Cálculo de probabilidades con las distribuciones binomial y normal.

ENUNCIADO. Una empresa ha llevado a cabo un proceso de selección de personal.
a) Se sabe que el $40\,\%$ del total de los aspirantes ha sido seleccionado. Si entre los aspirantes había un grupo de $8$ amigos, calcúlese la probabilidad de que al menos $2$ de ellos hayan sido seleccionados.
b) Las puntuaciones obtenidas por los aspirantes en el proceso de selección siguen una distribución normal, $X$, de media $5.6$ y desviación típica $\sigma$. Sabiendo que $P\{X\le 8.2\}=0.67$, calcúlese el valor de $\sigma$

SOLUCIÓN.
a) Denotemos por $S$ a la variable aleatoria "número de amigos del grupo que han sido seleccionados". Los valores posibles de dicha v.a. son $0,1,2,3,\ldots,8$. Es claro que $S$ sigue una distribución binomial de parámetros $n=8$ y probabilidad de éxito $p=40/100=2/5$ ( y probabilidad de fracaso $q=1-p=3/5$). Entonces, $\displaystyle P\{X\ge 2\}=1-P\{X\le 1\}=1-\left( \binom{8}{0}\cdot (2/5)^{0}\cdot (3/5)^8 + \binom{8}{1}\cdot (2/5)^{1}\cdot (3/5)^7 \right)=$
  $=\displaystyle 1-(3/5)^8 - 8 \cdot (2/5)\cdot (3/5)^7 \approx 0,8936$

b) La variable aleatoria $X$ (puntuación) sigue una distribución $N(5.6,\sigma)$. Entonces, tipificando la variable $X$, pasamos a la v.a. $Z$ que sigue una distribución normal $N(0,1)$, luego $P\{X\le 8.2\}=P\{Z\le (8.2-5.6)/\sigma\}=P\{Z\le 2.6/\sigma\}$; por otra parte, sabemos que dicha probabilidad ha de ser igual a $0.67$, así que, consultando en el interior de las tablas de la función de distribución $F(z)$, encontramos para dicho valor ( $0.67$ ), la abscisa crítica $z^*=0.44$, luego $$\dfrac{2.6}{\sigma}=0.44 \Leftrightarrow \sigma=\dfrac{2.6}{0.44}\approx 5,91$$
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Cálculo de probabilidades. Distribución binomial y distribución normal.

ENUNCIADO. La probabilidad de que un pez de una determinada especie sobreviva más de $5$ años es del $10\,\%$. Se pide:
a) Si en un acuario tenemos $10$ peces de esta especie nacidos este año, hallar la probabilidad de que al menos dos de ellos sigan vivos dentro de $5$ años
b) Si en un tanque de una piscifactoría hay $200$ peces de esta especie nacidos este mismo año, usando una aproximación mediante la distribución normal correspondiente, hallar la probabilidad de que al cabo de $5$ años hayan sobrevivido al menos $10$ de ellos

SOLUCIÓN.
Denotemos por $X$ a la variable aleatoria "número de peces que han sobrevivido más de 5 años". Es claro que $X$ sigue una distribución binomial $B(n,p)$, donde la probabilidad de éxito es $p=0,1$

a) La probabilidad de que sobrevivan al menos $2$ peces es:

$P\{X \ge 2\}=1-P\{X \le 1\} =1-( P\{X=0\} + P\{X=1\})=$

  $\displaystyle =1- \left( 0,9^{10} + \binom{10}{1} \cdot 0,1^{1}\cdot 0,9^{9} \right) \approx 0,2639$

b)
Ahora; $n:=200$, que por su magnitud es necesario aproximar, si es posible, la distribución binomial de $X$, $B(n,p)$, por una d. normal $Y$, $N(\,np, \sqrt{np(1-p})\,)$. Veamos si es razonable hacerlo: como $n\cdot p = 200\cdot 0,10 = 20 \succ 5$, sí lo es.

Teniendo en cuenta que la media es $\mu=np=200\cdot 10=20$ y la desviación estándar $\sigma=\sqrt{200\cdot 0,1\cdot 0,9} \approx 4,24$, podemos escribir:

$P\{X\ge 10\} \approx P\{Y \ge 10-0,5\}=$ ( aplicamos también la corrección de continuidad de Yates )

  $=P\{Y \ge 9,5\}$

    $=P\{Z \ge \dfrac{9,5-20}{4,24}\approx -2,48\}$ ( tipificación $Y \rightarrow Z=\dfrac{Y-\mu}{\sigma}$, que es $N(0,1)$, para poder así usar las tablas de dicha función de distribución )

      $=1-P\{Z \le -2,48\}$

        $=1-P\{Z \ge 2,48\}$

          $=1-( 1- P\{Z \le 2,48\} )$

            $=P\{Z \le 2,48\}$

              $\overset{\text{tablas}\,N(0,1)}{=}0,9934 \approx 99\,\%$

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Aproximación de una distribución binomial por una distribución normal

ENUNCIA1DO. Una urna contiene $800$ bolas negras y $500$ bolas blancas. Se extraen al azar $200$ bolas, de manera sucesiva y con reemplazamiento. Calcúlese la probabilidad de obtener:
a) Más $150$ bolas blancas
b) Menos de $110$ bolas blancas
c) Un número de bolas blancas comprendido entre $90$ y $170$

SOLUCIÓN.

