ENUNCIADO. Dado el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}kx&+&(k+1)y&+&z&=&0 \\ -x&+&ky&-&z&=&0\\(k-1)x&-&y&&&=&-(k+1)\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Discutir el sistema según los valores del parámetro real $k$
b) Resolver el sistema para $k:=-1$
SOLUCIÓN.
a)
La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es $$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}k&k+1&1&0\\ -1&k&-1&0\\k-1&-1&0&-(k+1)\end{array}\right)$$ Observemos que la submatriz de orden $2$ formada por los elementos de las filas segunda y tercera y por los elementos de las columnas segunda y tercera tiene determinante distinto de cero $\begin{vmatrix}k&-1\\-1&0\end{vmatrix}=1\neq 0$, de lo cual se desprende que el rango de la matriz $A$ ( y también el de la matriz $A^*$ ) es, al menos, $2$. Orlando dicha submatriz obtenemos dos menores complementarios de orden $3$:
$$M_1=\begin{vmatrix}k&k+1&1\\-1&k&-1\\k-1&-1&0\end{vmatrix}=-2\,(k^2-1)=0\Leftrightarrow k\in \{-1,1\}$$
$$M_2=\begin{vmatrix}k+1&1&0\\k&-1&0\\-1&0&-(k+1)\end{vmatrix}=(k+1)(2k+1)\Leftrightarrow k\in \{-1,1/2\}$$
Por consiguiente, y según el teorema de Rouché-Fröbenius:
i) Si $k=-1$, $M_1=M_2=0$ y por tanto los rangos de la matriz $A$ y de la matriz $A^*$ son menores que $3$, por consiguiente $\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=2$, luego el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria y dos variables principales ($n$ denota el número de variables del sistema).
ii) Si $k=1$, $M_1=0 \Rightarrow \text{rango}(A)=2$ y $M_2\neq 0\Rightarrow \text{rango}(A^*)=3$, y, al no coincidir los rangos el sistema es incompatible para dicho valor del parámetro $k$
iii) Para $k=-1/2$, así como para cualquier otro valor de $k$ distinto de $-1$ y de $1$, los rangos coinciden $r=\text{rango}(A)=\text{rango}(A^*)=3=n$, y el sistema es compatible determinado.
b)
Si $k:=-1$ estamos en el caso (i) -- sistema compatible indeterminado con $1$ variable secundaria --. La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es ahora $$A^*=\left(\begin{array}{ccc|c}-1&0&1&0\\ -1&-1&-1&0\\-2&-1&0&0\end{array}\right)$$ Recordemos que el rango de dicha matriz es $2$ para este valor de $k$. Por otra parte, la tercera fila de dicha matriz es combinación lineal de las dos primeras ( el menor complementario formado por los elementos de las filas primera y segunda y por los elementos de las columnas primera y segunda es distinto de $0$, con lo cual un sistema equivalente está formado por las dos primeras filas $$\left\{\begin{matrix}-x&&&+&z&=&0 \\ -x&-&y&-&z&=&0\end{matrix}\right.$$ Desingando $z$ como variable secundaria: $z:=\lambda$, podemos escribirlo de la forma $$\left\{\begin{matrix}x&&&&&=&\lambda \\ &&y&&&=&-2\lambda \\ &&&&z&=&\lambda\end{matrix}\right.$$ Así pues la solución del sistema para dicho valor del parámetro viene dada por las infinitas ternas $$\{(\lambda,-2\lambda,\lambda):\lambda\in\mathbb{R}\}$$ o lo que es lo mismo: $$\{\lambda\,(1,-2,1):\lambda\in\mathbb{R}\}$$
$\square$
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jueves, 4 de julio de 2019
sábado, 16 de junio de 2018
Álgebra lineal. Sistemas de ecuaciones lineales
ENUNCIADO. Considérese el sistema de ecuaciones lineales, con un parámetro $a\in \mathbb{R}$ $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ x&+&a\,y&+&z&=&0 \\ x&+&y&+&a\,z&=&a\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Discútase el sistema según los valores de $a$
b) Resuélvase el sistema para $a=2$
SOLUCIÓN.
a)
Reduciendo el sistema por Gauss, obtenemos un sistema equivalente que nos permitirá analizar su rango, según los valores de $a$:
$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ x&+&a\,y&+&z&=&0 \\ x&+&y&+&a\,z&=&a\end{matrix}\right. \overset{e_1-e_2 \rightarrow e_2\,,\,e_1-e_3 \rightarrow e_3}{\sim}$
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ &+&(1-a)\,y&&&=&0 \\ &&&&(1-a)\,z&=&-a\end{matrix}\right.$
Encontramos los siguientes casos:
i) Observemos que si $a=1$, la segunda ecuación es trivial, pues nos queda $0=0$, y que, lo que es más remarcable, la tercera nos llevaa una contradicción, $0=1$, luego el sistema de ecuaciones es incompatible para ese valor de $a$
ii) Para cualquier otro valor de $a$ distinto de $1$ el rango del sistema es $3$ ( número de ecuaciones no identicamente nulas ), que es igual al número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado.
b)
Siendo $a:=2 \neq 1$ el sistema es compatible determinado ( segundo caso de la discusión del anterior apartado ), y, sustituyendo este valor del parámetro en el sistema ya reducido llegamos al siguiente sistema equivalente ( al original ): $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ &&-y&&&=&0 \\ &&&&-z&=&-2\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&-2 \\ &&y&&&=&0 \\ &&&&z&=&2\end{matrix}\right.$$
$\square$
a) Discútase el sistema según los valores de $a$
b) Resuélvase el sistema para $a=2$
SOLUCIÓN.
