulta al realizar la operación $A^5-2\,A^3+7\,A-I$. Basta con escribir las siguientes instrucciones en el panel correspondientes, para obtener el resultado rápidamente.

>> A=[1,-1,0;1,0,0;1,1,1]
A =

   1  -1   0
   1   0   0
   1   1   1

>> I=[1,0,0;0,1,0;0,0,1]
I =

   1   0   0
   0   1   0
   0   0   1

>> A^5-2*A^3+7*A-I
ans =

   8  -6   0
   6   2   0
   0   9   5

>>

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Utilidades:

  [1] GNU Octave

Un ejercicio sobre el producto de matrices

ENUNCIADO. Sean las matrices $A=\begin{pmatrix}1&0&1\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$. Calcúlense los productos $A\,B$ y $B\,A$.

SOLUCIÓN. Los tamaños de las matrices son $A_{1\times 3}$ y $B_{3\times 1}$, por lo que $A\,B$ es una matriz de tamaño $1\times 1$; y $B\,A$, una matriz de tamaño $3\times 3$. Operando según la regla de multiplicación matricial, se obtiene $A\,B=1$ y $B\,A=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&1\\1&0&1\end{pmatrix}$. $\diamond$

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Comentario/sugerencia: Si ya se ha aprendido a multiplicar matrices sin la ayuda de calculadora/ordenador, se utilice algúna herramienta de cálculo numérico (o bien alguna herramientas CAS). A continuación, muestro las instrucciones para hacerlo con GNU Octave [1]

    >> A=[1,0,1]
A =

   1   0   1

>> B=[0;1;1]
B =

   0
   1
   1

>> A*B
ans = 1
>> B*A
ans =

   0   0   0
   1   0   1
   1   0   1

>>

  

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Utilidades:

  [1] GNU Octave

Otro ejercicio sobre potencias sucesivas de matrices cuadradas

ENUNCIADO. Dada la matriz $A=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$, calcúlense las potencias sucesivas de $A$.

SOLUCIÓN. Calculemos las primeras potencias sucesivas: $$A^2=A\,A=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$$ y, por tanto, $$A^3=A^2\,A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$$ $$A^4=A^3\,A=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0 \\ 0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$$ y así sucesivamente; en vista de lo cual, se concluye que $A^n= \begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}$ para todo $n\ge 2$. $\diamond$

Uso del álgebra lineal en un problema de sucesiones numéricas

ENUNCIADO. Considérese la sucesión de números enteros positivos $1,3,6,10,15,\ldots$. Obténgase la fórmula del término general y calcúlese el valor de quincuagésimo término.

SOLUCIÓN. Observemos que la sucesión de las primeras diferencias es $2,3,4,5,\ldots$; y, la de las segundas, $1,2,3,\ldots$. Una sucesión tal como la propuesta es de naturaleza cuadrática en $n$ (índice de los términos de la sucesión), por tanto podemos escribir que el término genérico es $f(n)=a\,n^2+b\,n+c$, donde los coeficientes (a determinar) son números racionales.

Calculemos pues el valor de dichos coeficientes. Para ello, basta tener en cuenta que $f(1)=1=a\cdot 1^2 + b\cdot 1+c$; $f(2)=3=a\cdot 2^2 + b\cdot 2+c$; y $f(3)=6=a\cdot 3^2 + b\cdot 3+c$. Así, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\left\{\begin{matrix}a+b+c=1\\ 4a+2b+c=3\\ 9a+3b+c=6\end{matrix}\right.$$

En forma matricial, el sistema se escribe $$M\,X=B$$ donde $M=\begin{pmatrix}1&1&1\\4&2&1\\9&3&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1\\3\\6\end{pmatrix}$ y $X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$

En mis materiales encontraréis muchos ejercicios de resolución de un sistema de ecuaciones lineales, paso a paso. En este caso en concreto, no deberíais tener ninguna dificultad para resolverlo sin ayuda de calculadora o de un ordenador; por lo que en este ejercicio vamos a emplear un programa de cálculo numérico, como es GNU OCTAVE [1], para resolverlo de manera automática, que, por razones más que obvias, también es muy conveniente que aprendáis a utilizarlo.

Las instrucciones que hay que escribir son muy sencillas, si bien pueden emplearse instrucciones de GNU Octave que corresponden a varios procedimientos alternativos de álgebra lineal (el enlace lleva a un artículo de otro de mis blogs, que recomiendo que leáis):

  >> M=[1,1,1;4,2,1;9,3,1]
M =

   1   1   1
   4   2   1
   9   3   1

>> B=[1;3;6]
B =

   1
   3
   6

>> X=linsolve(A,B)
A =

   0.5000
   0.5000
        0

  

Entonces, $a=b=1/2$ y $c=0$. Por consiguiente, $f(n)=\dfrac{n^2+n}{2}$; y, por tanto, $f(50)=\dfrac{50^2+50}{2}=1275$. $\diamond$

$\diamond$

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Utilidades:

  [1] GNU Octave

Un ejercicio de demostración por inducción, y cálculo de la potencia $20$-ésima de una cierta matriz (cuadrada)

