Hiperboloide de una hoja

Lámpara decorativa en forma de hiperboloide de una hoja. Madrid, otoño de 2013

Ecuaciones con números enteros

Este ejercicio de muestra es de ampliación y va dirigido a los alumnos de 2.º de Bachillerato que puedan estar interesados en ampliar sus conocimientos sobre números enteros al objeto, por ejemplo, de participar en las Olimpiadas Matemáticas o bien por el simple gusto de estar mejor preparados para cursar, en el futuro, estudios de grado en la universidad. Antes de exponer la solución del ejercicio que resolveremos como ejemplo, vamos a decir algunas cosas sobre las ecuaciones con números enteros; en concreto, las que toman la forma $ax+by=c$, y que llamamos ecuaciones diofánticas lineales. Los coeficientes $a,b,c \in \mathbb{Z}$ vienen dados; y, de tener solución la ecuación, las incógnitas $x$ e $y$, que debemos determinar deben ser, también, números enteros.

ALGO DE TEORÍA:
Veamos lo que nos dice la teoría: Una ecuación diofántica lineal del tipo $ax+by=c$ tiene solución si y sólo si $d:=\text{m.c.d.}(a,b)$ es divisor del término independiente $c$ ( que notamos de la forma $d|c$ ); y, teniendo solución dicha ecuación, se demuestra que hay infinitos pares de valores $(x,y)$ que satisfacen dicha ecuación. Encontramos las infinitas soluciones ( solución general ) encontrando, primero, una solución particular $(x_1,y_1)$, y, a continuación, la solución general, que es de la forma

$$\left\{\begin{matrix}
x=x_1+\lambda\,\dfrac{b}{d} & \\
\\
y=y_1-\lambda\,\dfrac{a}{d} & \\
\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$

Vamos, ahora, a exponer un ejemplo.

ENUNCIADO:
Sea la ecuación diofántica lineal $6x+50y=108$. ¿ Tiene solución ? En caso afirmativo, ¿ cómo son los infinitos pares de valores enteros $(x,y)$ ?

SOLUCIÓN:
Observemos que $a=6$, $b=50$ y $c=108$. Como el máximo común divisor de $a$ y $b$, $d:=\text{m.c.d.}(6,50)=2$, es divisor del término independiente $c=108$, esto es $2 | 108$, podemos afirmar que la ecuación tiene solución en $\mathbb{Z}$ y que ésta consta de infinitos pares de números enteros $(x,y)$, que vamos a ver cómo son a continuación.

Encontremos, para empezar, una solución particular de la ecuación dada. Para ello, determinaremos primero una solución particular de la ecuación $ax+by=d$ ( identidad de Bézout ) y, de ésta, encontraremos la solución particular de la que buscamos.

La identidad de Bézout, en este caso, es $6x+50y=2$. Así, por ejemplo, $(-8,1)$ cumple dicha igualdad; en efecto, $6(-8)+50\cdot 1 = 2$   (1). Y, como el término independiente, $108$, de la ecuación pedida se obtiene multiplicando el de la identidad de Bézout, $2$, por $108/2=54$, mutiplicaremos ambos miembros de (1) por $54$ para obtener $$6\cdot (-8)\cdot 54+50\cdot 1 \cdot 54 = 2 \cdot 54$$ con lo cual $$6 \cdot \underset{x_1}{\underbrace{\left((-8)\cdot 54\right)}}+50 \cdot \underset{y_1}{\underbrace{\left( 1 \cdot 54 \right)}}= 108$$ es decir $$6 \cdot \underset{x_1}{\underbrace{(-432)}}+50 \cdot \underset{y_1}{\underbrace{54}}= 108$$ luego una solución particular es $$(-432,54)$$ Y, finalmente, construyendo la solución general, llegamos a $$\left\{\begin{matrix}
x=-432+\lambda\,\dfrac{50}{2} & \\
\\
y=54-\lambda\,\dfrac{6}{2} & \\
\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$
es decir
$$\left\{\begin{matrix}
x=-432+25\,\lambda \\
\\
y=54-3\,\lambda \\
\end{matrix}\right. \quad \quad \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$

Ahora, dando valores ( enteros ) arbitrarios al parámetro $\lambda$ podemos encontrar cualesquiera de los pares de números enteros $(x,y)$ ( hay infinitos ) que constituyen la solución general; así, por ejemplo, para $\lambda = 4$, encontramos $(-332,42)$, etcetera.

$\square$

Integrales definidas de funciones pares e impares, con dominio de integración simétrico ... ( Artículo escrito en catalán )

[nota del autor]

Dada la función ...

ENUNCIADO
Dada la función $$f(x)=\left\{\begin{matrix}
\dfrac{\sin{x}}{x}\,,\, \text{si}\,x \prec 0 \\
\\
x\,e^x+1 \,,\, \text{si}\,x \ge 0
\end{matrix}\right.$$
se pide:
a) Estudiar la continuidad de $f$
b) Estudiar la derivabilidad de $f$ y calcular $f'$ donde sea posible
c) Calcular $\displaystyle \int_{1}^{3}\,f(x)\,dx$

[ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN
a)
El único punto donde $f$ puede presentar problemas de continuidad es $x=0$; en los demás puntos de $D_f$ la función es continua, por ser continua en sendos tramos. Veamos, ahora, si se cumplen las condiciones de continuidad en dicho punto.

i) Existencia de los límites laterales en $x=0$:

$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin{x}}{x}\overset{\text{indet.} \frac{0}{0} \rightarrow \text{L'Hôpital}}{=} \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{(\sin{x})'}{(x)'}=\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{\cos{x}}{1}=\cos{0}=1$$

$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow 0}\,(x\,e^x+1)=0\cdot e^{0}+1=0\cdot 1+1=0+1=1$$

ii) Existencia del límite global en $x=0$:
Como existen los límites laterales en $x=0$ y su valor coincide, existe el límite global en $x=0$ y su valor es $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,f(x)=1$$

iii) El valor del límite global coincide con el valor de la función de $x=0$:
Como $f(1) \overset{\text{definición}}{=} e^{0}+1=0\cdot 1+1=0+1=1$
$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,f(x)=f(1)=1$$

Entonces, al cumplirse las tres condiciones necesarias y suficientes de continuidad en un punto ( $x=0$ ), podemos afirmar que la función es continua en $x=0$

b)
El único punto donde la función podría no ser derivable es en $x=0$ ( a pesar de ser continua en dicho punto ). Para que la función sea derivable en $x=0$ es necesario que existan los límites $\displaystyle f'(0^{-}) \equiv\lim_{x \rightarrow h}\,\dfrac{f(0-h)-f(0)}{h}$ y $f'(0^{+}) \equiv \displaystyle \lim_{x \rightarrow h}\,\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$ y que sus valores coincidan, esto es, que las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de la función, a izquierda y a derecha de dicho punto, tengan el mismo valor. Calculemos estas derivadas; la del primer tramo es $$\left(\dfrac{\sin{x}}{x}\right)'=\dfrac{x\,\cos{x}-\sin{x}}{x^2}$$ y la del segundo tramo $$\left( x\,e^x+1\right)'=e^{x}\,(x+1)$$ luego $$\displaystyle f'(0^{-}) \equiv \lim_{x \rightarrow h}\,\dfrac{f(0-h)-f(0)}{h}=\lim_{x \rightarrow 0^{-}}\,\dfrac{x\,\cos{x}-\sin{x}}{x^2} \overset{\text{indet.},\frac{0}{0} \rightarrow \text{L'Hôpital}}{=}$$
$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\,\dfrac{(x\,\cos{x}-\sin{x})'}{(x^2)'} =\lim_{x \rightarrow 0^{-}}\,\dfrac{-\sin{x}}{2}=-\dfrac{1}{2}\,\sin{0}=-\dfrac{1}{2}\cdot 0=0$$ y $$\displaystyle f'(0^{+}) \equiv \lim_{x \rightarrow h}\,\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\,e^{x}\,(x+1)=e^{0}\,(0+1)=1\cdot (0+1)=1$$
Ahora bien, como $f'(0^{-}) \neq f'(0^{+})$, el límite global mediante el que se define la derivada no existe ( en $x=0$ ), es decir, $f$ no es derivable en $x=0$.

c)
Por el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, una primitiva de $x\,e^{x}+1$ ( que es el tramo de función del integrando, ya que integramos de $1$ a $3$, ambos mayores que $0$ ) es $e^{x}\,(x-1)+x$ ( integrando por partes ), y, por el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo ( regla de Barrow ), tenemos que

$\displaystyle \int_{1}^{3}\,f(x)\,dx=\int_{1}^{3}\,(x\,e^x+1)\,dx=\left[ e^{x}\,(x-1)+x \right]_{1}^{3}$

$=(e^{3}\,(3-1)+3)-(e^{1}\,(1-1)+1)=2\,(e^3+1)$

$\square$

[nota del autor]

Dadas las matrices ...

ENUNCIADO
Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}
1&2 &3 \\
0& t &2 \\
3& -1 &t
\end{pmatrix}
\,,\,
I=\begin{pmatrix}
1&0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0& 0 &1
\end{pmatrix}$, se pide:

a) Hallar el rango de $A$ en función de $t$
b) Calcular $t$ para que $\text{det}(A-t\,I)=0$

[ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN
El determinante de la submatriz formada por los coeficientes de las filas primera y tercera y de las columnas primera y segunda es distinto de cero $$\begin{vmatrix}
1 & 3\\
0 &2
\end{vmatrix}=2 \neq 0$$
luego el rango de $A$ es mayor o igual que $2$. Veamos si es igual a $3$, calculando el único menor de orden tres ( el determinante de la propia matriz ) $$\begin{vmatrix}
1 & 3 & 2\\
0 & 2 & t\\
3 & t & -1\\
\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow t^2-9t+14=0 \Leftrightarrow t \in \{2\,,\,7\}$$
Por tanto $$\text{rg}(A)=\left\{\begin{matrix}
2 & \text{si}& t \in \{ 2\,,\,7 \} \\
\\
3 & \text{si}& t \notin \{ 2\,,\,7 \}\\

\end{matrix}\right.$$

b)
$$A-t\,I=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & t & 2\\
3 & -1 & t\\
\end{pmatrix}-t\,\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & t & 2\\
3 & -1 & t\\
\end{pmatrix}-\,\begin{pmatrix}
t & 0 & 0\\
0 & t & 0\\
0 & 0 & t\\
\end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix}
1-t & 2 & 3\\
0 & t-t & 2\\
3 & -1 & t-t\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1-t & 2 & 3\\
0 & 0 & 2\\
3 & -1 & 0\\
\end{pmatrix}$$
luego el determinante de dicha matriz es
$$\text{det}(A-t\,I)=\begin{vmatrix}
1-t & 2 & 3\\
0 & 0 & 2\\
3 & -1 & 0\\
\end{vmatrix}$$
que es igual a
$$\overset{\text{Laplace, 2.ª fila}}{=}2\cdot (-1)^{2+3}\,\begin{vmatrix}
1-t & 2 \\
3 & -1 \\
\end{vmatrix}=-2\,(t-7)$$
Entonces
$$-2\,(t-7)=0\Leftrightarrow t=7$$

Nota:
A los valores de $t$ que cumplen esta condición les llamamos valores propios ( autovalores ) de la matriz $A$

$\square$

Dadas la matrices ...