a)
Reduciendo el sistema por Gauss, obtenemos un sistema equivalente que nos permitirá analizar su rango, según los valores de $a$:
$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ x&+&a\,y&+&z&=&0 \\ x&+&y&+&a\,z&=&a\end{matrix}\right. \overset{e_1-e_2 \rightarrow e_2\,,\,e_1-e_3 \rightarrow e_3}{\sim}$
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ &+&(1-a)\,y&&&=&0 \\ &&&&(1-a)\,z&=&-a\end{matrix}\right.$
Encontramos los siguientes casos:
i) Observemos que si $a=1$, la segunda ecuación es trivial, pues nos queda $0=0$, y que, lo que es más remarcable, la tercera nos llevaa una contradicción, $0=1$, luego el sistema de ecuaciones es incompatible para ese valor de $a$
ii) Para cualquier otro valor de $a$ distinto de $1$ el rango del sistema es $3$ ( número de ecuaciones no identicamente nulas ), que es igual al número de incógnitas, luego el sistema es compatible determinado.
b)
Siendo $a:=2 \neq 1$ el sistema es compatible determinado ( segundo caso de la discusión del anterior apartado ), y, sustituyendo este valor del parámetro en el sistema ya reducido llegamos al siguiente sistema equivalente ( al original ): $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&0 \\ &&-y&&&=&0 \\ &&&&-z&=&-2\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&-2 \\ &&y&&&=&0 \\ &&&&z&=&2\end{matrix}\right.$$
$\square$
sábado, 17 de septiembre de 2016
Dado el sistema de ecuaciones (...)
ENUNCIADO. Dado el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}2x&+&(a-1)y&-&2z&=&a \\ 2x&+&y&-&az&=&2 \\ -x&+&y&+&z&=&1-a\end{matrix}\right.$$ se pide:
a) Discutirlo según los valores del parámetro $a$
b) Resolverlo cuando sea posible
SOLUCIÓN.
a)
Procedimiento I ( Estudio de los rangos por reducción de Gauss ).
Recordemos que el rango de una matriz, una vez reducida por Gauss, es igual al número de filas no nulas.
La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es $\tilde{A}=\left(\begin{array}{ccc|c}2 & a-1 & -2 & a \\ 2 & 1 & -a & 2 \\ -1 & 1 & 1 & 1-a \end{array}\right)$ Reordenando las filas, su rango equivale al de la matriz $\left(\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & 1 & 1-a \\ 2 & a-1 & -2 & a \\ 2 & 1 & -a & 2 \end{array}\right)$ Procedemos ahora a reducirla por Gauss. Mediante las operaciones elementales entre filas $2f_1+f_2 \rightarrow f_2;2f_1+f_3 \rightarrow f_3$ obtenemos la siguiente matriz equivalente en rango $\left(\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & 1 & 1-a \\ 0 & a+1 & 0 & 2-a \\ 0 & 3 & 2-a & 4-2a \end{array}\right)$ Permutando el orden de la segunda y de la tercera filas, se llega a esta otra matriz equivalente en rango $\left(\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & 1 & 1-a \\ 0 & 3 & 2-a & 4-2a \\ 0 & a+1 & 0 & 2-a \end{array}\right) \overset{-\frac{1}{3}(a+1)\,f_2+f_3 \rightarrow f_3}{\sim}$
$$\sim \left(\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & 1 & 1-a \\ 0 & 3 & 2-a & 4-2a \\ 0 & 0 & \frac{1}{3}\,(a-2)(a+1) & \frac{1}{3}\,(1-2a)(2-a) \end{array}\right)$$
A partir de aquí, y teniendo en cuenta el teorema de Rouché-Fröbenius, aparecen los siguientes casos:
1. Si $a=2$, $\tilde{a}_{33}=\tilde{a}_{34}=0$ y por tanto la tercera fila es nula, luego al haber dos filas no nulas tanto en $A$ como en $\tilde{A}$, $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=2 \prec n=3$, así que el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria y $r=2$ variables principales
2. Si $a=-1$, $\tilde{a}_{33}=0$ pero $\tilde{a}_{34}\neq 0$, luego $\text{rg}(A)=2$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$. Al no coincidir los rangos el sistema es incompatible
3. Para otros valores de $a$ distintos de $2$ y $-1$, $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=3 = n$ y por tanto el sistema es compatible determinado. OBSERVACIÓN 1: Si bien $a=1/2$ anula el coeficiente $\tilde{a}_{34}$, no anula $\tilde{a}_{33}$, así que aunque $a$ tome ese valor ello no impide que el rango de $\tilde{A}$ no sea $3$.
Procedimiento II ( Estudio de los rangos empleando determinantes ).
Recordemos que el rango de una matriz corresponde al orden del mayor menor no nulo que contenga dicha matriz.
Es evidente que el menor $$\begin{vmatrix}2 & 1 \\ -1 & 1\end{vmatrix} \neq 0$$ y por tanto podemos afirmar que los rangos de la matriz $A$ y de la matriz $\tilde{A}$ son iguales o mayores que $2$. Cabe ahora discernir para qué valores de $a$ dichos rangos pueden ser igual a $3$ para, empleando el teorema de Rouché-Fröbenius, clasificar todos los posibles casos.
Ahora emplearemos el método del orlado de dicho menor para realizar este estudio. Orlándolo, aparecen sólo dos menores de orden $3$:
$$\Delta_1=\begin{vmatrix} 2 & a-1 & -2 \\ 2 & 1 & -a \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(a-2)(a+1)$$ y $$\Delta_2=\begin{vmatrix} 2 & a-1 & a \\ 2 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 1-a \end{vmatrix}=(a-2)(2a-1)$$
NOTA: Dejo que el lector haga los cálculos pormenorizados de los determinantes, para comprobar que salen los resultados mostrados.