ENUNCIADO. Siendo $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$, demuéstrese la siguiente proposición $$\mathcal{P}:\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}1&n&\dfrac{n^2+n}{2}\\0&1&n\\0&0&1\end{pmatrix}\quad \text{para} \quad \mathbb{N} \ni n\ge 1$$

Una vez probada la proposición, calcúlese $\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}^{20}$

SOLUCIÓN. Utilizaremos el métode de demostración por inducción, y por tanto seguiremos los siguientes pasos:

1. La proposición se cumple para $n=1$; en efecto, $A=A^1\overset{\mathcal{P}(1)}{=}A^n|_{n=1}=\begin{pmatrix}1&1&\dfrac{1^2+1}{2}\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$
2. Suponemos que la proposición es cierta para $n$: $\mathcal{P}(n): A^n=\begin{pmatrix}1&n&\dfrac{n^2+n}{2}\\0&1&n\\0&0&1\end{pmatrix}$ (hipótesis de inducción)
3. Deberemos probar ahora que la proposición también se cumple para $n+1$: $A^{n+1}=A^n\,A=\begin{pmatrix}1&n&\dfrac{n^2+n}{2}\\0&1&n\\0&0&1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&n+1&1+n+\dfrac{n^2+n}{2}\\0&1&n+1\\0&0&1\end{pmatrix}=$
   $=\begin{pmatrix}1&n+1&\dfrac{2(n+1)+n(n+1)}{2}\\0&1&n+1\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&n+1&\dfrac{(n+1)\left((n+1)+1\right)}{2}\\0&1&n+1\\0&0&1\end{pmatrix}=$ $=\begin{pmatrix}1&n+1&\dfrac{(n+1)^2+(n+1)}{2}\\0&1&n+1\\0&0&1\end{pmatrix}$ y por tanto queda demostrada la validez de $\mathcal{P}$ para $n+1$, $\mathcal{P}(n+1)$. $\square$

Entonces, $\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}^{20}\overset{\mathcal{P}(n=20)}{=}\begin{pmatrix}1&20&\dfrac{20^2+20}{2}\\0&1&20\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&20&210\\0&1&20\\0&0&1\end{pmatrix}$

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Potencia $n$-ésima de la matriz unitaria de orden $3$

ENUNCIADO. Pruébese (demuéstrese) que siendo $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$, entonces $A^n=3^{n-1}\,A$ para $\mathbb{N} \ni n\ge 1$

SOLUCIÓN. Utilizaremos el métode de demostración por inducción, y por tanto seguiremos los siguientes pasos:

1. La proposición se cumple para $n=2$; en efecto, $A^2=A\,A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&3&3\\3&3&3\\3&3&3\end{pmatrix}=3\,A=3^{2-1}\,A$
2. Suponemos que la proposición es cierta par $\mathbb{N} \ni n\ge 1$: $A^n=3^{n-1}\,A$ (hipótesis de inducción)
3. Deberemos probar ahora que también se cumple para $n+1$: $A^{n+1}\overset{\text{?}}{=}3^{(n+1)-1}\,A$, esto es $A^{n+1}\overset{\text{?}}{=}3^{n}\,A$. En efecto, de $A^{n}=3^{n-1}\,A$, y multiplicando por $A$ ambos miembros de la igualdad, se tiene que $A^{n}\,A=A^{N+1}=3^{n-1}\,A\,A=3^{n-1}\,A^2\overset{(1)}{=}3^{n-1}\cdot 3\, A=3^{(n-1)+1}\,A=3^n\,A=3^{(n+1)-1}\,A$

$\diamond$

Un ejemplo de cálculo de álgebra lineal con la herramienta GNU Octave

El software matemático GNU Octave —pertenece al software libre, y por tanto, es gratuito— es una valiosa herramienta empleada en el cálculo y en el análisis numérico —ofrece también un nutrido repertorio de utilidades para la elaboración de gráficas— que no es difícil de empezar a utilizar en Bachillerato si restringimos sus prestaciones al currículo propio de dichos estudios, si bien sus posibilidades van mucho más allá, orientándose realmente a los estudios universitarios, incluso a la investigación. Para animaros a que lo utilicéis, en este ejemplo muestro cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales compatible determinado empleando el método de la matriz inversa. És claro que no podréis usar esta herramienta en los exámenes de acceso a la universidad y en los exámenes ordinarios (por lo menos, de momento), pero os ayudará enormemente cuando estudiéis la asignatura en vuestra casas, permitiéndoos investigar en los conceptos y procedimientos, así como contrastar, comprobar o, simplemente, saltaros los procedimientos rutinarios (ya aprendidos) para resolver problemas más interesantes.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales con tres incóngitas $$\left.\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&1 \\ x&-&2y&+&3z&=&2 \\ x&+&3y&-&z&=&3\end{matrix}\right\}$$ que en forma matricial puede escribirse de la forma $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & 3 & -1 \end{pmatrix}\,\begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}$$ Entendiendo por $A$ la matriz de los coeficientes del sistema, por $X$ el vector columna de las incóngnitas y por $B$ el vector columna de los términos independientes, podemos escribir la ecuación matricial $$AX=B$$ Multiplicando ambos miembros por $A^{-1}$, se tiene que $A^{-1}AX=A^{-1}B$, y como $A^{-1}A=I$ (matriz identidad), teniendo en cuenta que $IX=X$, llegamos a $$X=A^{-1}B$$ Esto constituye el método de la matriz inversa para resolver el sistema de ecuaciones, obteniendo éstas, esto es, el vector columna de las incógnitas, que, claro está, para poder aplicarlo es necesario que $\text{det}(A)\neq 0$ (el sistema tiene que ser compatible).