ENUNCIADO
Dadas las matrices:
$$A=\begin{pmatrix}
0&0 &1 \\
0& 1 &0 \\
1& 0 &0
\end{pmatrix}
\,,\,
B=\begin{pmatrix}
3&0 &0 \\
0& 3 &0 \\
0& 0 &3
\end{pmatrix}
$$ se pide:
a) Calcular $A^{15}$ y $A^{20}$
b) Resolver la ecuación matricial $6\,X=B-3\,A\,X$, donde $X$ es una matriz cuadrada de orden $3$

[PAU 2015, Madrid]


SOLUCIÓN
a)
Procedamos a calcular las primeras potencias
$$A^2=\begin{pmatrix}
0 &0 &1 \\
0 &1 & 0\\
1 & 0 &0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 &0 &1 \\
0 &1 & 0\\
1 & 0 &0
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1 &0 &0 \\
0 &1 & 0\\
0 & 0 &1
\end{pmatrix}=I$$ luego $A$ es una matriz cíclica de período $p=2$, con lo cual $A^{20}=A^r$, donde $r$ es el resto de la división entera $20 \div p$; por tanto, como el resto de la división $20 \div 2$ es $r = 0$, llegamos a $A^{20}=A^0=I$. Por otra parte, $A^{15}=A^1=A$ ya que el resto de la división $15 \div 2$ es igual a $1$

-oOo-Otra forma de ver lo mismo es la siguiente:
$$A^3=A^2\,A=I\,A=A$$
$$A^4=A^3\,A=A\,A=A^2=I$$
$$A^5=A^4\,A=I\,A=A$$
$$ \ldots $$

con lo que podemos inferir que
$$A^n=\left\{\begin{matrix}
I&\text{si }\;n\; \text{es par} \\
A&\text{si }\;n\; \text{es impar} \\
\end{matrix}\right.$$

Así, como $20$ es par, $A^{20}=I$; y como $15$ es impar, $A^{15}=A$


b)

$$6X=B-3AX \Leftrightarrow 6X+3AX=B-3AX+3AX$$
luego
$$(6I+3A)X=B \quad \quad \quad \quad (1)$$

Observemos que $(6I+3A)=\begin{pmatrix}
6 &0 &0 \\
0 & 6 &0 \\
0 & 0 & 6
\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}
0 &0 &3 \\
0 & 3 &0 \\
3 & 0 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
6 &0 &3 \\
0 & 9 &0 \\
3 & 0 & 6
\end{pmatrix}$ y por tanto $\begin{vmatrix}
6 &0 &3 \\
0 & 9 &0 \\
3 & 0 & 6
\end{vmatrix}=6^2 \cdot 9 - 3^2 \cdot 9 \neq 0 \Rightarrow 6I-3A $ posee matriz inversa

Entonces, de (1),
$$(6I+3A)^{-1}(6I+3A)X=(6I+3A)^{-1}B$$
$$I \,X=(6I+3A)^{-1}B$$
$$X=(6I+3A)^{-1}B \quad \quad \quad \quad (2)$$

Calculemos la matriz inversa de $(6I+3A)$; para ello, escogemos el método de Gauss-Jordan:

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
6 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0\\
0 & 9 & 0 & 0 & 1 & 0\\
3 & 0 & 6 & 0 & 0 & 1\\
\end{array}\right) \overset{\frac{1}{2}\,f_1+f_3 \rightarrow f_3}{\longrightarrow}
\left(\begin{array}{ccc|ccc}
6 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0\\
0 & 9 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 9/2 & -1/2 & 0 & 1\\
\end{array}\right)
\overset{-3\cdot\frac{2}{9}\,f_3+f_1 \rightarrow f_1}{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
6 & 0 & 0 & 4/3 & 0 & -2/3\\
0 & 9 & 0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 9/2 & -1/2 & 0 & 1\\
\end{array}\right)
\overset{\frac{1}{6}\,f_1 \rightarrow f_1;\frac{1}{9}\,f_2 \rightarrow f_2;\frac{2}{9}\,f_3 \rightarrow f_3}{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 2/9 & 0 & -1/9\\
0 & 1 & 0 & 0 & 1/9 & 0\\
0 & 0 & 1 & -1/9 & 0 & 2/9\\
\end{array}\right)$$
por tanto
$$(6I+3A)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
2/9 & 0 & -1/9\\
0 & 1/9 & 0\\
-1/9 & 0 & 2/9\\
\end{array}\right)$$

Así, de (2),
$$X=\left(\begin{array}{ccc}
2/9 & 0 & -1/9\\
0 & 1/9 & 0\\
-1/9 & 0 & 2/9\\
\end{array}\right)\begin{pmatrix}
3&0 &0 \\
0& 3 &0 \\
0& 0 &3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2/3&0 &-1/3\\
0& 1/3 &0 \\
-1/3& 0 &2/3
\end{pmatrix}$$

$\square$

Desde la boca de un pozo, se lanza una piedra y se cronometra el tiempo que tarda en chocar contra la superficie del agua del fondo

ENUNCIADO
Desde la boca de un pozo, se lanza una piedra y se cronometra el tiempo que tarda en chocar contra la superficie del agua del fondo, que resulta ser $2 \, s$. Teniendo en cuenta que el movimiento en caída libre se caracteriza por ser la velocidad proporcional al tiempo en todo instante de tiempo, $ v(t) \propto t$, siendo el valor aproximado de la constante de proporcionalidad ( en la superficie de la Tierra ) de $g=9,8 \, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$, calcúlese la profundidad del pozo ( la distancia entre la boca y la superficie del agua del fondo ), despreciando el tiempo que tarda la onda sonora del choque en recorrer la longitud del pozo.

SOLUCIÓN
Teniendo en cuenta que $v(t) = g\,t$, y que la función $v(t)$ es la función derivada de la función de posición de la piedra ( tomando como referencia la boca del pozo ) con respecto a la variable tiempo, $t$, podemos escribir ( empleando la notación de Leibniz ) que $$\dfrac{dx}{dt}=g\,t$$
y por tanto
$$dx=g\,t\,dt$$
con lo cual, integrando en cada miembro de la igualdad,
$$\int\,dx=g\,\int\,t\,dt$$
es decir
$$x(t)=\dfrac{1}{2}\,g\,t^2+C$$
pero como $x(0)=0$, resulta que $C=0$; así
$$x(t)=\dfrac{1}{2}\,g\,t^2$$
Utilizando, ahora, la información sobre el tiempo de caída, obtenemos la profundidad del pozo:
$$x(5)=\dfrac{1}{2}\cdot 9,8 \cdot 2^2 \approx 20 \, \text{m}$$
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio sobre conceptos del espacio euclídeo

ENUNCIADO
Dados el punto $P(-4,6,6)$, el origen de coordenadas $O$, y la recta $$r:\,\left\{\begin{matrix}
x & = & -4 + 4\,\lambda \\
y & = & 8 + 3\,\lambda \\
z & = & -2\,\lambda\\
\end{matrix}\right.$$
se pide:

a) Determinar el punto $Q$ de $r$, de modo que su proyección $Q'$ sobre el segmento $\overline{OP}$ sea su punto medio

b) Determinar la distancia del punto $P$ a $r$

c) ¿ Existe algún punto $R$ de la recta $r$, de modo que los puntos $O$, $P$ y $R$ estén alineados ? En caso afirmativo, encontrar el punto ( o los puntos ) con esa propiedad o, en caso negativo, justificar la no existencia.

[ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN

(a)
Las coordenadas del punto medio, $Q'$, del segmento $\overline{OP}$ son $(\dfrac{-4+0}{2},\dfrac{6+0}{2},\dfrac{6+0}{2})=(-2,3,3)$ y las componentes del vector $\overrightarrow{OP}$ son $(-4,6,6)$. Entonces, la familia de planos paralelos con vector normal $\overrightarrow{OP}$ es $\mathcal{F}:\,-4x+6y+6z+D=0$. La ecuación del plano $\pi$ ( de esa familia de planos ) que pasa por el punto $Q'(-2,3,3)$ se determina calculando el valor del coeficiente $D$, imponiendo que dicho punto esté en el plano: $-4(-2)+6\cdot 3+6 \cdot 3+D=0 \Rightarrow D=-44$, luego $\pi:\,-4x+6y+6z-44=0$, que, simplificada queda $\pi:\,2x-3y-3z+22=0$

Por otra parte, despejando el parámetro $\lambda$, obtenemos la ecuación de la recta $r$ en forma continua: $$\dfrac{x+4}{4}=\dfrac{y-8}{3}=\dfrac{z-0}{-2}$$, que podemos expresar también mediante las dos ecuaciones siguientes: $$ \left\{\begin{matrix}
\dfrac{x+4}{4} &=&\dfrac{z}{-2} \\
\\
\dfrac{y-8}{3} &=&\dfrac{z}{-2} \\
\end{matrix}\right.$$ La intersección de $\pi$ y $r$ determina el punto pedido, $Q$, cuya proyección es el punto dado $Q'$; sus coordenadas son, por tanto, la solución del siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}
2x-3y-3z+22&=&0
\\
\\
\dfrac{x+4}{4} &=&\dfrac{z}{-2} \\
\\
\dfrac{y-8}{3} &=&\dfrac{z}{-2} \\
\end{matrix}\right.$$
simplificándolo
$$\left\{\begin{matrix}
2x & - & 3y & - &3z&=&-22
\\
-x & & & - &2z&=&4
\\
& & -2y & - &3z&=&-16
\end{matrix}\right.$$
y reduciéndolo por Gauss ( primera etapa: $2\,e_2+e_1 \rightarrow e_2$; segunda etapa: $\dfrac{2}{3}\,e_2+e_3 \rightarrow e_3$ [ omitimos los pasos de cálculo ] ),
$$\left\{\begin{matrix}
2x & - & 3y & - &3z&=&-22
\\
& & 3y & + &7z&=&14
\\
& & & &z&=&-4
\end{matrix}\right.$$
con lo cual, sustituyendo el valor de $z$ ( tercera ecuación ) en la segunda, llegamos a $y=14$; y, sustituyendo los valores encontrados de $z$ e $y$ en la primera ecuación, obtenemos $x=4$. Así, pues, las coordenadas del punto $Q$ pedido son $(4,14,-4)$