De todo ello podemos distinguir los siguientes casos que, naturalmente, coinciden con los que hemos visto empleando el primer procedimiento:
1. Si $a=2$, $\Delta_1=\Delta_2=0$ luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=2 \prec n=3$, así que el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria y $r=2$ variables principales
2. Si $a=-1$, $\Delta_1=0$ pero $\Delta_2 \neq 0$, luego $\text{rg}(A)=2$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$. Al no coincidir los rangos el sistema es incompatible
3. Para otros valores de $a$ distintos de $2$ y $-1$, $\Delta_1\neq 0$ y $\Delta_2 \neq 0$ lo cual implica que $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=3 = n$ y por tanto el sistema es compatible determinado.
OBSERVACIÓN 2. Debemos recordar ahora el comentario hecho en la OBSERVACIÓN 1 ( del Procedimiento I ), con respecto a la posibilidad de que $a$ tome el valor $1/2$. Ello no impide que el rango de la matriz $\tilde{A}$ sea $3$, pues a pesar de que $\Delta_2$ se anula para dicho valor, $\Delta_1$ ( que es también un menor de $\tilde{A}$ ) es distinto de cero.
b)
Vamos a resolver ahora el sistema para los casos en que éste es compatible, esto es, para los casos 1 y 3.
Solución para el caso 3 ( sistema compatible determinado ):
El sistema equivalente reducido ( por Gauss ) es $$\left\{\begin{matrix}-x&+&y&+&z&=&1-a \\ &&3y&+&(2-a)z&=&2(2-a)\\ &&&&\dfrac{1}{3}(a-2)(a+1)z&=&\dfrac{1}{3}(1-2a)(2-a)\end{matrix}\right.$$ Entonces, siempre que $a \notin \{-1,2\}$, despejando $z$ de la tercera ecuación obtenemos $$z=\dfrac{2a-1}{a+1}$$ Sustituyendo ésto en la segunda ecuación y despejando $y$ se llega a $$y=\dfrac{1}{a+1}$$ Y, finalmente, sustituyendo los valares encontrados para $x$ e $y$ en la primera ecuación, y despejando $x$ encontramos $$x=\dfrac{a^2+2a-1}{a+1}$$
Solución para el caso 1 ( sistema compatible indeterminado, con $2$ variables principales y $1$ variable secundaria ):
La solución consta de infinitos puntos, que dependerán de $1$ parámetro ( que corresponde a la variable secundaria ). Vamos a caracterizarlas. El sistema equivalente reducido por Gauss es ahora ( $a=2$ ) el siguiente, $$\left\{\begin{matrix}-x&+&y&+&z&=&-1 \\ &&3y&&&=&0 \end{matrix}\right.$$
Es obvio que $y=0$ ( de la segunda ecuación ). Sustituyendo ésto en la primera y tomando $z$ como variable secundaria ( la denotamos por $\lambda$ ) llegamos a $x=\lambda+1$. Entonces la solución del sistema para este caso es el conjunto de infinitos puntos ( de $\mathbb{R}^3$ ) $$\{(\lambda+1,0,\lambda); \lambda \in \mathbb{R}\}$$
$\square$
a) Discutirlo según los valores del parámetro $a$
b) Resolverlo cuando sea posible
SOLUCIÓN.
a)
Procedimiento I ( Estudio de los rangos por reducción de Gauss ).
Recordemos que el rango de una matriz, una vez reducida por Gauss, es igual al número de filas no nulas.
La matriz ampliada de los coeficientes del sistema es $\tilde{A}=\left(\begin{array}{ccc|c}2 & a-1 & -2 & a \\ 2 & 1 & -a & 2 \\ -1 & 1 & 1 & 1-a \end{array}\right)$ Reordenando las filas, su rango equivale al de la matriz $\left(\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & 1 & 1-a \\ 2 & a-1 & -2 & a \\ 2 & 1 & -a & 2 \end{array}\right)$ Procedemos ahora a reducirla por Gauss. Mediante las operaciones elementales entre filas $2f_1+f_2 \rightarrow f_2;2f_1+f_3 \rightarrow f_3$ obtenemos la siguiente matriz equivalente en rango $\left(\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & 1 & 1-a \\ 0 & a+1 & 0 & 2-a \\ 0 & 3 & 2-a & 4-2a \end{array}\right)$ Permutando el orden de la segunda y de la tercera filas, se llega a esta otra matriz equivalente en rango $\left(\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & 1 & 1-a \\ 0 & 3 & 2-a & 4-2a \\ 0 & a+1 & 0 & 2-a \end{array}\right) \overset{-\frac{1}{3}(a+1)\,f_2+f_3 \rightarrow f_3}{\sim}$
$$\sim \left(\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & 1 & 1-a \\ 0 & 3 & 2-a & 4-2a \\ 0 & 0 & \frac{1}{3}\,(a-2)(a+1) & \frac{1}{3}\,(1-2a)(2-a) \end{array}\right)$$
A partir de aquí, y teniendo en cuenta el teorema de Rouché-Fröbenius, aparecen los siguientes casos:
1. Si $a=2$, $\tilde{a}_{33}=\tilde{a}_{34}=0$ y por tanto la tercera fila es nula, luego al haber dos filas no nulas tanto en $A$ como en $\tilde{A}$, $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=2 \prec n=3$, así que el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria y $r=2$ variables principales
2. Si $a=-1$, $\tilde{a}_{33}=0$ pero $\tilde{a}_{34}\neq 0$, luego $\text{rg}(A)=2$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$. Al no coincidir los rangos el sistema es incompatible
3. Para otros valores de $a$ distintos de $2$ y $-1$, $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=3 = n$ y por tanto el sistema es compatible determinado. OBSERVACIÓN 1: Si bien $a=1/2$ anula el coeficiente $\tilde{a}_{34}$, no anula $\tilde{a}_{33}$, así que aunque $a$ tome ese valor ello no impide que el rango de $\tilde{A}$ no sea $3$.