Voy ahora a resolverlo, con la ayuda del GNU Octave:

  >> A=[1,1,1;1,-2,3;1,3,-1]
A =

   1   1   1
   1  -2   3
   1   3  -1
   
>> det(A)
ans = 2
% Como el determinante de la matriz de los coeficientes es
% distinto de cero, la matriz es regular (inversible) y su 
% rango es 3; en efecto,

>> rank(A)
ans = 3


% Analicemos el sistema según el tipo de solución
% (teorema de Rouché-Fröbenius)
% luego el sistema es compatible; 
% Además, es compatible, habida cuenta de que 
% el rango de la matriz ampliada es también 3,

% (en efecto, el rango de la matriz ampliada es 3)

>> A_a=[1,1,1,1;1,-2,3,2;1,3,-1,3]
A_a =

   1   1   1   1
   1  -2   3   2
   1   3  -1   3

>> rank(A_a)
ans = 3

% Por otra parte, el rango, que es 3, 
% es igual al número de incóngitas
% por lo que el sistema es (compatible) determinado


% Procedo a resolverlo,
% calculando la matriz inversa de A: 
>> A_i=inv(A)
A_i =

  -3.5000   2.0000   2.5000
   2.0000  -1.0000  -1.0000
   2.5000  -1.0000  -1.5000


% Compruebo que está bien calculada:
% el producto de la matriz A por su inversa
% (y el de la inversa de A por A)
% ha de ser igual a la matriz identidad

>> I=[1,0,0;0,1,0;0,0,1]
I =

   1   0   0
   0   1   0
   0   0   1


>> A_i*A
ans =

   1.0000   0.0000        0
        0   1.0000        0
        0   0.0000   1.0000

>> A*A_i
ans =

   1.0000        0        0
   0.0000   1.0000   0.0000
        0        0   1.0000

% Finalmente, calculo el vector de las incóngitas X:

% (defino antes el vector de los términos independientes)
>> B=[1;2;3]
B =

   1
   2
   3

% Y he aquí la solución del sistema
>> X=A_i*B
X =

   8
  -3
  -4

% Compruebo la solución, sustituyendo en las ecuaciones
% los valores de las incóngitas que acabamos de calcular

% Los sustituyo en la primera ecuación
% Para ello, téngase en cuenta que 
% el valor de la variable x es X(1),
% y es X(2) 
% y z es X(3)
% ya que en el programa, X, es un arreglo ('array' o 'vector')
% que tiene estas tres componentes. 
% En efecto:

>> X(1)+X(2)+X(3)
ans = 1
que, en efecto, es el valor 
del término independiente de la misma


% Los sustituyo en la segunda ecuación
>> X(1)-2*X(2)+3*X(3)
ans = 2
que, en efecto, es el valor 
del término independiente de la misma

% Los sustituyo en la tercera ecuación
>> X(1)+3*X(2)-X(3)
ans = 3
que, en efecto, es el valor 
del término independiente de la misma.

$\diamond$

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Referencias

[1] https://octave.org/. Página web de desarrollo y descarga del programa de cálculo GNU Octave.
[2] John W. Eaton; David Bateman; Søren Hauberg; Rik Wehbring, Free Your Numbers, https://www.gnu.org/software/octave/octave.pdf. Manual actualizado de la herramienta GNU Octave.

Método algebraico para equilibrar una reacción química. Un ejemplo sencillo

Consideremos la reacción que consiste en quemar metano, para producir dióxido de carbono y agua. Vamos a aplicar el álgebra lineal para calcular los coeficientes estequiométricos.

Escribamos la ecuación con los correspondientes coeficientes: $$a\,CH_4+b\,O_2 \rightarrow c\,CO_2+d\,H_{2}O$$ Por la ley de conservación de la materia/masa (Lavoisier-Lomonósov) —en un sistema aislado, en toda reacción química ordinaria, la masa total en el sistema permanece constante—, es decir, la masa total de los reactivos (lado izquierdo de la reacción) es igual a la masa total de los productos (lado derecho de la reacción). El número de átomos de carbono tiene que ser el mismo en ambos miembros de la ecuación, con lo cual $$a=c$$ Lo mismo ocurre con el número de átomos de hidrógeno: $$4a=2d$$ Y lo mismo con el número de átomos de oxígeno: $$2b=2c+d$$ lo que nos lleva a resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}a=c\\ 4a=2d\\ 2b=2c+d\end{matrix}\right.$$ Y suponiendo $1$ molécula de metano como reactivo, $a:=1$, tenemos $$\left\{\begin{matrix}a=1\\a=c\\ 4a=2d\\ 2b=2c+d\end{matrix}\right.$$ luego $$\left\{\begin{matrix}a=c=1\\ 4=2d \Rightarrow d=2\\ 2b=2+2 \Rightarrow b=2\end{matrix}\right.$$ por consiguiente, la reacción se escribe de la forma $$CH_4+2\,O_2 \rightarrow CO_2+2\,H_{2}O$$ $\diamond$

Discusión de un sistema de ecuaciones lineales en función de un parámetro real y resolución del mismo en un determinado caso.

