Construcción de una base ortonormal del espacio vectorial R^3, distinta de la base canónica

Ángulos que forma un vector u, y su proyección sobre el plano Oxy, con los vectores de la base canónica

NOTA: $\vec{u'}$ es el vector proyección de $\vec{u}=(1,2,5)$ sobre el plano Oxy y por tanto sus coordenadas son $(u_x,u_y,0)$, esto es, $\vec{u'}=(1,2,0)$

Espacio vectorial. Cálculo de vectores que cumplen un conjunto de condiciones

Independencia lineal

ENUNCIADO. Probar que los vectores $\vec{u}=(3,1,0)$, $\vec{v}=(4,-1,2)$ y $\vec{w}=(1,0,1)$ son linealmente independientes.

SOLUCIÓN. Lo son si y sólo si la combinación lineal para formar el vector nulo $\vec{0}=(0,0,0)$ tiene coeficientes nulos. Veámoslo: $$\alpha\,(3,1,0)+\beta\,(4,-1,2)+\gamma\,(1,0,1)=(0,0,0) \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3\,\alpha & + & 4\,\beta & + & \gamma & = & 0 \\ \alpha & - & \beta & & & = & 0 \\ & & 2\,\beta & + & \gamma & = & 0 \end{matrix} \right. \sim $$
$\overset{-3\,e_2+e_1 \rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}3\,\alpha & + & 4\,\beta & + & \gamma & = & 0 \\ & & 7\,\beta & + &\gamma & = & 0 \\ & & 2\,\beta & + & \gamma & = & 0 \end{matrix} \right.$

$\overset{-7\,e_3+2\,e_12 \rightarrow e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}3\,\alpha & + & 4\,\beta & + & \gamma & = & 0 \\ & & 7\,\beta & + &\gamma & = & 0 \\ & & & & -5\,\gamma & = & 0 \end{matrix} \right.$ ( sistema reducido por Gauss )

De la última ecuación, $\gamma=0$; sustituyendo en la segunda, $7\,\beta+0=0$ y por tanto $\beta=0$ y sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación encontramos $3\,\alpha+0+0=0$ con lo cual $\alpha=0$. Por consiguiente, los tres vectores pedidos son linealmente independientes.

Nota: Decimos, por ello, que el rango del sistema de vectores $\{ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\}$ es $3$

Observación: Al formar la matriz de los coeficiente con la que nos hemos encontrado ( que se forma con las coordenadas de los vectores, disponiéndolos por filas o bien por columnas ), vemos que los rangos de dicha matriz $$\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ( y la de su traspuesta ) han de ser igual a $3$ para que los vectores del conjunto dado sean linealmente independientes $$\text{rg}\,\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\text{rg}\,\begin{pmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}=3$$ . Por consiguiente, los determinantes de dichas matrices tienen que ser no nulos: $$\begin{vmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \neq 0$$
$$\begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} \neq 0$$

$\square$

Espacios vectoriales

Leyes de composición interna. Suma de vectores

Leyes de composición externa. Producto por escalares

Propiedades de un espacio vectorial

Subespacio vectorial. Caracterización de subespacios vectoriales

Dependencia e independencia lineal. Combinaciones lineales. Propiedades

Sistema de generadores de un espacio vectorial. Bases de un espacio vectorial. Dimensión de un espacio vectorial.

Rango de un conjunto de vectores.

Aplicaciones lineales, matrices y vectores. Matriz asociada a una aplicación lineal.

Matrices y estructuras algebraicas

Lo siguiente es un resumen de lo que he explicado hoy en clase:

Dadas las operaciones internas $+$ ( suma de matrices $n \times p$ ) y $·$ ( producto de matrices cuadradas $n \times n$ ) se forman las siguientes estructuras algebraicas:

$(\mathcal{M}_{n \times p}(\mathbb{R}),+)$ es un grupo abeliano ( conmutativo )

$(\mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{R}),·)$ es un semigrupo no abeliano ( no comutativo ), con elemento neutro ( que es la matriz identidad $I_{n \times n}$ )

$(\mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{R}),+,·)$ es un anillo no abeliano ( con respecto de $·$ ) y con elemento neutro ( con respecto de $·$, que es $I_{n \times n}$ )

Dadas las operaciones internas $+$ ( suma de matrices $n \times p$ ) y con la operación externa $·_{\mathbb{R}}$ ( producto de matrices por escalares ) se forman la siguiente estructura algebraica:

$(\mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{R}),+,·_{\mathbb{R}})$ es un espacio vectorial