Procedimiento II ( Estudio de los rangos empleando determinantes ).
Recordemos que el rango de una matriz corresponde al orden del mayor menor no nulo que contenga dicha matriz.
Es evidente que el menor $$\begin{vmatrix}2 & 1 \\ -1 & 1\end{vmatrix} \neq 0$$ y por tanto podemos afirmar que los rangos de la matriz $A$ y de la matriz $\tilde{A}$ son iguales o mayores que $2$. Cabe ahora discernir para qué valores de $a$ dichos rangos pueden ser igual a $3$ para, empleando el teorema de Rouché-Fröbenius, clasificar todos los posibles casos.
Ahora emplearemos el método del orlado de dicho menor para realizar este estudio. Orlándolo, aparecen sólo dos menores de orden $3$:
$$\Delta_1=\begin{vmatrix} 2 & a-1 & -2 \\ 2 & 1 & -a \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(a-2)(a+1)$$ y $$\Delta_2=\begin{vmatrix} 2 & a-1 & a \\ 2 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 1-a \end{vmatrix}=(a-2)(2a-1)$$
NOTA: Dejo que el lector haga los cálculos pormenorizados de los determinantes, para comprobar que salen los resultados mostrados.
De todo ello podemos distinguir los siguientes casos que, naturalmente, coinciden con los que hemos visto empleando el primer procedimiento:
1. Si $a=2$, $\Delta_1=\Delta_2=0$ luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=2 \prec n=3$, así que el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria y $r=2$ variables principales
2. Si $a=-1$, $\Delta_1=0$ pero $\Delta_2 \neq 0$, luego $\text{rg}(A)=2$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$. Al no coincidir los rangos el sistema es incompatible
3. Para otros valores de $a$ distintos de $2$ y $-1$, $\Delta_1\neq 0$ y $\Delta_2 \neq 0$ lo cual implica que $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=3 = n$ y por tanto el sistema es compatible determinado.
OBSERVACIÓN 2. Debemos recordar ahora el comentario hecho en la OBSERVACIÓN 1 ( del Procedimiento I ), con respecto a la posibilidad de que $a$ tome el valor $1/2$. Ello no impide que el rango de la matriz $\tilde{A}$ sea $3$, pues a pesar de que $\Delta_2$ se anula para dicho valor, $\Delta_1$ ( que es también un menor de $\tilde{A}$ ) es distinto de cero.
b)
Vamos a resolver ahora el sistema para los casos en que éste es compatible, esto es, para los casos 1 y 3.
Solución para el caso 3 ( sistema compatible determinado ):
El sistema equivalente reducido ( por Gauss ) es $$\left\{\begin{matrix}-x&+&y&+&z&=&1-a \\ &&3y&+&(2-a)z&=&2(2-a)\\ &&&&\dfrac{1}{3}(a-2)(a+1)z&=&\dfrac{1}{3}(1-2a)(2-a)\end{matrix}\right.$$ Entonces, siempre que $a \notin \{-1,2\}$, despejando $z$ de la tercera ecuación obtenemos $$z=\dfrac{2a-1}{a+1}$$ Sustituyendo ésto en la segunda ecuación y despejando $y$ se llega a $$y=\dfrac{1}{a+1}$$ Y, finalmente, sustituyendo los valares encontrados para $x$ e $y$ en la primera ecuación, y despejando $x$ encontramos $$x=\dfrac{a^2+2a-1}{a+1}$$
Solución para el caso 1 ( sistema compatible indeterminado, con $2$ variables principales y $1$ variable secundaria ):
La solución consta de infinitos puntos, que dependerán de $1$ parámetro ( que corresponde a la variable secundaria ). Vamos a caracterizarlas. El sistema equivalente reducido por Gauss es ahora ( $a=2$ ) el siguiente, $$\left\{\begin{matrix}-x&+&y&+&z&=&-1 \\ &&3y&&&=&0 \end{matrix}\right.$$
Es obvio que $y=0$ ( de la segunda ecuación ). Sustituyendo ésto en la primera y tomando $z$ como variable secundaria ( la denotamos por $\lambda$ ) llegamos a $x=\lambda+1$. Entonces la solución del sistema para este caso es el conjunto de infinitos puntos ( de $\mathbb{R}^3$ ) $$\{(\lambda+1,0,\lambda); \lambda \in \mathbb{R}\}$$
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martes, 14 de junio de 2016
Discutir y resolver el siguiente sistema
ENUNCIADO. Dado el sistema de ecuaciones lineales: $$\left\{\begin{matrix}3x&+&y&+&mz&=1\\x&-&y&+&2z&=-2\\ 5x&+&(m+1)\,y&+&2z&=4\\\end{matrix}\right.$$
se pide:
a) Discutirlo, según los valores del parámetro $m$
b) Resolverlo en el caso $m=0$
c) Resolverlo en el caso $m=2$
SOLUCIÓN.