ENUNCIADO. Dado el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}kx&+&(k+1)y&+&z&=&0 \\ -x&+&ky&-&z&=&0\\(k-1)x&-&y&&&=&-(k+1)\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Discutir el sistema según los valores del parámetro real $k$
b) Resolver el sistema para $k:=-1$

SOLUCIÓN.
a)
La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es $$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}k&k+1&1&0\\ -1&k&-1&0\\k-1&-1&0&-(k+1)\end{array}\right)$$ Observemos que la submatriz de orden $2$ formada por los elementos de las filas segunda y tercera y por los elementos de las columnas segunda y tercera tiene determinante distinto de cero $\begin{vmatrix}k&-1\\-1&0\end{vmatrix}=1\neq 0$, de lo cual se desprende que el rango de la matriz $A$ ( y también el de la matriz $A^*$ ) es, al menos, $2$. Orlando dicha submatriz obtenemos dos menores complementarios de orden $3$:

$$M_1=\begin{vmatrix}k&k+1&1\\-1&k&-1\\k-1&-1&0\end{vmatrix}=-2\,(k^2-1)=0\Leftrightarrow k\in \{-1,1\}$$

$$M_2=\begin{vmatrix}k+1&1&0\\k&-1&0\\-1&0&-(k+1)\end{vmatrix}=(k+1)(2k+1)\Leftrightarrow k\in \{-1,1/2\}$$

Por consiguiente, y según el teorema de Rouché-Fröbenius:

i) Si $k=-1$, $M_1=M_2=0$ y por tanto los rangos de la matriz $A$ y de la matriz $A^*$ son menores que $3$, por consiguiente $\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=2$, luego el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria y dos variables principales ($n$ denota el número de variables del sistema).

ii) Si $k=1$, $M_1=0 \Rightarrow \text{rango}(A)=2$ y $M_2\neq 0\Rightarrow \text{rango}(A^*)=3$, y, al no coincidir los rangos el sistema es incompatible para dicho valor del parámetro $k$

iii) Para $k=-1/2$, así como para cualquier otro valor de $k$ distinto de $-1$ y de $1$, los rangos coinciden $r=\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=3=n$, y el sistema es compatible determinado.


b)
Si $k:=-1$ estamos en el caso (i) -- sistema compatible indeterminado con $1$ variable secundaria --. La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es ahora $$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}-1&0&1&0\\ -1&-1&-1&0\\-2&-1&0&0\end{array}\right)$$ Recordemos que el rango de dicha matriz es $2$ para este valor de $k$. Por otra parte, la tercera fila de dicha matriz es combinación lineal de las dos primeras ( el menor complementario formado por los elementos de las filas primera y segunda y por los elementos de las columnas primera y segunda es distinto de $0$, con lo cual un sistema equivalente está formado por las dos primeras filas $$\left\{\begin{matrix}-x&&&+&z&=&0 \\ -x&-&y&-&z&=&0\end{matrix}\right.$$ Desingando $z$ como variable secundaria: $z:=\lambda$, podemos escribirlo de la forma $$\left\{\begin{matrix}x&&&&&=&\lambda \\ &&y&&&=&-2\lambda \\ &&&&z&=&\lambda\end{matrix}\right.$$ Así pues la solución del sistema para dicho valor del parámetro viene dada por las infinitas ternas $$\{(\lambda,-2\lambda,\lambda):\lambda\in\mathbb{R}\}$$ o lo que es lo mismo: $$\{\lambda\,(1,-2,1):\lambda\in\mathbb{R}\}$$
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Otro ejercicio de álgebra lineal

ENUNCIADO. Dadas las matrices $$A=\begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 1 & a & 2 & 2-a \\ -1 & 2 & a & a-2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad M=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
a) Estúdiese el rango de $A$ en función del parámetro real $a$
b) Calcúlese, si es posible, la inversa de la matriz $AM$ para el caso $a=0$

SOLUCIÓN.

a)
I) Procedamos a realizar el análisis del rango por el método de los determinantes ( menores complementarios ). Como el tamaño de la matriz e $3\times 4$, el rango de la misma es menor o igual que $3$. Por otra parte, bbservemos que la sumbmatriz $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{13}\\ a_{21}& a_{23}\end{pmatrix}$ tiene determinante no nulo, $\begin{vmatrix}1&4\\1& 2\end{vmatrix}=2\cdot 1 - 1\cdot -4=-2\neq 0$, por tanto el rango de $A$ es al menos $2$. Para estudiar para qué valores de $a$ el rango es $3$, empleamos el algoritmo del orlado. Orlando esta submatriz nos encontramos solamente con dos menores de orden $2$:
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13} & a_{14}\\ a_{21}& a_{23} & a_{24} \\ a_{31}&a_{33} & a_{34}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&4&1\\ 1& 2 & 2-a \\ -1&a & a-2\end{vmatrix}=(a-1)(a+2)=0\Leftrightarrow a= \left\{\begin{matrix}-2 \\ 1\end{matrix}\right.$
y
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}&a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&3&4\\ 1& a & 2 \\ -1&2 & a\end{vmatrix}=(a-1)(a+2)=0\Leftrightarrow a= \left\{\begin{matrix}-2 \\ 1\end{matrix}\right.$
De lo cual se deduce que:
i) Si $a\in \{-2,1\}$, $\text{rango}(A)=2$
ii) Si $a\notin \{-2,1\}$, $\text{rango}(A)=3$