$\square$


(b)
Procedemos a calcular la distancia entre $P(-4,6,6)$ y $r:\,\dfrac{x+4}{4}=\dfrac{y-8}{3}=\dfrac{z-0}{-2}$; para ello, vamos a hallar el plano $\sigma$ perpendicular a $r$ que contiene a $P$; a continuación, calcularemos las coordenadas del punto de intersección, $P'$, entre $r$ y $\sigma$; y, finalmente, encontramos la distancia pedida calculando $\left\|\overrightarrow{PP'} \right\|$

Como las componentes de un vector perpendicular a los planos que son perpendiculares a $r$ son las de cualquier vector director de dicha recta, de la ecuación de la recta $r$, en forma continua, vemos que un vector director de la misma es $(4,3,-2)$, luego la familia de planos perpendiculares a $r$ viene dada por $\mathcal{F}:\,4x+3y-2z+D=0$. De aquí, determinaremos el valor del coeficiente $D$ correspondiente a la ecuación del plano $\sigma$ imponiendo que $P$ sea un punto de $\sigma$, por tanto debe cumplirse que $4(-4)+3 \cdot 6 + (-2)\cdot 6 +D =0 \Leftrightarrow D=10$; así, $\sigma:\,4x+3y-2z+10=0$

Entonces, como $P'$ está en $r$ y en $\sigma$, sus coordenadas deberán ser la solución del sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix}
4x &+&3y&-&2z&=&-10 \\
\\
&&&&\dfrac{x+4}{4}&=&\dfrac{z}{-2}\\
\\
&&&&\dfrac{y-8}{4}&=&\dfrac{z}{-2}\\
\end{matrix}\right.
$$
simplificando el sistema $$\left\{\begin{matrix}
4x &+&3y&-&2z&=&-10 \\
x &&&+&2z&=&-4 \\
&&2y&+&3z&=&16 \\
\end{matrix}\right.
$$
y reduciéndolo por Gauss, vemos que es compatible determinado ( como era de esperar ) y su solución es $x=-\dfrac{188}{29}$, $y=\dfrac{178}{29}$, $z=\dfrac{36}{29}$, luego $P'(-\dfrac{188}{29},\dfrac{178}{29},\dfrac{36}{29})$; por tanto, el vector $\overrightarrow{PP'}=(-\dfrac{188}{29}-(-4),\dfrac{178}{29}-6,\dfrac{36}{29}-6)=(-\dfrac{72}{29},\dfrac{4}{29},-\dfrac{138}{29})$, y su módulo ( que es la distancia pedida ) es igual a
$\left\|\overrightarrow{PP'}\right\|=\sqrt{(-\dfrac{72}{29})^2+(\dfrac{4}{29})^2+(-\dfrac{138}{29})^2}=\dfrac{2\,\sqrt{6061}}{29} \approx 5,3691$

-oOo-
OTRA FORMA de resolverlo

Un vector director de $r$ es $(4,3,-2)$. La ecuación en forma paramétrica de la recta dada es $r:\,\left\{\begin{matrix}
x & = & -4 + 4\,\lambda \\
y & = & 8 + 3\,\lambda \\
z & = & -2\,\lambda\\
\end{matrix}\right.$; escogiendo, ahora, un valor cualquiera del parámetro $\lambda$, pongamos que $\lambda=0$, obtenemos el punto $M(-4,8,0)$ de $r$.

También sabemos que un vector director de $r$ es $\vec{u}=(4,3,-2)$. Entonces $\overrightarrow{PM}=(-4-(-4),8-6,0-6)=(0,2,6)$, con lo cual $\left\|\vec{u}\right\|=\sqrt{4^2+3^2+(-2)^2}=\sqrt{29}$, $\left\|\overrightarrow{PM}\right\|=\sqrt{0^2+2^2+(-6)^2}=\sqrt{40}$, y de la definición de producto escalar euclídeo
$$\cos{\angle (\overrightarrow{PM}, \vec{u})}=\dfrac{\langle \overrightarrow{PM}, \vec{u} \rangle}{\left\|\overrightarrow{PM}\right\| \left\|\vec{u}\right\| }=\dfrac{\langle ( 0,2,-6),(4,3,-2) \rangle}{\sqrt{29}\,\sqrt{40}}=\dfrac{18}{\sqrt{29}\,\sqrt{40}} \approx 0,5285$$

Por otra parte, $\text{dist}(P,r)=\left\| \overrightarrow{PM} \right\| \, \sin{ \angle (\overrightarrow{PM},\vec{u}) }$
  $=\sqrt{40} \, \sqrt{1-\cos^2{ \angle (\overrightarrow{PM},\vec{u}) }} \approx \sqrt{40}\,\sqrt{1-0,5285^2} \approx 5,3691$
$\square$

(c)
Supongamos que $O(0,0,0)$, $P(-4,6,6)$ y $R(-4+4\lambda,8+3\lambda,-2\lambda)$ están alineados, entonces se deberá cumplir que $$\dfrac{(-4+4\lambda)-0}{-4-0}=\dfrac{(8+3\lambda)-0}{6-0}=\dfrac{-2\lambda-0}{6-0}$$ es decir $$\dfrac{-4+4\lambda}{-4}=\dfrac{8+3\lambda}{6}=\dfrac{-2\lambda}{6}$$ y simplificando $$1-\lambda=\dfrac{8+3\lambda}{6}=\dfrac{-\lambda}{3}$$ lo cual se cumple si y sólo si $$\left\{\begin{matrix}
3 &-&3\lambda & = &-\lambda \\
8 &+&3\lambda & = &-2\lambda \\
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
3 & = &2\lambda \\
8 & = &-5\lambda \\
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow
\dfrac{3}{2}\overset{!}{=}-\dfrac{8}{5}
$$
y al llegar a una contradicción, debemos rechazar la hipótesis de partida, con lo cual concluimos que los puntos dados no están alineados, esto es, no existe ningún punto $R \in r$ tal que esté alineado con $O$ y $P$.
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de geometría euclídea ...

ENUNCIADO
a) Dados los vectores $\vec{u}=(2,3,4)$, $\vec{v}=(-1,-1,-1)$ y $\vec{w}=(-1,\lambda,-5)$, encontrar los valores de $\lambda$ que hacen que el paralelepípedo $\mathcal{P}$ generado por $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ concurrentes en un mismo vértice.

b) Obetener la ecuación de la recta incluida en el plano $\pi:\,z=0$, con dirección perpendicular a $\vec{t}=(2,-1,4)$ y que pasa por el punto $A(1,1,0)$

[ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN
(a)
Sabemos que el volumen pedido, $\mathcal{V}$, viene dado por el valor absoluto del producto mixto $[ \vec{u}\,,\,\vec{v}\,,\,\vec{w}]$, esto es, $$\mathcal{V} \overset{\text{Def}}{=}\left| \langle \vec{u} \,,\, \vec{v} \times \vec{w} \rangle \right|$$
donde designamos por $\langle \,,\, \rangle$ el producto escalar de dos vectores; y por $ \times$ el producto vectorial de dos vectores. A su vez, sabemos que $$ \langle \vec{u} \,,\, \vec{v} \times \vec{w} \rangle = \begin{vmatrix}
u_1 & u_2 & u_3\\
v_1 & v_2 & v_3\\
w_1 & w_2 & w_3\\
\end{vmatrix} $$
que, con los datos del problema es
$$\begin{vmatrix}
2 & 3 & 4\\
-1 & -1 & -1\\
-1 & \lambda & -5\\
\end{vmatrix} \overset{-f_1+f_2 \rightarrow f_2}{=}
\begin{vmatrix}
2 & 3 & 4\\
-1 & -1 & -1\\
0 & \lambda+1 & -4\\
\end{vmatrix}
\overset{2\,f_2+f_1 \rightarrow f_1}{=}
\begin{vmatrix}
0 & 1 & 2\\
-1 & -1 & -1\\
0 & \lambda+1 & -4\\
\end{vmatrix}$$
$\overset{\text{Laplace ( 1.ª columna )}}{=} -(-1) \, \begin{vmatrix}
1 & 2\\
\lambda+1 & -4\\
\end{vmatrix}
=-(6+2\,\lambda)
$
Entonces, si el volumen es igual a $6$ unidades arbitrarias de volumen, $\left| -(6+2\,\lambda ) \right| = 6 \Leftrightarrow \lambda=\left\{\begin{matrix}
0 \\
\text{ó}\\
-6
\end{matrix}\right.$
$\square$

b)
Sea $\pi$ el plano $xOy$ y sea $P(x,y,z)$ un punto genérico de la recta $r \subset \pi$ pedida, entonces, si $(1,1,0)$ son las coordenadas de un punto de $r$, el vector $(x-1\,,\,y-1\,,\,z-0)$ está en $\pi$ y, por tanto, es perpendicular al vector $\vec{t}=(2,-1,4)$ dado, con lo cual el producto escalar $\langle (x-1\,,\,y-1\,,\,z-0) \,, (2,-1,4) \rangle$ es igual a $0$. Desarrollando el producto escalar e imponiendo, pues, que sea nulo, obtenemos $$2\,(x-1)+(-1)(y-1)+4(z-0)=0$$ simplificando obtenemos la ecuación de un plano, $\pi'$, que contiene a $r$, y que es perpendicular al plano $xOy$ ( o plano $\pi$ ) que también contiene a $r$; la ecuación de dicho plano es $\pi':\,2x-y-1=0$, que, junto con el plano $\pi:\,z=0$ se llega a las ecuaciones cartesianas de la recta pedida $$r:\,\left\{\begin{matrix}
2\,x &-&y&&&=&1 \\
&&&&z&=&0 \\
\end{matrix}\right.$$
Obsérvese que, así, la recta pedida viene dada por la intersección de dos planos.

Por supuesto, también podemos darla en forma continua: $$r:\,\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-0}{0}$$

$\square$

[nota del autor]

Discutir, según los valores de $m \in \mathbb{R}$, el sistema de ecuaciones siguiente: $$\left\{\begin{matrix} 4\,x & + & 3\,y & +&(m-1)\,z&=&0\\ x & - & 2\,y & +&m\,z&=&1\\ 5\,x & + & m\,y & +&z&=&1\\ \end{matrix}\right.$$ ...