a)
Por comodidad, reordenamos las ecuaciones de la forma $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&2z&=-2\\3x&+&y&+&mz&=1\\ 5x&+&(m+1)\,y&+&2z&=4\\\end{matrix}\right.$$ La matriz ampliada del sistema es $$(A|b)=\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & 2 & -2 \\
3 & 1 & m & 1\\
5 & m+1 & 2 & 4\\
\end{array}\right)$$ Procedemos a continuación a escalonarla ( por Gauss ) para realizar el análisis de rangos $$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & 2 & -2 \\
3 & 1 & m & 1\\
5 & m+1 & 2 & 4\\
\end{array}\right) \overset{-3\cdot f_1 +f_2 \rightarrow f_2; -5\cdot f_3 +f_3 \rightarrow f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & 2 & -2 \\
0 & 4 & m-6 & 7\\
0 & m+6 & -8 & 14\\
\end{array}\right)$$
y mediante la operación elemental entre filas $-\dfrac{1}{4}\,(m+6)\cdot f_2+f_3 \rightarrow f_3$ es equivalente en rango a la matriz escalonada $$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & 2 & -2 \\
0 & 4 & m-6 & 7\\
0 & 0 & -\dfrac{1}{4}\,(m-2)(m+2) & \dfrac{-7m+14}{4}\\
\end{array}\right)$$
A partir de ésta, distinguimos los siguientes casos:
i) Si $m=-2$, entonces $\text{rango}(A)=2 \neq \text{rango}(A|b)=3$, luego el sistema es incompatible para este valor del parámetro
ii)) Si $m=2$, entonces el número de filas linealmente independientes es $2$ con lo cual $r=\text{rango}(A)=\text{rango}(A|b)=2 \prec 3=n$ ( $n$ es el número de incógnitas del sistema ), y el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria y $2$ variables principales
iii) Para cualquier otro valor de $m$ distinto de $2$ y $-2$, los rangos de $A$ y $(A|b)$ tienen el mismo valor, $3$, que es igual al número de incógnitas $n=3$, por lo que el sistema es compatible determinado.
b)
Si $m=0$ estamos en el caso tercer caso y el sistema es compatible determinado ( la solución existe y es única ). El sistema equivalente, reducido por Gauss, es $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&2\,z&=&-2\\ &&4\,y&-&6\,z&=&7 \\ &&&&z&=&\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.$$
Sustituyendo el valor de $z$ ( última ecuación ) en la segunda, encontramos el valor de $y$, que resulta ser igual a $7$; y, finalmente, sustituyendo, los valores de $z$ e $y$ en la primera ecuación encontramos el valor de $x$, que es igual a $-2$.
Por tanto la solución es el punto de coordenadas $(-2,7,7/2)$
c)
Para $m=2$ estamos en el segundo caso ( el sistema es compatible indeterminado, con una variable secundaria ). El sistema equivalente, reducido por Gauss, es ahora $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&2\,z&=&-2\\ &&4\,y&-&4\,z&=&7 \end{matrix}\right.$$
Escogiendo $z$ como variable secundaria, la tratamos como un parámetro ( libre ) $\lambda:=z$, con lo cual $$\left\{\begin{matrix} x&-&y&=&-2\cdot (1+\lambda) \\ &&4\,y&=&7+4\,\lambda \end{matrix}\right.$$
Despejando $y$ de la segunda ecuación, $y=\dfrac{7}{4}+\lambda$; y, sustituyéndolo en la primera ecuación, obtenemos $x=-\dfrac{1}{4}-\lambda$.
Por tanto la solución es el conjunto de puntos de la recta $$r:\{(-\dfrac{1}{4}-\lambda, \dfrac{7}{4}+\lambda, \lambda): \lambda \in \mathbb{R}\}$$
$\square$
se pide:
a) Discutirlo, según los valores del parámetro $m$
b) Resolverlo en el caso $m=0$
c) Resolverlo en el caso $m=2$
SOLUCIÓN.
a)
Por comodidad, reordenamos las ecuaciones de la forma $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&2z&=-2\\3x&+&y&+&mz&=1\\ 5x&+&(m+1)\,y&+&2z&=4\\\end{matrix}\right.$$ La matriz ampliada del sistema es $$(A|b)=\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & 2 & -2 \\
3 & 1 & m & 1\\
5 & m+1 & 2 & 4\\
\end{array}\right)$$ Procedemos a continuación a escalonarla ( por Gauss ) para realizar el análisis de rangos $$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & 2 & -2 \\
3 & 1 & m & 1\\
5 & m+1 & 2 & 4\\
\end{array}\right) \overset{-3\cdot f_1 +f_2 \rightarrow f_2; -5\cdot f_3 +f_3 \rightarrow f_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & 2 & -2 \\
0 & 4 & m-6 & 7\\
0 & m+6 & -8 & 14\\
\end{array}\right)$$
y mediante la operación elemental entre filas $-\dfrac{1}{4}\,(m+6)\cdot f_2+f_3 \rightarrow f_3$ es equivalente en rango a la matriz escalonada $$\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & -1 & 2 & -2 \\
0 & 4 & m-6 & 7\\
0 & 0 & -\dfrac{1}{4}\,(m-2)(m+2) & \dfrac{-7m+14}{4}\\
\end{array}\right)$$
A partir de ésta, distinguimos los siguientes casos:
i) Si $m=-2$, entonces $\text{rango}(A)=2 \neq \text{rango}(A|b)=3$, luego el sistema es incompatible para este valor del parámetro
ii)) Si $m=2$, entonces el número de filas linealmente independientes es $2$ con lo cual $r=\text{rango}(A)=\text{rango}(A|b)=2 \prec 3=n$ ( $n$ es el número de incógnitas del sistema ), y el sistema es compatible indeterminado con $n-r=3-2=1$ variable secundaria y $2$ variables principales
iii) Para cualquier otro valor de $m$ distinto de $2$ y $-2$, los rangos de $A$ y $(A|b)$ tienen el mismo valor, $3$, que es igual al número de incógnitas $n=3$, por lo que el sistema es compatible determinado.
b)
Si $m=0$ estamos en el caso tercer caso y el sistema es compatible determinado ( la solución existe y es única ). El sistema equivalente, reducido por Gauss, es $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&2\,z&=&-2\\ &&4\,y&-&6\,z&=&7 \\ &&&&z&=&\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.$$
Sustituyendo el valor de $z$ ( última ecuación ) en la segunda, encontramos el valor de $y$, que resulta ser igual a $7$; y, finalmente, sustituyendo, los valores de $z$ e $y$ en la primera ecuación encontramos el valor de $x$, que es igual a $-2$.