II) Comentaremos también el método de Gauss. Procedemos a obtener la matriz escalonada de $A$ por reducción de Gauss, pues la matriz escalonada así obtenida es equivalente en rango a la matriz original. El análisis, por este método, consiste en contar el número de filas no identicamente nulas de la matriz escalonada de Gauss que obtendremos, pues éste proporciona el rango de dicha matriz ( y por tanto el de la matriz original ) para el valor o valores del parámetro $a$ que correspondan con las situaciones que aparezcan:

$\begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 1 & a & 2 & 2-a \\ -1 & 2 & a & a-2 \end{pmatrix} \overset{f_2+f_3\,\rightarrow\, f_3\,,\,-f_1+f_2\,\rightarrow\, f_2}{\sim} \begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 0 & a-3 & -2 & 1-a \\ 0 & a+2 & a+2 & 0 \end{pmatrix}\sim$
$\overset{-(a+2)\,f_2+(a-3)\,f_3\,\rightarrow\, f_3}{\sim} \begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 0 & a-3 & -2 & 1-a \\ 0 & 0 & (a+2)(a-1) & (a+2)(a-1) \end{pmatrix}$
De lo cual se deduce que:
i) Si $a\in \{-2,1\}$, el número de filas no identicamente nulas de la matriz escalonada de Gauss es $2$, luego $\text{rango}(A)=2$
ii) Si $a\notin \{-2,1\}$, el número de filas no identicamente nulas de la matriz escalonada de Gauss es $3$, luego $\text{rango}(A)=3$


b) Observemos que $A_{3\times 4}\,M_{4\times 3} \rightarrow C_{3\times 3}$, así que siendo cuadrada, esta matriz tiene asociada matriz inversa, sólo en el caso de que sea regular.
Para $a:=0$, $C\overset{.}{=}\begin{pmatrix}1&3&4&1 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3&1 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \end{pmatrix}$ y como $\begin{vmatrix}1&3&1 \\ 1 & 0 & 2 \\ -1 & 2 & -2 \end{vmatrix}=-2\neq 0$, $C$ es regular, y, por tanto, inversible.

Calcularemos ahora la inversa de $C$ por el método de Gauss-Jordan ( que es un método de reducción ), efectuando operaciones elementales entre filas para transformar la matriz $(C|I)$ en la matriz $(I|C^-1)$
$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&3&1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \overset{-f_1+f_2\,\rightarrow\,f_2\,,\,f_2+f_3\,\rightarrow\,f_3}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&3&1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \rightarrow$

$\overset{2f_2+3f_3\,\rightarrow\,f_3}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&3&1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & -3 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 5 & 3 \end{array}\right) \overset{-f_2+f_1\,\rightarrow\,f_1\,,\,-f_3+2f_2\,\rightarrow\,f_2}{\rightarrow}$

$\rightarrow\,\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&6&0 & 2 & -1 & 0\\ 0 & -6 & 0 & 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 5 & 3 \end{array}\right) \overset{f_1+f_2\,\rightarrow\,f_2}{\rightarrow}
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0 & 2 & -4 & -3\\ 0 & -6 & 0 & 0 & -3 & -3 \\ 0 & 0 & 2 & -2 & 5 & 3 \end{array}\right)\rightarrow$

$\overset{(-1/6)\,f_2 \,\rightarrow f_2\,,\,(1/2)\,f_3\,\rightarrow\,f_3}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0 & 2 & -4 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 5/2 & 3/2 \end{array}\right)$

Así pues, $$C^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -4 & -3\\ 0 & 1/2 & 1/2 \\ -1 & 5/2 & 3/2 \end{pmatrix}$$

-oOo-
Nota: Si bien no lo haré aquí (para no alargarme demasiado), recordad que también podéis calcular la matriz inversa por el método de la matriz de los elementos adjuntos: $C^{-1}=\dfrac{1}{\text{det(C)}}\,(\text{Adj}(A))^t=\dfrac{1}{\text{det(C)}}\,\text{Adj}(A^t)$. Aquí podéis leer un artículo (en este mismo blog) donde expongo un ejemplo de cálculo de la matriz inversa (por el método de la matriz de los adjuntos) asociada a una matriz regular que también es de orden $3$, pero distinta a la este ejercicio.
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Resolución de problemas de aritmética mediante el álgebra. Sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra lineal

ENUNCIADO. Un estudiante pidió en la cafetería $3$ bocadillos, $2$ refrescos y $2$ bolsas de patatas y pagó un total lde $19$ euros. Al mirar la cuenta comprobó que le habían cobrado un bocadillo y una bolsa de patatas de más. Reclamó y le devolvieron $4$ euros.
Para compensar las molestias, el error lel ofreció llevarse un bocadillo y un refresco por sólo $3$ euros, lo que suponía un descuento del $40\,\%$ con respecto a sus precios originales.
¿ Cuáles eran los respectivos precios sin descuento de un bocadillo, un refresco y de una bolsa de patatas ?