ENUNCIADO
a) Discutir, según los valores de $m \in \mathbb{R}$, el sistema de ecuaciones siguiente: $$\left\{\begin{matrix}
4\,x & + & 3\,y & +&(m-1)\,z&=&0\\
x & - & 2\,y & +&m\,z&=&1\\
5\,x & + & m\,y & +&z&=&1\\
\end{matrix}\right.$$
b) Resolver el sistema anterior para el caso $m=1$

[ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN
(a)
Escribiendo el sistema de ecuaciones en forma matricial $AX=B$: $$\begin{pmatrix}
4 & 3 & m-1 \\
1 &-2 &m \\
5& m & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
1
\end{pmatrix}$$

Realizando un análisis de rangos, recurriremos al Teorema de Rouché-Fröbenius para realizar la discusión del sistema en función de los valores que tome el parámetro $m$. La matriz de los coeficientes del sistema, ampliada con los términos independientes, es $$\tilde{A}=(A|B)=\left(\begin{array}{ccc|c}
4 & 3 & m-1 & 0\\
1 & -2 & m & 1\\
5 & m & 1 & 1\\
\end{array}\right)$$ Procedemos, ahora, a reducirla por Gauss ( el rango de las matrices resultantes de aplicar operaciones elementales por filas es invariante ):

Con las operaciones $-4\,f_2+f_1 \rightarrow f_2\;-5\,f_2+f_3 \rightarrow f_3$ llegamos a $$\left(\begin{array}{ccc|c}
4 & 3 & m-1 & 0\\
0 & 11 & -3\,m-1 & -4\\
0 & 10+m & -5\,m+1 & -4\\
\end{array}\right)$$ y haciendo $-\dfrac{1}{11}\,(10+m)\,f_2+f_3 \rightarrow f_3$ llegamos a la matriz escalonada $$\left(\begin{array}{ccc|c}
4 & 3 & m-1 & 0\\
0 & 11 & -3\,m-1 & -4\\
0 & 0 & \dfrac{3}{11}\,(m^2-8m+7) & \dfrac{4}{11}\,(m-1)\\
\end{array}\right)$$

Observemos que, en este caso, los valores que puedan tomar los coeficientes de la tercera fila determinan completamente el resultado de la discusión; para ello tendremos en cuenta los valores para los cuales se anulan dichos coeficientes: $m^2-8m+7=0 \Leftrightarrow x \in \{1\,,\,7\}$; y, además, $m-1=0 \Leftrightarrow m=1$. Con lo cual, distinguimos los siguientes casos:

Caso I.
Si $m=1$, entonces $m^2-8m+7=0$ y $m-1=0$; por tanto, $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=2$, por lo que podemos afirmar que ( al coincidir los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada ) el sistema es compatible, siendo el rango, $r$, del sistema de ecuaciones ( esto es, el número de ecuaciones linealmente independientes ) igual a $2$. Y como $r=2 \prec n=3$, el sistema es, compatible indeterminado, con $n-r=3-2=1$ variable secundaria, y dos variables principales.

Caso II.
Si $m=7$, entonces $m^2-8m+7=0$ y $m-1 \neq 0$, con lo cual $\text{rg}(A)=2$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$, luego $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(\tilde{A})$ y, por tanto, el sistema es incompatible.

Caso III.
Si $m \notin \{1\,,\,7\}$, entonces $m^2-8m+7 \neq 0$ y $m-1 \neq 0$, con lo cual $\text{rg}(A)=3$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$, por lo que, al coincidir los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada, deducimos que el sistema es compatible; y, como, además, el rango, $r$, del sistema de ecuaciones, que es $3$, es igual al número de incógnitas, $n$, concluimos que el sistema es, en este caso, compatible determinado.

-oOo-
OTRA FORMA de llevar a cabo la discusión pedida consiste en hacer uso del método de los determinantes para hallar los rangos de las matrices $A$ y $\tilde{A}$. Veámoslo a continuación.

Observemos que, por ejemplo, la submatriz de orden $2$ formada por los coeficientes de las filas primera y segunda y de las columnas primera y segunda ( es submatriz de $\tilde{A}$, y por tanto también de $A$ ) tiene determinante no nulo $$\begin{vmatrix}
4 & 3\\
1 & -2
\end{vmatrix} = -11 \neq 0$$ de donde podemos deducir que $\text{rg}(A) \ge 2$ y $\text{rg}(\tilde{A}) \ge 2$. Orlando dicha submatriz, encontramos sólo dos submatrices de un orden mayor, cuyos determinantes son:
$$\Delta_1=\begin{vmatrix}
4 & 3 & m-1\\
1 & -2 & m \\
5 & m & 1
\end{vmatrix}=-3\,(m^2-8m+7)$$ y $$\Delta_2=\begin{vmatrix}
4 & 3 & 0\\
1 & -2 & 1 \\
5 & m & 1
\end{vmatrix}=m-1$$
Démonos cuenta, ahora, de que $\Delta_1=0 \Leftrightarrow m \in \{1\,,\,7\}$ y $\Delta_2=0 \Leftrightarrow m=1$. Llegados a este punto, ya podemos iniciar la discusión:

Caso I.
Si $m=1$, entonces $\Delta_1=0$ y $\Delta_2 = 0$, luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=2$, por lo que podemos afirmar que ( al coincidir los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada ) el sistema es compatible, siendo el rango, $r$, del sistema de ecuaciones ( esto es, el número de ecuaciones linealmente independientes ) igual a $2$. Y como $r=2 \prec n=3$, el sistema es, compatible indeterminado, con $n-r=3-2=1$ variable secundaria, y dos variables principales.

Caso II.
Si $m=7$, entonces $\Delta_1=0$ y $\Delta_2 \neq 0$, con lo cual $\text{rg}(A)=2$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$, luego $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(\tilde{A})$ y, por tanto, el sistema es incompatible.

Caso III.
Si $m \notin \{1\,,\,7\}$, entonces $\Delta_1 \neq 0$ ( y por tanto $\text{rg}(A)=3$ ) y $\Delta_2 \neq 0$ ( y por tanto $\text{rg}(\tilde{A})=3$ ). Al coincidir los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada, deducimos que el sistema es compatible; y, como, además, el rango, $r$, del sistema de ecuaciones, que es $3$, es igual al número de incógnitas, $n$, concluimos que el sistema es, en este caso, compatible determinado.

(b)
Si $m=1$, estamos en el caso I ( sistema compatible indeterminado con una variable secundaria ), y el sistema ( ya reducido ) se puede escribir de la forma $$\left\{\begin{matrix}
4\,x &+ & 3\,y&&&=&0 \\
& & 11\,y&-&4\,z&=&-4 \\
\end{matrix}\right.$$
Como debemos elegir una variable secundaria, escogemos, por ejemplo, $\lambda:=z-4$, con lo cual nos queda $$\left\{\begin{matrix}
4\,x &+ & 3\,y&&&=&0 \\
& & 11\,y&&&=&\lambda \\
& &&&z&=&\lambda+4 \\
\end{matrix}\right.$$ Despejando $y$ de la segunda ecuación, obtenemos $y=\dfrac{1}{11}\,\lambda$; y, sustituyendo este valor en la primera ecuación, obtenemos el valor de $x$: $x=-\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{11}\,\lambda$, esto es, $x=-\dfrac{3}{44}\,\lambda$.

Así pues, la solución del sistema viene dada por las infinitas ternas de números reales cuya estructura es $$\lbrace (-\dfrac{3}{44}\,\lambda\,,\,\dfrac{1}{11}\,\lambda\,,\,\lambda+4):\,\lambda \in \mathbb{R} \rbrace$$
$\square$

Dada la función $f(x)=\dfrac{x}{x^2-4}+\dfrac{\ln{(x+1)}}{x+1}$, se pide ...

ENUNCIADO
Dada la función $$f(x)=\dfrac{x}{x^2-4}+\dfrac{\ln{(x+1)}}{x+1}$$ se pide:
a) Determinar el dominio de $f$ y sus asíntotas
b) Calcular la recta tangente a la gráfica de la función $y=f(x)$ en $x=0$
c) Calcular $\int \,f(x)\,dx$

[ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN:
(a)
Dominio de definición de $f$
  El logaritmo sólo está definido para valores positivos de su argumento, luego $x+1 \succ 0$ y, por tanto, $x$ debe ser mayor que $-1$; por otra parte, el primer término de la función anula su denominador para $x=\pm2$, y por tanto, la función no está definida, para $x=2$ ( y, tapoco tampoco para $x=-2$, pero al ser este valor menor que $-1$, no será considerado, por no pertenecer al intervalo de definición del logaritmo neperiano ( segundo término ). Así, pues, $D_f=\mathbb{R} \supset (-1\,,\,+\infty)\setminus\{2\}$

Asíntotas verticales:
  Observemos que la función toma valores negativos para valores de $x$ comprendidos entre $-1$ y $2$; y, positivos para valores de $x$ mayores que $2$, así que, al realizar los siguientes límites encontramos: $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{+}}\,f(x)=+\infty$, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\,f(x)=-\infty$; y, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\,f(x)=-\infty$, luego hay dos asíntotas verticales: $\text{a.v.}_{1}:\,x=-1$ y $\text{a.v.}_{2}:\,x=2$

Asíntotas oblícuas ( incluidas las de pendiente nula, es decir las horizontales ):
  La ecuación de una función lineal afín ( de una recta asíntota oblícua ) se escribe de la forma explícita $a.o.:\,y=mx+k$. Veamos, primero, el valor de $m$; por definición, $m=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm\infty} \,f'(x)=\lim_{x \rightarrow \pm\infty} \,\dfrac{f(x)}{x}$. Observemos que, en nuestro caso, no tiene sentido hallar el límite cuando $x \rightarrow -\infty$ ya que la función no está definida para valores menores que $-1$, por tanto, sólo halleremos el límite para $x \rightarrow +\infty$. Por otra parte, notemos que $\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{1}{x^2-4}+\dfrac{\ln{(x+1)}}{x(x+1)}$, con lo cual, y, teniendo en cuenta que $ \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{1}{x^2-4}+\dfrac{\ln{(x+1)}}{x(x+1)}$, vemos que $$\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow +\infty}\,\left(\dfrac{1}{x^2-4}+\dfrac{\ln{(x+1)}}{x(x+1)}\right)=\lim_{x \rightarrow +\infty}\,\left(\dfrac{1}{x^2-4}\right)+\lim_{x \rightarrow +\infty}\,\left(\dfrac{\ln{(x+1)}}{x(x+1)}\right)$$ El primer límite es, evidentemente, $0$ ( por ser el numerador una constante y el denominador un polinomio de grado mayor que cero ), mientras que el segundo puede calcularse empleando la regla de L'Hôpital, pues nos encontramos una indeterminación del tipo $\dfrac{\infty}{\infty}$ al pasar el límite; por tanto
$\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}\,\left(\dfrac{\ln{(x+1)}}{x(x+1)}\right)=\lim_{x \rightarrow +\infty}\,\dfrac{\left(\ln{(x+1)}\right)'}{\left(x(x+1)\right)'}=\lim_{x \rightarrow +\infty}\,\dfrac{1/(x+1)}{2x+1}=$
$\displaystyle=\lim_{x \rightarrow +\infty}\,\dfrac{1}{(2x+1)(x+1)}=0$ Así, pues, la función dada tiene una asíntota oblícua ( horizontal, en particular, por ser su pendiente igual a cero ) que podemos escribir de la forma $\text{a.o.}:\,y=0$