Por tanto la solución es el punto de coordenadas $(-2,7,7/2)$
c)
Para $m=2$ estamos en el segundo caso ( el sistema es compatible indeterminado, con una variable secundaria ). El sistema equivalente, reducido por Gauss, es ahora $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&2\,z&=&-2\\ &&4\,y&-&4\,z&=&7 \end{matrix}\right.$$
Escogiendo $z$ como variable secundaria, la tratamos como un parámetro ( libre ) $\lambda:=z$, con lo cual $$\left\{\begin{matrix} x&-&y&=&-2\cdot (1+\lambda) \\ &&4\,y&=&7+4\,\lambda \end{matrix}\right.$$
Despejando $y$ de la segunda ecuación, $y=\dfrac{7}{4}+\lambda$; y, sustituyéndolo en la primera ecuación, obtenemos $x=-\dfrac{1}{4}-\lambda$.
Por tanto la solución es el conjunto de puntos de la recta $$r:\{(-\dfrac{1}{4}-\lambda, \dfrac{7}{4}+\lambda, \lambda): \lambda \in \mathbb{R}\}$$
$\square$
domingo, 14 de junio de 2015
Discutir, según los valores de $m \in \mathbb{R}$, el sistema de ecuaciones siguiente: $$\left\{\begin{matrix} 4\,x & + & 3\,y & +&(m-1)\,z&=&0\\ x & - & 2\,y & +&m\,z&=&1\\ 5\,x & + & m\,y & +&z&=&1\\ \end{matrix}\right.$$ ...
ENUNCIADO
a) Discutir, según los valores de $m \in \mathbb{R}$, el sistema de ecuaciones siguiente: $$\left\{\begin{matrix}
4\,x & + & 3\,y & +&(m-1)\,z&=&0\\
x & - & 2\,y & +&m\,z&=&1\\
5\,x & + & m\,y & +&z&=&1\\
\end{matrix}\right.$$
b) Resolver el sistema anterior para el caso $m=1$
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
(a)
Escribiendo el sistema de ecuaciones en forma matricial $AX=B$: $$\begin{pmatrix}
4 & 3 & m-1 \\
1 &-2 &m \\
5& m & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
1
\end{pmatrix}$$
Realizando un análisis de rangos, recurriremos al Teorema de Rouché-Fröbenius para realizar la discusión del sistema en función de los valores que tome el parámetro $m$. La matriz de los coeficientes del sistema, ampliada con los términos independientes, es $$\tilde{A}=(A|B)=\left(\begin{array}{ccc|c}
4 & 3 & m-1 & 0\\
1 & -2 & m & 1\\
5 & m & 1 & 1\\
\end{array}\right)$$ Procedemos, ahora, a reducirla por Gauss ( el rango de las matrices resultantes de aplicar operaciones elementales por filas es invariante ):
Con las operaciones $-4\,f_2+f_1 \rightarrow f_2\;-5\,f_2+f_3 \rightarrow f_3$ llegamos a $$\left(\begin{array}{ccc|c}
4 & 3 & m-1 & 0\\
0 & 11 & -3\,m-1 & -4\\
0 & 10+m & -5\,m+1 & -4\\
\end{array}\right)$$ y haciendo $-\dfrac{1}{11}\,(10+m)\,f_2+f_3 \rightarrow f_3$ llegamos a la matriz escalonada $$\left(\begin{array}{ccc|c}
4 & 3 & m-1 & 0\\
0 & 11 & -3\,m-1 & -4\\
0 & 0 & \dfrac{3}{11}\,(m^2-8m+7) & \dfrac{4}{11}\,(m-1)\\
\end{array}\right)$$
Observemos que, en este caso, los valores que puedan tomar los coeficientes de la tercera fila determinan completamente el resultado de la discusión; para ello tendremos en cuenta los valores para los cuales se anulan dichos coeficientes: $m^2-8m+7=0 \Leftrightarrow x \in \{1\,,\,7\}$; y, además, $m-1=0 \Leftrightarrow m=1$. Con lo cual, distinguimos los siguientes casos:
Caso I.
Si $m=1$, entonces $m^2-8m+7=0$ y $m-1=0$; por tanto, $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=2$, por lo que podemos afirmar que ( al coincidir los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada ) el sistema es compatible, siendo el rango, $r$, del sistema de ecuaciones ( esto es, el número de ecuaciones linealmente independientes ) igual a $2$. Y como $r=2 \prec n=3$, el sistema es, compatible indeterminado, con $n-r=3-2=1$ variable secundaria, y dos variables principales.
Caso II.
Si $m=7$, entonces $m^2-8m+7=0$ y $m-1 \neq 0$, con lo cual $\text{rg}(A)=2$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$, luego $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(\tilde{A})$ y, por tanto, el sistema es incompatible.
Caso III.
Si $m \notin \{1\,,\,7\}$, entonces $m^2-8m+7 \neq 0$ y $m-1 \neq 0$, con lo cual $\text{rg}(A)=3$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$, por lo que, al coincidir los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada, deducimos que el sistema es compatible; y, como, además, el rango, $r$, del sistema de ecuaciones, que es $3$, es igual al número de incógnitas, $n$, concluimos que el sistema es, en este caso, compatible determinado.
-oOo-
OTRA FORMA de llevar a cabo la discusión pedida consiste en hacer uso del método de los determinantes para hallar los rangos de las matrices $A$ y $\tilde{A}$. Veámoslo a continuación.
