Cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. Se extraen tres cartas ( de forma sucesiva y sin reemplazamiento ) de una baraja española compuesta de $40$ cartas ( se han descartado los ochos y los nueves ). Calcúlese la probabilidad de que:
a) Al menos dos sean del mismo palo.
b) Las tres sean del palo de bastos. [Nota: en una baraja española hay $4$ palos: bastos, oros, copas y espadas, y cada palo tiene el mismo número de cartas]

SOLUCIÓN.
a)
Calcularemos, primero, la probabilidad de que las tres cartas extraídas sean de distinto palo, y, finalmente, obtendremos la probabilidad del suceso contrario, que corresponde a la probabilidad de que al menos dos cartas sean del mismo palo.

1.º Probabilidad de que las tres cartas sean de palos distintos:
Supongamos un determinado palo, entonces la primera carta, de ese palo, podemos elegirla de $10$ maneras, de un total de $40$, así que la probabilidad de que la primera carta sea de dicho palo es de $\dfrac{10}{40}$. Veamos ahora la segunda carta, si ésta no tiene que ser del palo de la primera carta extraída, podremos elegir entre las $(40-1)-(10-1)=30$ cartas restantes ( ya no contamos con las cartas del primer palo ), de un total de $40-1=39$ cartas ( pues, lógicamente, hemos descartado la primera carta extraída del mazo ), con lo cual la probabilidad que la segunda carta no sea del mismo palo que la primera es de $\dfrac{30}{39}$. Por lo que respecta a la tercera carta, que no puede ser ni del palo de la primera ni del de la segunda, tenemos $(40-2)-(10-1)-(10-1)=20$ posibilidades a la hora de elegirla, de un total de $40-2=38$ cartas que quedan en el mazo, luego la probabilidad de que la tercera carta no sea ni del palo de la primera ni del palo de la segunda es de $\dfrac{30}{38}$. Por otra parte, podemos elegir tres palos de entre cuatro que hay en total de $\binom{4}{3}=4$, en consecuencia, la probabilidad de que las tres cartas sean de distintos palos es igual a $$\binom{4}{3}\cdot \dfrac{10}{40} \cdot \dfrac{30}{39} \cdot \dfrac{20}{38}$$

2.º Probabilidad de que al menos dos de las tres cartas sean del mismo palo:
Finalmente, calculando la probalilidad del suceso contrario, obtenemos la probabilidad pedida: $$1-\binom{4}{3}\cdot \dfrac{10}{40} \cdot \dfrac{30}{39} \cdot \dfrac{20}{38}=\dfrac{147}{247}\approx 0,5951$$

b)
Vamos a aplicar la probabilidad compuesta; para ello consideraremos, en las sucesivas extracciones, las situaciones precedentes a una dada que suponemos se han hecho ya efectivas: al extraer la primera carta, la probabilidad de que sea de un cierto palo, pongamos que el de bastos, es de $\dfrac{10}{40}$, pues hay $10$ cartas de bastos y $40$ cartas en total. A la hora de extraer la segunda, quedan $39$ cartas en la baraja, de las cuales $9$ son de bastos, luego la probabilidad de extraer una segunda carta de bastos es $\dfrac{9}{39}$; y, haciendo el razonamiento análogo a la hora de pensar la extracción de la tercera carta de bastos, vemos que su probabilidad es de $\dfrac{8}{38}$. En consecuencia, la probabilidad de sacar tres cartas de bastos es de $\dfrac{10}{40} \cdot \dfrac{9}{39}\cdot \dfrac{8}{38}=\dfrac{3}{247}\approx 0,0121$.