SOLUCIÓN.
Denotemos por $b$ el número de bocadillos; por $r$, el número de refrescos, y por $p$ el número de bolsas de patatas. Según el enunciado, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones, que reduciremos por Gauss:
$\left\{\begin{matrix}3b&+&2r&+&2p&=&19-4 \\ b&&&+&p&=&4 \\ b&+&r&&&=&5 \end{matrix}\right.\overset{-3e_2+e_1\rightarrow e_2\,,\,-3e_3+e_1\rightarrow e_3}{\sim}$
    $\sim \left\{\begin{matrix}3b&+&2r&+&2p&=&15 \\ &&2r&-&p&=&3 \\ &&-r&+&2p&=&0 \end{matrix}\right.\overset{2e_3+e_2\rightarrow e_2}{\sim}$
        $\sim \left\{\begin{matrix}3b&+&2r&+&2p&=&15 \\ &&2r&-&p&=&3 \\ &&&&3p&=&3 \end{matrix}\right.$
De la tercera ecuación, despejamos $p$ y obtenemos $p=1$ euro; sustituyendo este resultado en la segunda ecuación, llegamos a $2r-1=3 \Rightarrow r=2$ euros. Y sustituyendo los dos resultados obtenidos en la primera ecuación ( o, mejor, en la segunda original ), encontramos $b=3$ euros.
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Otro ejercicio de álgebra lineal

ENUNCIADO. Se considera el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&4 \\ 3x&+&4y&+&5z&=&5 \\ 7x&+&9y&+&11z&=&a \end{matrix}\right.\;,\; \text{siendo}\; a\; \text{un parámetro real}$$ Se pide:
a) Los valores de $a$ para los que el sistema es compatible y los valores de $a$ para los que el sistema es incompatible
b) Todas las soluciones del sistema cuando sea compatible
c) La discusión de la compatibilidad y determinación del nuevo sistema de ecuaciones que se obtiene al cambier el coeficiente $a_{33}=11$ por cualquier otro número diferente

SOLUCIÓN
a) La matriz ampliada de los coeficientes del sistema con la columna de los términos independientes es $$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 3 & 4 & 5 & 5 \\ 7 & 9 & 11 & a\end{array}\right)$$ Esta vez, realizaremos el análisis de rangos empleando el método de los determinantes, si bien, desde luego, podríamos hacerlo también mediante la reducción de Gauss.

Observemos que el determinante de la submatriz $$\begin{pmatrix}a_{11}^* & a_{12}^* \\ a_{21}^* & a_{22}^* \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$ es distinto de cero $$\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=1\cdot 4-3\cdot 1=1\neq 0$$ luego los rangos de las matrices $A^*$ y $A$ ( matriz de los coeficientes del sistema ) son, al menos, $2$. Orlando dicha submatriz vemos que aparecen dos menores complementarios de orden $3$: $$\begin{vmatrix}1&1&1\\3&4&5\\7&9&11\end{vmatrix}=0$$ y $$\begin{vmatrix}1&1&4\\3&4&5\\7&9&a\end{vmatrix}=a-14=0 \Leftrightarrow a=14$$ de lo cual se deduce:

  Caso I) Si $a=14$, entonces $r\overset{.}{=}\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=2\prec n=3$ ( $n$ indica el número de incógnitas del sistema ), luego por el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria

  Caso II) Si $a\neq 14$, entonces $\text{rango}(A)=2 \neq \text{rango}(A^*)=3$, luego por el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es incompatible

b)
Estamos en el caso (I), siendo por tanto $a:=14$. Como hemos encontrado un menor complementario de orden $2$ que involucra las dos primeras filas de la matriz ampliada, un sistema equivalente al original es $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+z&=&4\\3x&+&4y&+5z&=&5 \end{matrix}\right.$$ ya que la tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras. Elegimos una variable como secundaria, pongamos que $z$, entonces $z=\lambda$, con lo cual podemos escribir el subsistema formado por las dos primeras ecuaciones de la forma $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&=&4-\lambda\\3x&+&4y&=&5-5\lambda \end{matrix}\right. \overset{-3\,e_1+e_2 \, \rightarrow e_2}{ \sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&=&4-\lambda\\&&y&=&-2\lambda-7\end{matrix}\right.$$ finalmente, sustituyendo la expresión de $y$ que depende de $\lambda$ en la primera ecuación, y depejando $x$, llegamos a $x=\lambda+11$.