La distribución binomial de variable aleatoria se adapta perfectamente a este problema ya que las extracciones son independientes y sólo hay dos posibles resultados "bola blanca" o "bola negra" en cada una de las extracciones. Consderemos la variable aleatoria $X$, número de bolas blancas obtenidas en el conjunto de $200$ bolas extraídas, que toma valores en el conjunto $\{0,1,2,3,4,\ldots,200\}$; $X$ sigue pues una distribución $B(n,p)$, donde $n=200$ y $p=\dfrac{500}{1300}=\dfrac{5}{13}$ ( probabilidad de 'éxito' ), con lo cual la probabilidad de 'fracaso' es $q=1-p=\dfrac{8}{13}$

a)
Se pide que calculemos $P\{X\succ 150\}=\displaystyle \sum_{i=151}^{200}\,\binom{200}{i}\,p^i\,(1-p)^{200-i}$; ahora bien, este cálculo es inviable, así que, como alternativa, intentaremos aproximar la variable aleatoria binomial $X$ por una variable aleatoria normal $Y$. Veamos si se cumplen los requerimientos para que se pueda hacer eso: en efecto $n\,p=200\cdot \dfrac{5}{13}\succ 5$ y $n\,(1-p)=200\cdot \dfrac{8}{13}\succ 5$. Procedamos pues a realizar la aproximación. Sabemos que la variable aleatoria aproximadora $Y$ siguie una distribución $N(\mu\,,\,\sigma)$ con $\mu=n\,p$ y $\sigma=|\sqrt{n\,p\,(1-p)}|$, esot es $Y$ sigue una distribución $N(76'92\,,\,6'88)$

Entonces $P\{X\succ 150\}\overset{(1),(2)}{\approx} P\{Y \succ 150+0'5\}\overset{(3)}{=}P\{Z\succ \dfrac{150'5-76'92}{6'88}\}$
      $=P\{Z \ge 10'69\}=1-P\{Z\le 10'69\}=1-F(10'69) \approx 1-1=0$

b)
Seguimos, desde luego, con la aproximación por la normal:
$P\{X\prec 150\}\overset{(1),(2)}{\approx} P\{Y \prec 110+0'5\}\overset{(3)}{=}P\{Z\le \dfrac{110'5-76'92}{6'88}\}$
      $P\{Z\le 4'88\}=F(4'88)\approx 1$


c)
$P\{90 \prec X \prec 170\}\overset{(1),(2)}{\approx} P\{ 89'5 \prec Y \prec 170'5\} \overset{(3)}{=}$
    $=P\{\dfrac{89'5-76'92}{6'88} \le Z \le \dfrac{170'5-76'92}{6'88}\}=P\{ 1'83 \le Z \le 13'60 \}=$
    $=P\{Z\le 13'60\}-P\{Z \le 1'83\}$
    $=F(13'60)-F(1'83)$
    $=1-0'9664$
    $=0'0336$


Aclaraciones:
(1),(2): Aproximación por la normal y corrección de continuidad ( o de Yates )
(3): tipificación de la variable normal $Y \rightarrow Z=\dfrac{Z-\mu}{\sigma}$

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Cálculos con la distribución binomial

ENUNCIADO. Un $5\,\%$ de las piezas mecanizadas en una cierta máquina herramienta resultan ser defectuosas. Calcúlese la probabilidad de que eligiendo al azar $20$ de las piezas mecanizadas aparezcan:
a) $3$ piezas defectuosas, exactamente
b) A lo sumo $3$ piezas defectuosas

SOLUCIÓN.
La variable "número de piezas defectuosas", $X$, toma valores en el conjunto $\{0,1,2,3,\ldots,20\}$ y sigue una distribución binomial $B(n,p)$ con $n=20$ y $p=\dfrac{1}{20}$ ( con $q\equiv 1-p=\dfrac{19}{20}$ )

Entonces:
a) $$\displaystyle P\{X=3\}=\binom{20}{3}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{3}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-3}\approx 0'0596$$

b)
$$\displaystyle P\{X\le 3\}=\sum_{i=0}^{3}\binom{20}{i}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{i}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-i}=$$
  $\displaystyle=\binom{20}{0}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{0}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-0}+\binom{20}{1}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{1}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-1}+$
          $\displaystyle+\binom{20}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{2}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-2}+\binom{20}{3}\cdot\left(\dfrac{1}{20}\right)^{3}\cdot\left(\dfrac{19}{20}\right)^{20-3}\approx 0'9841$

$\square$