(b)
La ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función $y=f(x)$ en un punto de abscisa $x_0$ se escribe de la forma $\text{r.t.}:\,y=f(x_0)+f'(x_0)\,(x-x_0)$. En nuestro caso, $x_0=0$, con lo cual, al sustituir en la fórmula de la función, encontramos: $f(0)=0$. Por otra parte, derivando la función, término a término, se obtiene la siguiente función derivada $$f'(x)=-\dfrac{x^2+4}{(x^2-4)^2}+\dfrac{1-\ln{(x+1)}}{(x+1)^2}$$ con lo cual, al sustituir $x$ por $0$, el valor de la derivada en dicho punto es $f'(0)=-\dfrac{0+4}{(0-4)^2}+\dfrac{1-\ln{1}}{(0+1)^2}=-\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{3}{4}$. Por consiguiente, la ecuación de la recta tangente pedida es $y=0+\dfrac{3}{4}\,(x-0)$, esto es, $\text{r.t.}:\,y=\dfrac{3}{4}\,x$

(c)
$\displaystyle \int\,f(x)\,dx= \int\,\left( \dfrac{x}{x^2-4} + \dfrac{\ln{(x+1)}}{x+1}\right)\,dx = \int\, \dfrac{x}{x^2-4}\,dx + \int\, \dfrac{\ln{(x+1)}}{x+1}\,dx = $
$\displaystyle = \dfrac{1}{2}\,\int\, \dfrac{2\,x\,dx}{x^2-4} + \int\, \ln{(x+1)}\,d(\ln{(x+1)}+C=\dfrac{1}{2}\,\ln{(\left|x^2-4\right|)}+\dfrac{1}{2}\,\left( \ln{(\left|x+1\right|)} \right)^2+C$
$\square$

[nota del autor]

Dados el plano $\pi:\,x-2y+2z+1=0$ y la superficie esférica $S:\,(x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=9$ ...

ENUNCIADO
Dados el plano $\pi:\,x-2y+2z+1=0$ y la superficie esférica $S:\,(x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=9$, hallar los planos tangentes a la esfera que son paralelos al plano $\pi$. [ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN
Sea, $(x,y,z) \in S$, un punto de la esfera y de uno de los planos tangentes pedidos, entonces el vector de posición de dicho(s) punto(s) ( con respecto del centro de la esfera ) es $(x-1,y-1,z-2)$ ya que el centro de la esfera es el punto $(1,1,2)$

Por otra parte, un vector perpendicular a los planos tangentes paralelos a $\pi$ es también un vector perpendicular a $\pi$, esto es, $(1,-2,2)$ ( sus componentes corresponden a los coeficientes $A$, $B$, y $C$ de la ecuación general del plano $Ax+By+Cz+D=0$ ), por tanto $$(x-1,y-1,z-2) \propto (1,,1,2) $$ es decir $$(x-1,y-1,z-2) = \lambda\, (1,1,2)\; \; \text{donde}\; \lambda \in \mathbb{R}$$ con lo cual $$\left\{\begin{matrix} x-1 & = & \lambda \\ y-1 &=& -2\,\lambda \\ z-2 &=&2\,\lambda \\ \end{matrix}\right.$$ es decir $$\left\{\begin{matrix} x & = & \lambda +1 \\ y &=& -2\,\lambda +1 \\ z &=&2\,\lambda +2 \\ \end{matrix}\right.$$ Por lo tanto, los puntos de tangencia son del tipo $$(\lambda +1,-2\,\lambda+1,2\,\lambda+2)$$ Vamos ahora a determinar los valores concretos que toma $\lambda$; para ello, debemos tener en cuenta que los puntos de tangencia están también en $S$, con lo cual deberán satisfacer la ecuación de $S$ $$((\lambda+1-1)^2+(-2\lambda+1-1)^2+(2\,\lambda+2-2)^2=9$$ simplificando $$9\,\lambda^2=9 \Leftrightarrow \lambda=\pm 1$$ Sustituyendo estos dos valores encontramos dos puntos de tangencia, $P_1$ y $P_2$, con los que determinaremos las ecuaciones de sendos planos tangentes ( paralelos al plano dado; y, por tanto, paralelos entre sí ): $$(x_1,y_1,z_1)=(1+(+1),-2+(+1),2\,(+1)+2)=(2,-1,4)$$ y $$(x_2,y_2,z_2)=(1+(-1),-2+(-1),2\,(-1)+2)=(0,-3,0)$$ Los planos tangentes pedidos respectivos son $$\pi_1:\,x-2y+2z+D_1=0$$ y $$\pi_2:\,x-2y+2z+D_2=0$$ donde los coeficientes $D_1$ y $D_2$ se determinan imponiendo que los puntos $P_1$ y $P_2$ pertenecen al plano tangente respectivo: $$1\cdot 2-2\,(-1)+2\,(4)+D_1=0 \Rightarrow D_1=-12$$ y $$1\cdot 0-2\,(-3)+2\cdot 0+D_2=0 \Rightarrow D_2=-6$$ Así, pues, las ecuaciones de los dos planos tangentes que cumplen la condición del enunciado son $$\pi_1:\,x-2y+2z-12=0$$ y $$\pi_2:\,x-2y+2z-6=0$$ $\square$

[nota del autor]

Calcular la integral indefinida ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu la següent integral indefinida (trobeu la família de funcions primitives)
    $\displaystyle \int \, \bigg(x^3-x^2+x-1\bigg)\,dx$

Resolució:
Donada una funció $f(x)$, recordem que la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, f(x)\,dx$
correspon al problema de trobar la família de funcions primitives de la funció de l'integrand $f(x)$; és a dir, $\{F(x)+C\}$ ( $C$ és una constant: la constant d'integració ) de tal manera que
$\bigg(F(x)+C\bigg)^{'}=f(x)$
Tenint en compte les regles de derivació (en concret la que dóna la derivada d'una funció potencial i la derivada d'una suma de funcions ) és clar que
    $\displaystyle \int \, \bigg(x^3-x^2+x-1\bigg)\,dx =\dfrac{1}{4}\,x^4-\dfrac{1}{3}\,x^3+\dfrac{1}{2}\,x^2-x+C$

$\square$

[nota del autor]

Romanesco ... ( Artículo escrito en catalán )

Un estiu vaig fer aquestes fotografies a una col que vam plantar a l'hort de casa i que, naturament, ens vam menjar molt a gust. Com veieu és un romanesco, la forma del qual és un exemple emblemàtic d'una fractal. El romanesco Brassica oleracea és un híbrid entre el bròquil (Brassica oleracea var botrytis) i el bròcoli (Brassica oleracea var italica).

¿ Cuál es la mayor longitud que puede tener una barra rígida para que pase por la esquina de un corredor ?

[nota del autor]

Algunas propiedades de los determinantes ... ( escrito en catalán )

[nota del autor]

Calcular la masa de ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Càlculeu la massa d'una varnilla de densitat (lineal) no homogènia $\rho(x)=x+1$     i longitud $L$

Resolució:
Com que un element infinitesimal de massa es pot escriure de la forma
$\Delta \,m = \rho(x) \, \Delta \, x$
per calcular la massa de la varnilla efectuem una suma
d'elements infinitesimals
$\displaystyle \Sigma \, \rho(x) \Delta x$
Passant al límit, trobem
$\displaystyle m=\int_{0}^{L} \rho(x)\, dx = \Big[\frac{x^2}{2}+x\Big]_{0}^{L} =\frac{L\,\big(L+2\big)}{2}$
$\square$

[nota del autor]

Un ejercicio de cálculo numérico con DERIVE ... ( Artículo escrito en catalán )

La imatge de sota mostra el codi font [ fet amb DERIVE (tm)] i el resultat gràfic d'un senzill exercici de simulació numèrica d'una òrbita el·líptica (gravitació de Newton) a partir de la integració numèrica de les equacions del moviment emprant l'algorisme d'Euler.

Per entendre-ho millor, us ajudarà força llegir [aquestes explicacions] que, en el seu momento, vaig escriure per ajudar a un alumne.

La masa de una muestra radiactiva ...

ENUNCIADO
La masa de una muestra de una cierta sustancia radiactiva decrece según la función $m(t)=m_{o}\,e^{-0,1\,t}$. ¿ Al cabo de cuánto tiempo la muestra se ha reducido a la mitad ?. Si la masa inicial es igual a $27 \, \text{mg}$, ¿ cuál será la masa de la muestra al cabo de $10$ días ? ¿ Se va a desintegrar completamente dicha muestra ?