Por consiguiente, la solución del sistema viene dado por las infinitas ternas de números de la forma $$\{(x,y,z)=(\lambda+11,-2\lambda-7,\lambda):\lambda \in \mathbb{R}$$

c)
Denotemos por $b$ al coeficiente $a_{33}^*\neq 11$, entonces la matriz ampliada del sistema es $$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 3 & 4 & 5 & 5 \\ 7 & 9 & b & a\end{array}\right) \overset{-3f_1+f_2\,\rightarrow f_2\,,\,-7f_1+f_3\,\rightarrow f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 0 & 1 & 2 & -7 \\ 0 & 2 & b-7 & a-28\end{array}\right) \overset{-2f_2+f_3\rightarrow f_3}{\sim}$$
$$\sim \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&4 \\ 0 & 1 & 2 & -7 \\ 0 & 0 & b-11 & a-14\end{array}\right)$$ y como $b\neq 11$ tenemos un único caso en que $r\overset{.}{=}\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=3=n$, por lo que según el teorema de Rouché-Fröbenius el sistema es compatible determinado para cualquier valor de $a$, con lo cual la solución está formada por una única terna de números.

Como ya hemos reducido la matriz ampliada, un sistema equivalente al original es $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&4 \\ &&y&+&2z&=&-7 \\ &&&&(b-11)\,z&=&a-14 \end{matrix}\right.$$ Despejando $z$ de la última ecuación, $$z=\dfrac{a-14}{b-11}\;, \text{con}\; b\neq 11$$

Iniciando la sustitución regresiva, vemos que sustituyendo el valor encontrado para $z$ en la segunda ecuación y despejando la incóngita $y$ encontramos $$y=2\cdot \dfrac{14-a}{b-11}-7\;, \text{con}\; b\neq 11$$

Y, sustituyendo los dos valores encontrados en la primera ecuación y despejando $x$: $$x= \dfrac{a-14}{b-11}+11\;, \text{con}\; b\neq 11$$
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Un ejercicio de álgebral lineal

ENUNCIADO. Se considera la matriz $A=\begin{pmatrix}1&0&a\\-2&a+1&2\\-3&a-1&a\end{pmatrix}$ con $a \in \mathbb{R}$ y una matriz cuadrada $B$, de orden $3$, tal que $B^2=\dfrac{1}{3}\,I-2\,B$, siendo $I$ la matriz identidad de orden $3$. Se pide:

a) Estúdiese el rango de $A$ en función del parámetro $a$, y, de ser posible, calcúlese el valor de $\text{det}(2\,A^{-1})$ para $a:=1$
b) Resuélvase la ecuación $A\,\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ para $a:=-1$
c) Compruébese que $B$ es inversible y calcúlense determínense los coeficientes $m$ y $n$ tales que $B^{-1}=m\,B+n\,I$

SOLUCIÓN.
a.i) Reduciendo por Gauss, obtendremos matrices equivalentes en rango:
$\begin{pmatrix}1&0&a\\-2&a+1&2\\-3&a-1&a\end{pmatrix} \;\begin{matrix}\\
2\,f_1+f_2\, \rightarrow f_2\\ 3f_1+f_3 \,\rightarrow f_3 \end{matrix}\; \sim\; \begin{pmatrix}1&0&a\\0&a+1&2a+2\\0&a-1&4a\end{pmatrix} \sim$
  $\begin{matrix}\\ \\ -(a-1)f_2+(a+1)f_3\,\rightarrow f_3\end{matrix} \sim \begin{pmatrix}1&0&a\\0&a+1&2(a+1)\\0&0&2(a+1)^2\end{pmatrix} \sim$
  $\begin{matrix}\\ f_2/(a+1)\rightarrow f_2 \\ f_3/(a+1)\rightarrow f_3\end{matrix} \sim \begin{pmatrix}1&0&a\\0&1&2\\0&0&2(a+1)\end{pmatrix}$

de donde es claro que:
  I) Si $a=-1$, $\text{rango}(A)=2$
  II) Si $a\neq-1$, $\text{rango}(A)=3$

a.ii) Del caso (II), deducimos que siendo $a:=1\neq -1$, $\text{rango}(A)=3$ que es igual al orden de la matriz, luego ésta es regular y por tanto inversible ( tiene asociada matriz inversa, que es única ).

Por otra parte, es sabido que $\text{det}(A^{-1})=\dfrac{1}{\text{det}(A)}$. En efecto, el determinante de dos matrices regulares es igual al producto de sus determinantes; en particular, como $A\,A^{-1}=I$, tenemos que $\text{det}(A)\cdot \text{det}(A^{-1})=\text{det}(I)$ y como $\text{det}(I)=1$, despejando $\text{det}(A^{-1})$ se obtiene $$\text{det}(A^{-1})=1/\text{det}(A)$$