Observemos que, por ejemplo, la submatriz de orden $2$ formada por los coeficientes de las filas primera y segunda y de las columnas primera y segunda ( es submatriz de $\tilde{A}$, y por tanto también de $A$ ) tiene determinante no nulo $$\begin{vmatrix}
4 & 3\\
1 & -2
\end{vmatrix} = -11 \neq 0$$ de donde podemos deducir que $\text{rg}(A) \ge 2$ y $\text{rg}(\tilde{A}) \ge 2$. Orlando dicha submatriz, encontramos sólo dos submatrices de un orden mayor, cuyos determinantes son:
$$\Delta_1=\begin{vmatrix}
4 & 3 & m-1\\
1 & -2 & m \\
5 & m & 1
\end{vmatrix}=-3\,(m^2-8m+7)$$ y $$\Delta_2=\begin{vmatrix}
4 & 3 & 0\\
1 & -2 & 1 \\
5 & m & 1
\end{vmatrix}=m-1$$
Démonos cuenta, ahora, de que $\Delta_1=0 \Leftrightarrow m \in \{1\,,\,7\}$ y $\Delta_2=0 \Leftrightarrow m=1$. Llegados a este punto, ya podemos iniciar la discusión:
Caso I.
Si $m=1$, entonces $\Delta_1=0$ y $\Delta_2 = 0$, luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=2$, por lo que podemos afirmar que ( al coincidir los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada ) el sistema es compatible, siendo el rango, $r$, del sistema de ecuaciones ( esto es, el número de ecuaciones linealmente independientes ) igual a $2$. Y como $r=2 \prec n=3$, el sistema es, compatible indeterminado, con $n-r=3-2=1$ variable secundaria, y dos variables principales.
Caso II.
Si $m=7$, entonces $\Delta_1=0$ y $\Delta_2 \neq 0$, con lo cual $\text{rg}(A)=2$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$, luego $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(\tilde{A})$ y, por tanto, el sistema es incompatible.
Caso III.
Si $m \notin \{1\,,\,7\}$, entonces $\Delta_1 \neq 0$ ( y por tanto $\text{rg}(A)=3$ ) y $\Delta_2 \neq 0$ ( y por tanto $\text{rg}(\tilde{A})=3$ ). Al coincidir los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada, deducimos que el sistema es compatible; y, como, además, el rango, $r$, del sistema de ecuaciones, que es $3$, es igual al número de incógnitas, $n$, concluimos que el sistema es, en este caso, compatible determinado.
(b)
Si $m=1$, estamos en el caso I ( sistema compatible indeterminado con una variable secundaria ), y el sistema ( ya reducido ) se puede escribir de la forma $$\left\{\begin{matrix}
4\,x &+ & 3\,y&&&=&0 \\
& & 11\,y&-&4\,z&=&-4 \\
\end{matrix}\right.$$
Como debemos elegir una variable secundaria, escogemos, por ejemplo, $\lambda:=z-4$, con lo cual nos queda $$\left\{\begin{matrix}
4\,x &+ & 3\,y&&&=&0 \\
& & 11\,y&&&=&\lambda \\
& &&&z&=&\lambda+4 \\
\end{matrix}\right.$$ Despejando $y$ de la segunda ecuación, obtenemos $y=\dfrac{1}{11}\,\lambda$; y, sustituyendo este valor en la primera ecuación, obtenemos el valor de $x$: $x=-\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{11}\,\lambda$, esto es, $x=-\dfrac{3}{44}\,\lambda$.
Así pues, la solución del sistema viene dada por las infinitas ternas de números reales cuya estructura es $$\lbrace (-\dfrac{3}{44}\,\lambda\,,\,\dfrac{1}{11}\,\lambda\,,\,\lambda+4):\,\lambda \in \mathbb{R} \rbrace$$
$\square$
a) Discutir, según los valores de $m \in \mathbb{R}$, el sistema de ecuaciones siguiente: $$\left\{\begin{matrix}
4\,x & + & 3\,y & +&(m-1)\,z&=&0\\
x & - & 2\,y & +&m\,z&=&1\\
5\,x & + & m\,y & +&z&=&1\\
\end{matrix}\right.$$
b) Resolver el sistema anterior para el caso $m=1$
[ PAU 2015, Madrid ]
SOLUCIÓN
(a)
Escribiendo el sistema de ecuaciones en forma matricial $AX=B$: $$\begin{pmatrix}
4 & 3 & m-1 \\
1 &-2 &m \\
5& m & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
1
\end{pmatrix}$$
Realizando un análisis de rangos, recurriremos al Teorema de Rouché-Fröbenius para realizar la discusión del sistema en función de los valores que tome el parámetro $m$. La matriz de los coeficientes del sistema, ampliada con los términos independientes, es $$\tilde{A}=(A|B)=\left(\begin{array}{ccc|c}
4 & 3 & m-1 & 0\\
1 & -2 & m & 1\\
5 & m & 1 & 1\\
\end{array}\right)$$ Procedemos, ahora, a reducirla por Gauss ( el rango de las matrices resultantes de aplicar operaciones elementales por filas es invariante ):
Con las operaciones $-4\,f_2+f_1 \rightarrow f_2\;-5\,f_2+f_3 \rightarrow f_3$ llegamos a $$\left(\begin{array}{ccc|c}
4 & 3 & m-1 & 0\\
0 & 11 & -3\,m-1 & -4\\
0 & 10+m & -5\,m+1 & -4\\
\end{array}\right)$$ y haciendo $-\dfrac{1}{11}\,(10+m)\,f_2+f_3 \rightarrow f_3$ llegamos a la matriz escalonada $$\left(\begin{array}{ccc|c}
4 & 3 & m-1 & 0\\
0 & 11 & -3\,m-1 & -4\\
0 & 0 & \dfrac{3}{11}\,(m^2-8m+7) & \dfrac{4}{11}\,(m-1)\\
\end{array}\right)$$
Observemos que, en este caso, los valores que puedan tomar los coeficientes de la tercera fila determinan completamente el resultado de la discusión; para ello tendremos en cuenta los valores para los cuales se anulan dichos coeficientes: $m^2-8m+7=0 \Leftrightarrow x \in \{1\,,\,7\}$; y, además, $m-1=0 \Leftrightarrow m=1$. Con lo cual, distinguimos los siguientes casos:
Caso I.