SOLUCIÓN
Como la masa inicial es $m(0)=m_0\,\,e^{-0,1\cdot 0}=m_0 \, e^0 = m_0 \cdot 1=m_0$, podemos escribir $$\dfrac{1}{2}\,m_0=m_{o}\,e^{-0,1\,t}$$ es decir $$\dfrac{1}{2}=e^{-0,1\,t}$$ Sacando logaritmos en cada miembro de la ecuación $$\ln{\dfrac{1}{2}}=-0,1\,t\,\ln{e}$$ de done, despejando $t$, llegamos a $$t=-\dfrac{\ln{1/2}}{0,1} \approx 6,9 \, \text{días}$$
La masa de la muestra al cabo de $10$ días, teniendo en cuenta que la masa inicial era de $27$ miligramos vendrá dada por el valor de función para $t=10$ días $$m(10)=27\,e^{-0,1 \cdot 10}$$ esto es $$m(10)=27\,e^{-1}=\dfrac{27}{e} \approx 10 \, \text{mg}$$
Para contestar a la última pregunta, debemos calcular el límite $$\displaystyle \lim_{t \rightarrow +\infty}\,m(t)$$ Veamos si es igual a cero; en cuyo caso, podremos afirmar que la muestra se va a desintegrar completamente. Y, en efecto, así es $$\displaystyle \lim_{t \rightarrow +\infty}\,m(t)=\lim_{t \rightarrow+\infty}\,m_{o}\,e^{-0,1\,t}=m_0\,\lim_{t \rightarrow+\infty}\,e^{-\infty}=0$$
$\square$

[nota del autor]

Cálculo de límites

Ejercicio a)
    Enunciado:
Calcular el valor del siguiente límite
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})^2}{(x-\frac{\pi}{2})^2}$

Resolución:
Por las propiedades elementales del cálculo de límites de las funciones continuas podemos escribir dicho límite de la forma

$\displaystyle \Bigg(\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})}{(x-\frac{\pi}{2})}\Bigg)^2$

Calculemos, por tanto, el límite de la base de la potencia

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})}{(x-\frac{\pi}{2})}$

al intentar pasar al límite encontramos una indeterminación del tipo

$\frac{0}{0}$

Para resolver dicha indeterminación, haremos uso de la regla de l'Hôpital (que recordemos que puede aplicarse si: a) tanto el numerador como el denominador son infinitésimos, és decir, tienden a cero al pasar al límite (que es nuestro caso); o bien, b) si el denominador tiende a infinito).

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})}{(x-\frac{\pi}{2})} =\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})'}{(x-\frac{\pi}{2})'}$


Con lo cual, derivando (numerador y denominador):

$\big(\cos{x}\big)'=-\sin{x}$

$\big(x-\frac{\pi}{2}\big)'=1$

y, por tanto, el límite anterior es igual a

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})}{(x-\frac{\pi}{2})} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, (-\sin{x})=-1$

Finalmente,
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \, \dfrac{(\cos{x})^2}{(x-\frac{\pi}{2})^2} = (-1)^2 = 1$

$\square$

Ejercicio b)
    Enunciado:

Calcular el valor del siguiente límite
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \, \dfrac{3^x-2^x}{x}$

Resolución:
Oservemos que, si pasamos al límite, obtenemos una indeterminación del tipo

$\dfrac{0}{0}$

Para resolverla, podemos emplear la regla de l'Hôpital, puesto que tanto el numerador como el denominador del argumento del límite són infinitésimos

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \, \dfrac{3^x-2^x}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \, \dfrac{(3^x-2^x)'}{(x)'} \quad \quad (1)$

expresaremos, por tanto, las exponenciales en base común $e$, con el objeto de calcular las derivadas:

$3^x=e^{x\,\ln{3}}$

$2^x=e^{x\,\ln{2}}$

calculemos las derivadas de las expresiones del numerador y del denominador:

$(3^x-2^x)'=(\ln{3})\,e^{x\,\ln{3}}-(\ln{2})\,e^{x\,\ln{2}}$

$(x)'=1$

y aplicando la regla de l'Hôpital (1)

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \, \dfrac{3^x-2^x}{x} =\lim_{x \rightarrow 0} \, \big((\ln{3})\,e^{x\,\ln{3}}-(\ln{2})\,e^{x\,\ln{2}}\big)$

que es igual a

$\displaystyle \ln{3}\,\Big( \lim_{x \rightarrow 0} \, \big(e^{x\,\ln{3}}\big)\Big) - \ln{2}\, \Big(\lim_{x \rightarrow 0} \, \big(e^{x\,\ln{2}}\big)\Big)=\ln{3}-\ln{2}$

$\square$

[nota del autor]

Ejercicios de integrales definidas

Ejercicio a)
    Enunciado:
Calcular el valor de la integral definida

$\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}\,dx$

Resolución:
Con el cambio de variable $x=2\,\sin{\theta} \quad \quad (1)$, el denominador del integrando $\sqrt{4-x^2}$ queda - teniendo en cuenta la identidad fundamental de la trigonometria - de la forma $2\,\sqrt{1-\sin^2{\theta}}=2\,\cos{\theta}$

por otra parte, de (1) obtenemos $dx = 2 \, \cos{\theta}\, d\theta$

Calculemos ahora los límites de integración que corresponden
a la nueva variable $\theta$:
si $x=0$, $\theta=0$
si $x=1$, $\sin{\theta}=\frac{1}{2}$ y, por consiguiente, $\theta=\frac{\pi}{6}$

De ahí que podamos escribir

$\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}\,dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\,\dfrac{4\,\sin{\theta}\,\cos{\theta}}{2\,\cos{\theta}}\,d\theta = 2\,\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\,\sin{\theta}\,d\theta=2[-\cos{\theta}]_0^{\frac{\pi}{6}}$

que es igual a

$-2\big(\cos{\frac{\pi}{6}}-\cos{0}\big)$

teniendo en cuenta que

$\cos{\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

y, simplificando, podemos expresar el resultado de la forma

$2-\sqrt{3}$

$\square$

Ejercicio b)
    Enunciado:
Calcular el valor de la integral definida

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\,x\,\cos{x}\,dx$

Resolución:
El tipo de integrando nos lleva a emplear el método de integración por partes para obtener la primitiva de la función dada

$\int \, u\,dv=u\,v-\int\,v\,du$


Hagamos la siguente denominación:

$\cos{x}\,dx=du$
$x=v$

con lo cual

$u=\sin{x}$
$dv=dx$

De ahí que

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\,x\,\cos{x}\,dx=[x\,\sin{x}]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\,\sin{x}\,dx \quad \quad \quad (1)$

Como
$[x\,\sin{x}]_{0}^{\pi}=0$
y
$\int_{0}^{\pi}\,\sin{x}\,dx=[-\cos{x}]_{0}^{\pi}=-\big(\cos{0}-\cos{\pi}\big)=-\big(1-(-1)\big)=2$

Concluimos, de (1), que
$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\,x\,\cos{x}\,dx=0-2=-2$

$\square$

[nota del autor]

Encontrar una primitiva de la función ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Donada la funció $f(x)=x^2+x+1$, trobeu una funció $F(x)$, primitiva de $f(x)$, tal que $F(1)=-1$

Resolució:
Primer de tot, trobem la família de funcions primitives de $f(x)$ (resolem el problema de la integral indefinida de $f(x)$ )
$\displaystyle \int \, \big(x^2+x+1)\,dx = \dfrac{1}{3}\,x^3+\dfrac{1}{2}\,x^2+x+C \quad (1)$
on $C$ és la constant d'integració
A continuació, determinarem el valor d'aquesta constant, imposant la condició donada $F(1)=-1$; per això, substituïm el valor $x$ per $1$ i trobem la següent equació
$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}+1+C=-1$
d'on, aïllant la constant, i operant i simplificant, s'obté
$C=-\dfrac{17}{6}$
Per tant, amb aquest valor concret de $C$, la funció primitiva demanada [de (1)] és
$F(x)=\dfrac{1}{3}\,x^3+\dfrac{1}{2}\,x^2+x-\dfrac{17}{6}$
$\square$

[nota del autor]

Consideremos una esfera maciza, en la que practicamos un orificio de polo a polo ...

ENUNCIADO
Consideremos una esfera maciza de radio $r$, en la que practicamos un orificio cilíndrico, de radio $a \prec r$, de tal modo que el eje de dicho cilindro coincida con un eje de simetría de la esfera. ¿ Cuál es el volumen del cuerpo resultante ?

SOLUCIÓN
Denominemos $V_1$ al volumen de la esfera; $V_2$ al volumen del cilindro, y $V_3$ al volumen de uno de los dos casquetes esféricos que visualizamos en la figura. Entonces, el volumen pedido es $$V_1-(V_2+2\,V_3) \quad \quad (1)$$
donde: $V_1=\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3$ y $V_2=\pi\,a^2\,h$, siendo $h=r-(r^2-a^2)$. Falta por calcular el volumen del casquete esférico. Pare ello, observemos la siguiente figura:

(Figura: Sección diametral de la esfera con el orificio. Notemos que en el proceso de integración por el método de la superposición de círculos infinitesimales; variando el radio de uno de estos discos genéricos, de grosor $dx$, entre $a$ y $0$ )Entonces, $$V_3=\int_{0}^{h}\,\pi\,a^{2}(x)\,dx \quad \quad (2)$$ y teniendo en cuenta que $$(r-x)^2+a^{2}(x)=r^2$$ podemos expresar el radio del círculo genérico en función de $x$ y $r$ $$a^{2}(x)=2xr-x^2$$ con lo cual podemos escribir la integral (2) de la forma $$\int_{0}^{h}\,(2xr-x^2)\,dx=\pi \, \left[ x^2\,r-\dfrac{1}{3}\,x^3 \right]_{0}^{h}=\dfrac{\pi\,h^2}{3}\,(3r-h)$$

Así, pues, de (1), obtenemos el volumen pedido: $$\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3-\left( \pi\,a^2\,h + \dfrac{2\,\pi\,h^2}{3}\,(3r-h) \right)$$
$\square$

[nota del autor]

Una partícula se desplaza en línea recta y su función de celeridad ...

ENUNCIADO
Una partícula se desplaza en línea recta y su función celeridad ( módulo de la velocidad ), en cada instante de tiempo, se describe mediante la función $v(t)=t^2$ ( en metros por segundo ). ¿ Qué distancia recorre entre los instantes de tiempo $t=1\,\text{s}$ y $t=10\,\text{s}$ ?

SOLUCIÓN
Como la función que proporciona la posición de la partícula en todo instante de tiempo ( respecto del origen de coordenadas ) viene dada por $$x(t)=\int\,v(t)\,dt+C$$ ( véase la entrada anterior en este mismo blog ), podemos calcular la distancia, $d$, pedida mediante el cálculo de la integral definida $$\int_{1}^{10}\,(t^2+C)\,dt$$ y, por el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo ( regla de Barrow ), esto es igual a $$\left[\dfrac{1}{3}\,(t^3+C)\right]_{1}^{10}=\dfrac{1}{3}\,(27-1)=\dfrac{26}{3}\,\text{m}$$

Comentario 1:
Observemos que, en este problema, no necesitamos conocer el valor concreto de la constante de integración, $C$; esto es, no es relevante la información de en qué posición se encuentra la partícula en tal o cuál momento, puesto que sólo se nos pide que calculemos la diferencia entre la posición final y la inicial, con lo cual, al aplicar la regla de Barrow, dicha constante se anula.