Entonces, $$\text{det}(2\,A^{-1})=2\cdot\text{det}(A^{-1})=2\cdot \dfrac{1}{\text{det}(A)}=2\cdot \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}$$

puesto que $\text{det}(A)=\begin{vmatrix}1&0&1\\ -2&2&2\\ -3&0&1\end{vmatrix}\overset{\text{d. de Laplace por la 2º col.}}{=}2\cdot (-1)^{2+2}\,\begin{vmatrix}1&1 \\ -3&1\end{vmatrix}=8$

b)
Como para $a=-1$ estamos en el caso (I) del primer apartado, sabemos que $\text{rango}(A)=2$. Calculemos ahora el rango de la matriz ampliada con los términos independientes del sistema de ecuaciones lineales (reduciendo por Gauss):
$\text{rango}(A^*)=\left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&-1&-1 \\ -2&0&2&2\\-3&-2&-1&0\end{array}\right) \begin{matrix}\\ 2f_1+f_2\,\rightarrow f_2 \\ 3\,f_1+f_3\,\rightarrow f_3\end{matrix} \sim
\left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&-1&-1 \\ 0&0&0&0\\0&-2&-4&-3\end{array}\right)\sim$
$\begin{matrix}\\ f_2 \leftrightarrow f_3 \\ \end{matrix} \left(\begin{array}{ccc|c} 1&0&-1&-1 \\ 0&-2&-4&3\\0&0&0&0\end{array}\right)=2$

Al tener ambos rangos el mismo valor, $\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=2$, y según el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible; por otra parte al ser dicho rango $r=2\prec n=3$ ( donde $n$ es el número de ecuaciones del sistema ), el sistema es compatible indeterminado, con $n-r=3-2=1$ variable secundaria.

Al tener ya reducida por Gauss la matriz ampliada, podemos escribir un sistema de ecuaciones equivalente: $$\left\{\begin{matrix}x-y=-1\\-2y-4z=3\end{matrix}\right.\equiv \left\{\begin{matrix}x-y=-1\\y+2z=3/2\end{matrix}\right.$$ Designando por $\lambda$ a la variable secundaria, para la cual elegiremos $z$, obtenemos la solución, que está formada por infinitas ternas: $$\{(x,y,z)=(1/2-2\,\lambda,3/2-2\,\lambda,\lambda):\lambda \in \mathbb{R}\}$$
que también podemos expresar de la forma
$$\{(x,y,z)=(1-4\,\lambda,3-4\,\lambda,2\,\lambda):\lambda \in \mathbb{R}\}$$

c)
$B^2=\dfrac{1}{3}\,I-2\,B$
  $B\,B=\dfrac{1}{3}\,I-2\,B$
    $B^{-1}\,B\,B=B^{-1}\,(\dfrac{1}{3}\,I-2\,B)$
      $B^{-1}\,B\,B=\dfrac{1}{3}\,B^{-1}\,I-2\,B^{-1}\,B$
        $(B^{-1}\,B)\,B=\dfrac{1}{3}\,B^{-1}\,I-2\,B^{-1}\,B$
          $I\,B=\dfrac{1}{3}\,B^{-1}-2\,I$
            $B=\dfrac{1}{3}\,B^{-1}-2\,I \Rightarrow \dfrac{1}{3}\,B^{-1}=B+2\,I \Rightarrow B^{-1}=3\,(B+2\,I)$

Por otra parte, si $B^{-1}=m\,B+n\,I$, entonces $$B^{-1}=m\,B+n\,I = 3\,(B+2\,I) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3\,B=m\,B \Rightarrow m=3 \\ 6\,I=n\,I \Rightarrow n=6\end{matrix}\right.$$


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Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones

ENUNCIADO. Tres comerciantes adquieren ordenadores de tres modelos distintos, A, B y C, para su posterior venta. El primero invierte 50000 euros en la compra de ordenadores del modelo A, 25000 euros en la compra de ordenadores del modelo B y 25000 euros en la compra de ordenadores del modelo C; el segundo comerciante invierte 12500 euros en la compra de ordenadores del modelo A, 25000 euros en la compra de ordenadores del modelo B y 12500 euros en la compra de ordenadores del modelo C; y, el tercer comerciante invierte 10000 euros en la compra de ordenadores del modelo A, 10000 euros en la compra de ordenadores del modelo B y 20000 euros en la compra de ordenadores del modelo C. Las rentabilidades que obtienen los tres comerciantes tras la venta de los ordenadores que han adquirido son: el primero un 15%, el segundo un 12% y el tercero un 10%. Calcular las rentabilidades de los modelos de ordenador.

SOLUCIÓN.

La rentabilidad se define como la razón entre los beneficios obtenidos y la inversión realizada, expresándose en tanto por ciento.

Denotemos por $-A$, $r_B$ y $r_C$ las rentabilidades correspondientes a los tres modelos de ordenadores, A, B y C. De acuerdo con la información del enunciado y el significado de rentabilidad, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$\left.\begin{matrix}50000\,r_A+25000\,r_B+25000\,r_C=\dfrac{15}{100}\cdot ( 50000+25000+25000) \\ 12500\,r_A+25000\,r_B+12500\,r_C=\dfrac{12}{100}\cdot ( 12500+25000+12500)\\ 10000\,r_A+10000\,r_B+20000\,r_C=\dfrac{10}{100}\cdot ( 10000+10000+20000)\end{matrix}\right\}$

que es compatible determinado. Resolviéndolo obtenemos los siguientes resultados: $$\left.\begin{matrix}r_A=23\,\%\\r_B=11\,\%\\ r_C=3\,\%\end{matrix}\right\}$$
$\square$

Cálculo de determinantes aplicando el desarrollo de Laplace

Una aplicación de la matriz traspuesta de la matriz de un grafo orientado.

Matrices y grafos