$\square$

Hallar la ecuación implícita (o general) de un plano que pasa por tres puntos

Enunciado:
Consideremos el espacio afín formado por espacio vectorial estándar $(\mathbb{R}^{3},+,\cdot_{\mathbb{R}})$ sobre el cuerpo de los números reales $\mathbb{R}$ con el siguiente sistema de referencia:
    i) El origen de coordenadas situado en el punto $O(0,0,0)$
    ii)La base $\mathcal{C}$ del espacio vectorial $(\mathbb{R}^{3},+,\cdot_{\mathbb{R}})$ es la formada por los vectores
            $\mathcal{C}=\{e_1=(1,0,0)\,,\,e_2=(0,1,0)\,,\,e_3=(0,0,1)\}$
                ( que es la base estándar o canónica).
Determinar la ecuación implícita del plano que pasa por los siguientes puntos:
              $P(1,0,0)$, $Q(0,1,0)$ y $R(0,0,1)$

Solución:
Antes de empezar, recordemos que la ecuación del plano $\pi$ en forma implícita viene dada por
    $\pi:\, A\,x+B\,y+C\,z+D=0$
siendo nuestro objetivo determinar los valores de los coeficientes $A$, $B$, $C$ y $D$. Esto se hará de la siguiente manera.

Al pertenecer los puntos
    $P(x_P,y_P,z_P)$, $Q(x_Q,y_Q,z_Q)$ i $R(x_R,y_R,z_R)$
a dicho plano, podemos afirmar que los vectores
    $u_1=(P_x-Q_x,P_y-Q_y,P_z-Q_z)$
    $u_2=(P_x-R_x,P_y-R_y,P_z-R_z)$
pertenecen a dicho plano y son linealmente independientes.
Como la dimensión de dicho plano $\pi$, como subespacio vectorial ( o variedad lineal ) es $2$, cualquier otro vector del plano
se podrá expresar como una combinación lineal de estos dos, es decir, estos dos vectores, $v_1$ y $v_2$, constituyen una base del plano.
Por tanto, siendo $(x,y,z)$ las coordenadas de un punto arbitrario del plano, el conjunto de vectores
    $\{(P_x-x,P_y-y,P_z-z), u_1, u_2\}$ tiene rango igual a $2$, luego el siguiente determinante es nulo
    $\begin{vmatrix} P_x-x& P_y - y &P_z - z \\ P_x-Q_x& P_y - Q_y &P_z - Q_z \\ P_x-R_x& P_y - R_y &P_z - R_z \end{vmatrix}$

Con las coordenadas de los puntos dados queda,
    $\begin{vmatrix} 1-x& 0 - y &0 - z \\ 1-0& 0 - 1 &0 - 0 \\ 1-0& 0 - 0 &0 - 1 \end{vmatrix}=0$

Y, resolviendo el determinante, encontramos la ecuación del plano $\pi_{PQZ}$ en forma implícita
    $\pi_{PQZ}:\,x+y+z-1=0$

Por tanto, los valores de los coeficientes de la ecuación implícita son:
    $A=B=C=1$ y $D=-1$
$\square$

Nota 1:   Se demuestra que otra forma de expresar esto es
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ x_P&y_P &z_P &1 \\ x_Q&y_Q &z_Q &1 \\ x_R&y_R &z_R &1 \end{vmatrix}=0$
que, en el caso que nos ocupa, se concreta así
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ 1&0 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 \\ 0&0 &1 &1 \end{vmatrix}=0$
Calculamos este determinante de orden $4$ desarrollando por los adjuntos de la primera columna
    $\begin{vmatrix} x&y &z &1\\ 1&0 &0 &1 \\ 0&1 &0 &1 \\ 0&0 &1 &1 \end{vmatrix}=x\,\begin{vmatrix} 0&0 &1 \\ 1&0 &1 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} y&z &1 \\ 1&0 &1 \\ 0&1 &1 \end{vmatrix}=x-(1-y-z)$
                                                                              $=x+y+z-1$

Nota 2:   Observemos que al proyectar este plano sobre los planos coordenados $Oxy$ ( imponiendo $z=0$ ), $Oyz$ ( haciendo $x=0$ ) i $Oxz$ ( con $y=0$ ) obtenemos las correspondientes rectas:
    $x+y=1$, es decir, la recta $y=-x+1$ ( proyectando en el plano $Oxy$ )
    $z+y=1$, es decir, la recta $z=-y+1$ ( proyectando en el plano $Oyz$ )
    $x+z=1$, es decir, la recta $z=-x+1$ ( proyectando en el plano $Oxz$ )
Estas rectas formen ángulos de $45^{\circ}$ con los ejes respectivos.

[nota del autor]