Si $m=1$, entonces $m^2-8m+7=0$ y $m-1=0$; por tanto, $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=2$, por lo que podemos afirmar que ( al coincidir los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada ) el sistema es compatible, siendo el rango, $r$, del sistema de ecuaciones ( esto es, el número de ecuaciones linealmente independientes ) igual a $2$. Y como $r=2 \prec n=3$, el sistema es, compatible indeterminado, con $n-r=3-2=1$ variable secundaria, y dos variables principales.
Caso II.
Si $m=7$, entonces $m^2-8m+7=0$ y $m-1 \neq 0$, con lo cual $\text{rg}(A)=2$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$, luego $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(\tilde{A})$ y, por tanto, el sistema es incompatible.
Caso III.
Si $m \notin \{1\,,\,7\}$, entonces $m^2-8m+7 \neq 0$ y $m-1 \neq 0$, con lo cual $\text{rg}(A)=3$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$, por lo que, al coincidir los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada, deducimos que el sistema es compatible; y, como, además, el rango, $r$, del sistema de ecuaciones, que es $3$, es igual al número de incógnitas, $n$, concluimos que el sistema es, en este caso, compatible determinado.
OTRA FORMA de llevar a cabo la discusión pedida consiste en hacer uso del método de los determinantes para hallar los rangos de las matrices $A$ y $\tilde{A}$. Veámoslo a continuación.
Observemos que, por ejemplo, la submatriz de orden $2$ formada por los coeficientes de las filas primera y segunda y de las columnas primera y segunda ( es submatriz de $\tilde{A}$, y por tanto también de $A$ ) tiene determinante no nulo $$\begin{vmatrix}
4 & 3\\
1 & -2
\end{vmatrix} = -11 \neq 0$$ de donde podemos deducir que $\text{rg}(A) \ge 2$ y $\text{rg}(\tilde{A}) \ge 2$. Orlando dicha submatriz, encontramos sólo dos submatrices de un orden mayor, cuyos determinantes son:
$$\Delta_1=\begin{vmatrix}
4 & 3 & m-1\\
1 & -2 & m \\
5 & m & 1
\end{vmatrix}=-3\,(m^2-8m+7)$$ y $$\Delta_2=\begin{vmatrix}
4 & 3 & 0\\
1 & -2 & 1 \\
5 & m & 1
\end{vmatrix}=m-1$$
Démonos cuenta, ahora, de que $\Delta_1=0 \Leftrightarrow m \in \{1\,,\,7\}$ y $\Delta_2=0 \Leftrightarrow m=1$. Llegados a este punto, ya podemos iniciar la discusión:
Caso I.
Si $m=1$, entonces $\Delta_1=0$ y $\Delta_2 = 0$, luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=2$, por lo que podemos afirmar que ( al coincidir los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada ) el sistema es compatible, siendo el rango, $r$, del sistema de ecuaciones ( esto es, el número de ecuaciones linealmente independientes ) igual a $2$. Y como $r=2 \prec n=3$, el sistema es, compatible indeterminado, con $n-r=3-2=1$ variable secundaria, y dos variables principales.
Caso II.
Si $m=7$, entonces $\Delta_1=0$ y $\Delta_2 \neq 0$, con lo cual $\text{rg}(A)=2$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$, luego $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(\tilde{A})$ y, por tanto, el sistema es incompatible.
Caso III.
Si $m \notin \{1\,,\,7\}$, entonces $\Delta_1 \neq 0$ ( y por tanto $\text{rg}(A)=3$ ) y $\Delta_2 \neq 0$ ( y por tanto $\text{rg}(\tilde{A})=3$ ). Al coincidir los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada, deducimos que el sistema es compatible; y, como, además, el rango, $r$, del sistema de ecuaciones, que es $3$, es igual al número de incógnitas, $n$, concluimos que el sistema es, en este caso, compatible determinado.
(b)
Si $m=1$, estamos en el caso I ( sistema compatible indeterminado con una variable secundaria ), y el sistema ( ya reducido ) se puede escribir de la forma $$\left\{\begin{matrix}
4\,x &+ & 3\,y&&&=&0 \\
& & 11\,y&-&4\,z&=&-4 \\
\end{matrix}\right.$$
Como debemos elegir una variable secundaria, escogemos, por ejemplo, $\lambda:=z-4$, con lo cual nos queda $$\left\{\begin{matrix}
4\,x &+ & 3\,y&&&=&0 \\
& & 11\,y&&&=&\lambda \\
& &&&z&=&\lambda+4 \\
\end{matrix}\right.$$ Despejando $y$ de la segunda ecuación, obtenemos $y=\dfrac{1}{11}\,\lambda$; y, sustituyendo este valor en la primera ecuación, obtenemos el valor de $x$: $x=-\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{11}\,\lambda$, esto es, $x=-\dfrac{3}{44}\,\lambda$.
Así pues, la solución del sistema viene dada por las infinitas ternas de números reales cuya estructura es $$\lbrace (-\dfrac{3}{44}\,\lambda\,,\,\dfrac{1}{11}\,\lambda\,,\,\lambda+4):\,\lambda \in \mathbb{R} \rbrace$$
$\square$
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