Comentario 2:
En estos problemas de cinemática, se puede ver que, el valor de la integral definida, si bien ésta está relacionada con el problema de hallar el "área bajo la curva" - con los necesarios matices -, no viene dado en unidades de área, en el sentido geométrico, sino en unidades de la magnitud física que dé significado a dicho cálculo; en este caso, se trata de la magnitud longitud; en otros casos, el alumno tiene ocasión de comprobar ( en la asignatura de Física ) que se refiere a otras magnitudes, como, por ejemplo, la energía, en su caso; y, otras veces, se tratará, pongamos como ejemplo, que de un número de individuos ( en un problema de dinámica de poblaciones ), tan propio de la Biología o de las Ciencias Sociales.

$\square$

[nota del autor]

Una partícula se mueve en línea recta, con una celeridad de ...

ENUNCIADO
Una partícula se mueve en línea recta, con una celeridad ( módulo de la velocidad ) dada por la función $v(t)=t^3$ ( en metros por segundo ). Se sabe que en el instante $t=1\,\text{s}$ se encuentra a $10\,\text{m}$ del origen de coordenadas. ¿ Cuál es su posición en cada instante de tiempo ? ¿ Cuál es la función que da el módulo de aceleración en cada instante de tiempo ?.

SOLUCIÓN
Como la función celeridad se define como la derivada de coordenada de posición, $x(t)$, respecto del origen de coordenadas, podemos escribir $$\dfrac{dx}{dt}=t^3$$ luego, empleando la notación de Leibniz $$dx=t^3\,dt$$ con lo cual $$\int dx = \int t^3\,dt$$ que es igual a la familia de primitivas $$x(t)=\dfrac{1}{4}\,t^4+C$$ Ahora bien, debemos determinar el valor de la constante de integración, dadas las condiciones del enunciado; así, pues, como $x(1)=10$ tenemos que $$10=\dfrac{1}{4}\,1^4+C $$ y por tanto, despejando la constante de integración, $$C=10-\dfrac{1}{4}=\dfrac{39}{4}$$. En consecuencia, $$x(t)=\dfrac{1}{4}\,x^4+\dfrac{39}{4}$$

Por otra parte, el módulo de la aceleración se define como el ritmo instantáneo de variación de la función celeridad, $a(t)=(v(t))'=(t^4)'=4\,t^3$. $\square$

[nota del autor]

fórmulas de Euler y de De Moivre ... ( artículo escrito en catalán )

Aquest escrit pot ser d'utilitat als alumnes de batxillerat que desitgin una ampliació de continguts. Cal haver treballat el tema introductori sobre nombres complexos i també les nocions de càlcul (anàlisi de funcions) necessàries per entendre la noció de desenvolupament d'una funció contínua i derivable en sèrie de potències.

Comencem. Donat un nombre complex $z=a+ib$, de mòdul $r$ i angle polar (fase) $\theta$, podem escrire-la també de la forma $z=r\,(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$, coneguda com expressió trigonomètrica del nombre complex $z$. A partir d'aquesta expressió, justificarem a continuació que $z$ es pot expressar de la forma $z=r\,e^{i\,\theta}$, coneguda com a fórmula d'Euler [que és molt útil per calcular productes i quocients de nombres complexos]. A partir d'aquest resultat, justificarem la fórmula de De Moivre: $z^n=r^{n}\,\big(\cos{(n\,\theta)}+i\,\sin{(n\,\theta)}\big)$ que es pot fer servir per determinar la potència d'un nombre complex i també per calcular les solucions del radical d'un nombre complex [Es pot demostrar que $\sqrt[n]{z}$ ( on $z \in \mathbb{C}$ ) té $n$ solucions complexes].

Fent el desenvolupament de Taylor en sèrie de potències la funció $\sin{\theta}$ al voltant de $x=0$ podem escriure $\sin{\theta}=0+\dfrac{x}{1!}-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\ldots$. I, fent el mateix amb la funció $\cos{\theta}$ trobem $\cos{\theta}=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\dfrac{x^8}{8!}-\ldots$

Si efectuem, ara, l'operació $\cos{\theta}+i\,\sin{\theta}$ a partir dels desenvolupaments de Taylor del paràgraf anterior veiem que és iugal a
$(1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\ldots)+i\,(\dfrac{x}{1!}-\dfrac{x^3}{3!}+\ldots)$

Per altra banda, si fem el desenvolupament en sèrie de Taylor de la funció $e^z$ al voltant de $z=0$ s'obté $1+z+\dfrac{z^2}{2!}+\dfrac{z^3}{3!}+\dfrac{z^4}{4!}+\ldots $. Si substituïm $z$ per $i\,x$ queda $1+i\,x-\dfrac{x^2}{2!}-i\,\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\ldots$; i si separem la part real de la imaginària, ens adonem que aquesta expressió es pot escriure també així
$(1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\ldots)+i\,(\dfrac{x}{1!}-\dfrac{x^3}{3!}+\ldots)$ que coincideix amb del desenvolupament de $\cos{\theta}+i\,\sin{\theta}$. Per tant, concloem que $e^{i\,\theta}=\cos{\theta}+i\,\sin{\theta}$ i, doncs, que $z$ - que és igual a $r\,(\cos{\theta}+i\,\sin{\theta})$ - es pot escriure de la forma $z=r\,e^{i\,\theta}$ (fórmula d'Euler).

I, a partir de la fórmula anterior, fent la potència d'exponent $n$ d'ambdós membres de la igualtat anterior podem escriure la igualtat $z^n=r^n\,e^{i\,n\,\theta}$ que, lògicament, per to el que s'ha dit anteriorment, es podrà escriure també de la forma $z^n=r^{n}\,\big(\cos{(n\,\theta)}+i\,\sin{(n\,\theta)}\big)$ (fórmula de De Moivre).
$\square$

[nota del autor]

Permutaciones y transposiciones ... ( Artículo escrito en catalán )

Les diverses disposicions d'un conjunt d'elements, atenent l'ordre amb què es posen, s'anomenen permutacions. El nombre de maneres d'ordenar les xifres {1,2,3,4,5} en cinc llocs en fila és igual a 5·4·3·2·1, és a dir, hi ha 120 possibilitats d'ordenar aquestes cinc xifres. Donada una d'aquestes ordenacions, com ara "13542", l'intercanvi de dos d'aquests elements (xifres, en el cas que ens ocupa) rep el nom de transposició. Un determinada ordenació o permutació, com ara l'anterior, es pot considerar que està formada per un cert nombre de transposicions, les quals la retornarien a l'ordre preestablert: "12345". En aquest cas, amb dues transposicions ho aconseguim.$\square$

[nota del autor]

Calcular el área delimitada por ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Calculeu el valor de l'àrea delimitada pel traç de la funció $f(x)=x$, l'eix d'abscisses, i les rectes $r_{1}:x=-1$ i $r_{2}:x=1$

Resolució:
Observem que la integral definida és igual a zero [exercici anterior]
$\displaystyle \int_{-1}^{1}\,x\,dx=0$
degut a que: a) $f(x)=x$ és una funció senar (imparell, és a dir $f(-x)=-f(x)$ ); i b) el domini d'integració és simètric. Per aquesta raó, l'àrea demanada (vegeu la Figura 1) no és nul·la: i tenint en compte el que hem dit és igual a
$\displaystyle \mathcal{A}=2\,\int_{0}^{1}\,x\,dx$
és a dir
$\displaystyle \mathcal{A}=2\,\Big(\dfrac{1}{2} \Big(1^2-(0)^2\Big)=1$

També es pot calcular l'àrea demanada prescindint de l'aparell del càlcul: simplement, cal calcular l'àrea dels triangles acolorits de la Figura 1; per això, n'hi ha prou a fer ús de la geomotria elemental que, com és fàcil veure, correspon a l'àrea d'un quadrat de costat igual a una unitat de longitud i, per tant, $\mathcal{A}=1$

$\square$

Figura 1

[nota del autor]

Un tren sale de una estación con una aceleración de ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un tren surt d'una estació amb una acceleració constant de $0,40 \, \text{m}\,\text{s}^{-2}$. Un passatger arriba a l'andana $6 \, \text{s}$ després que l'extrem final del tren abandonés la posició on ell, ara, es troba. Quina ha de ser la velocitat amb què s'ha de posar a córrer (suposem que ha de ser constant) per tal de poder donar-li abast ?

Solució:
Situem l'origen del sistema de referència en el punt on el passatger arriba a l'estació. Llavors, l'equació de posició del tren (m.r.u.a.) s'escriurà
            $x(t)=\dfrac{1}{2}\,a\,t^2 \quad \quad (1)$
i l'equació que descriu la posició del passatger (m.r.u), des que comença a córrer, és
            $x(t)=v\,(t-6) \quad \quad (2)$
on $v$ és la velocitat mínima del passatger per tal de poder donar-li abast

Considerant la situació en què el passatger dóna abast al tren, igualarem els segons membres de (1) i (2)
            $v_{m}\,(t-6)=\dfrac{1}{2}\,a\,t^2 \quad \quad (3)$
on $v_{m}$ representa la velocitat mínima demanada, ja que, pel cap baix, ha de tenir el mateix valor que el pendent de la recta tangent en el punt d'abcissa $t_{a}$ (punt on el passatger dóna abast al tren) i, doncs, el seu valor per a $t=t_a$
                                            $\bigg(\dfrac{1}{2}\,a\,t^2\bigg)_{t=t_a}^{'}$
ha de ser igual a la derivada de la funció de posició del tren (en el punt $t=t_a$)
és a dir
            $v_{m}=a\,t_{a} \quad \quad (4)$

Substituint aquest valor (4) a l'expressió (3), arribem a l'equació
            $a\,t_{a}\,\,(t_{a}-6)=\dfrac{1}{2}\,a\,t_{a}^2$
d'on obtenim
            $t_{a}=12 \, \text{s}$
i, finalment, posant aquest valor de a (4), trobem que
            $v_{m}=0,40 \cdot 12 \, \text{m}\,\text{s}^{-1}$
                  $=4,8 \, \text{m}\,\text{s}^{-1}$
Si el passatger es mou a velocitats més petites, no podrà donar abast al tren.
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de cálculo con determinantes ... ( Artículo escrito en catalán )

Resolver la siguiente ecuación:

Pueden leer la solución [ aquí ]. $\square$

[nota del autor]

determinante de una matriz cuadrada

A classe, hem introduït la noció de determinant a partir de la troballa d'un mètode pràctic per resoldre un sistema de dues equacions amb dues incògnites – mètode que en la seva generalització a m equacions amb m incògnites es coneix amb el nom de mètode de Cramer – i definint-lo de manera pràctica com el nombre real que resulta de multiplicar els coeficients de la diagonal principal d'una matriu quadrada. Així, si el sistema d'equacions és: a11·x+a12·y = b1 a21·x+a22·y=b2 Recordeu que ho podem posar en forma matricial s'escriu A·X=B on A és la matriu dels coeficients del sistema i B és la matriu columna dels termes independents. Si resolem el sistema pel mètode de substitució podem escriure l'expressió genèrica de la solució (si el sistema és compatible i determinat, és clar) de la manera següent: x = det(A_x)/det(A) y = det(A_y)/det(A) On la matriu Ax és la que resulta de substituir la 1a columna de la matriu A per la columna dels termes independents B, i Ay és la que resulta de substituir 2a 1a columna de la matriu A per la columna dels termes independents B. Aquí entenem per det(A) el nombre a21·a11-a21·a12, per det(Ax) el nombre b1·a21-b2·a12, per det(Ay) el nombre b2·a11-b1·a21. I, en general, entenent pel determinant d'una matriu genèrica M, d'ordre 2x2, això: det(M) = m21·m11-m21·m12. D'aquesta manera podem anar forjant la definició general d'això que entenem per determinant ... Es pot comprovar que el mètode es generalitza pel cas d'un sistema de tres equacions amb tres incògnites: a11x+a12y + a13z = b1 a21x+a22y + a23z = b2 a31x+a32y + a33z = b3 Efectivament, si es torna a repetir el procés de substitució per trobar la solució (suposem que és un sistema compatible i determinat): x = det(A_x)/det(A) y = det(A_y)/det(A) z = det(A_z)/det(A) Ara, però, la matriu dels coeficients A és d'ordre 3x3 i les matrius de les incògnites i dels termes independents són matrius 3x1. El procés de substitució acaba quallant en una regularitat que porta a definir el determinant de les matrius 3x3 de la manera: det(A) = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 – a31·a22·a31 – a12·a21·a33 – a11·a23·a32       (Això és coneix amb el nom de regla de Sarrus ) I, de manera semblant (seguint la mateixa seqüència d'índexs) els determinants de les matrius Ax, Ay, i Az. Això ens empeny a definir el determinant d'una matriu genèrica M d'ordre 3x3 qualsevol de la forma: det(M) = m11·m22·m33 + m12·m23·m31 + m13·m21·m32 – m31·m22·m31 – m12·m21·m33 – m11·m23·m32. Entenem, doncs, el determinant d'una matriu quadrada com una aplicació del conjunt de les matrius quadrades en el conjunt dels nombres reals, amb les propietats que podem veure ressenyades als manuals i llibres de text. Recordeu que les matrius columna com ara X o bé B les interpretem com a vectors d'un espai vectoria V. Per tant, l'expressió A.X = B es pot entendre com una transformació (representada per la matriu dels coeficients A) o aplicació lineal de l'espai vectorial V sobre sí mateix. Pel que fa a l'operació determinant (que ens dóna un escalar) es pot entendre de la manera següent: Definició de determinant d'una matriu quadrada nxn: Donat un espai vectorial V i una matriu A quadrada (n files i n columnes) [aij] que, com és sabut, representa una aplicació lineal de V en V, es defineix el determinant de la matriu A (det A) com l'escalar resultant de l'aplicació del producte cartesià de l'espai vectorial V n vegades per si mateix, Vn, en el conjunt dels nombres reals R   (1) com la suma On representa una de les n! permutacions del conjunt (1,2,3,...,n). El conjunt de les n! permutacions s'anomena grup simètric de (1,2,3,...,n) i es denota Sn. La quantitat (signatura de la permutació) pot prendre tan sols un dels valors {-1,1}: el valor -1 si la permutació es pot descompondre en un nombre senar de transposicions per retornar a l'ordre natural (1,2,...,n), i el valor +1 si el nombre de transposicions necessàries és un nombre parell. Per exemple, la permutació (2,1,3) té signatura igual -1, ja que la permutació conté una sola transposició per tal que (2,1,3) es transformi en (1,2,3) [2->1;1->2]; per això, direm que la signatura d'aquesta permutació és igual a -1. Per contra, la permutació (2,3,1) es descompon en dues transpocions, [2->1;1_>2] i [3->2;2->3], i com que el nombre de transposicions és parell, la signatura de la permutació és igual a +1. Propietat: Regla general per calcular un determinant d'ordre n (desenvolupament de Laplace) Es pot demostrar, a partir de la definició que acabem de donar, que es pot calcular el valor d'un determinant d'ordre n, a partir del desenvolupament per la fila i-èssima tal i com s'indica a continuació [també es pot desenvolupar per una de les columnes/files]:     $\displaystyle \text{det}(A)=\sum_{i=1}^{n}\,a_{ij}\,c_{ij}=\sum_{j=1}^{n}\,a_{ij}\,c_{ij}$ tenint en compte que cij és el cofactor del coeficient aij de la matriu A.     $c_{ij}=(-1)^{i+j}\,m_{ij}$ on $m_{ij}$ és el valor del menor complementari que resulta de suprimir la fila $i$-èssima i la columna $j$-èssima corresponentes a $a_{ij}$ === (1)     Aquests tipus d'operacions es coneixen també amb el nom de formes lineals de Vn, o n forma

[nota del autor]

proposiciones recíproca, inversa y contrarecíproca ... ( Artículo escrito en catalán )

El llenguatge col·loquial, a vegades, ens pot jugar alguna mala passada. L'altre dia vaig escoltar una conversa entre dues persones. Una li deia a l'altra “ (...) així, tots els elefants són mamífers, però la (sic) inversa no es pot pas validar(...)”. De seguida vaig notar alguna cosa que no anava bé en allò que s'estava dient. En arribar a casa, rumiant més acuradament, me'n vaig adonar del que no estava bé. I és que, sovint, es confon la proposició inversa amb la proposició recíproca. De fet, la persona que havia parlat hauria hagut de dir: (...) així, tots els elefants són mamífers, però la recíproca (no pas inversa) no es pot pas validar (...)”, perquè, probablement, estava confonent proposició recíproca amb proposició inversa. Naturalment, la proposició inversa – la inversa de veritat – diria: “tot animal que no sigui un elefant no és un mamífer” que, clarament, no és pas certa; hi una ha infinitat de contra exemples (gossos, gats, dofins, etcètera). Val a dir, però que la proposició contra recíproca sí que és vàlida, però: “tot animal que no sigui mamífer no és un elefant”. Considerem una proposició donada de la forma A implica B la qual entendrem com a "proposició directa". A partir d'aquesta distingirem entre les següents proposicions associades: recíproca: B implica A inversa: no A implica no B contra recíproca: no B implica no A Vegem un altre exemple: Considerem la proposició directa: plou, per tant hi ha núvols (proposició certa, és clar). Associada amb aquesta hi ha tres proposicions més, de les quals, dues no es poden validar: recíproca: hi ha núvols, per tant plou (no es pot validar) inversa: no plou, per tant no hi ha núvols (no es pot validar ) contra recíproca: no hi ha núvols, per tant no plou (és certa) I el terme viceversa ? Per altra banda, aprofito per comentar que, a vegades, i de forma gens apropiada, es fa servir viceversa com a sinònim de inversa o de recíproca en les proposicions condicionals, la qual cosa crea, molt sovint, una nova font de confusió i error, ja que viceversa es refereix a la inversió de l'ordre dels termes (diccionari IEC). Sí que és apropiat el seu ús, per tant, per fer referència als sentits oposats d'una acció, per exemple, "Josep passa la pilota a Marta, i viceversa" (i Marta la passa a Josep). $\square$

[nota del autor]

Rango de una aplicación lineal ... ( Artículo escrito en catalán )

Una aplicació lineal f entre dos espais vectorials (f: U->V) ve representada per una matriu. El rang de l'aplicació lineal és igual al rang d'aquesta matriu associada. El següent exemple/exercici mostra com es pot trobar el rang d'una aplicació lineal donada. Tingueu en compte que el rang d'una matriu es defineix com l'ordre del major menor complementari no nul o, també, com a definició equivalent, el rang és igual al nombre de files no identicament nul·les que queden en esglaonar una matriu (això és així perquè el rang d'una matriu és invariant respecte les combinacions lineals entre files). Vegem doncs, tot seguit, l'exemple que us he preparat: Enunciat: Determineu el rang de l'aplicació lineal de l'espai vectorial R3 sobre l'espai vectorial R2 de tal manera que f(x1,x2,x3) = (x1+x2, 2x1-x3) Resolució: Primer de tot, trobem la matriu M de l'aplicació lineal. Tinguem en compte que (x1,x2,x3) és l'expressió d'un vector de R3 i que (x1+x2, 2x1-x3) és un vector de R2. La matriu M, aplicada sobre el vector de partida representa el producte d'aquesta per un vector 3 x 1, que ha de donar com a resultat un vector 2 x 1; és per això que l'ordre de M ha de ser 2 x 3. Caldrà que es compleixi de la qual cosa se'n desprèn el valor de cada coeficient de la matriu: m11 = 1 m12 = 1 m13 = 0 m21 = 2 m22 = 0 m23 = -1 La matriu dels coeficients de l'aplicació lineal és, per tant, Podem escriure l'aplicació lineal com la següent igualtat matricial: Per determinar el rang de l'aplicació lineal (de la matriu dels coeficients de l'aplicació lineal que acabem d'escriure), mirem si hi ha algun determinant d'ordre 2 (un dels tres majors menors complementaris) que sigui diferent de zero. I, efectivament, en trobem, si més no, un: que té un valor diferent de zero Per tant, atès que almenys un dels menors complementaris d'ordre 2 (el màxim ordre que poden tenir per a la matriu dels coeficients donada) el rang de l'aplicació lineal, és igual a l'ordre d'aquest determinant: 2

[nota del autor]

Encontrar el valor de la suma de ... ( Artículo escrito en catalán )

[nota del autor]

Derivar la función $y=x^x$ ... ( Artículo escrito en catalán )

Extraient logaritmes a cada costat de la igualtat queda
$\displaystyle \ln{f(x)}=h(x)\, \ln{g(x)}$
derivant a cada membre de la igualtat obtenim
$\displaystyle \frac{f^{'}(x)}{f(x)}=h^{'}(x)\,\cdot\,\ln{g(x)} + h(x)\,\cdot\,\dfrac{1}{g(x)}\,\cdot\,g^{'}(x)$
Aïllant, finalment, $f'(x)$, trobem
$\displaystyle f'(x)=f(x)\,\cdot\,\Bigg(h^{'}(x)\,\cdot\,\ln{g(x)} + h(x)\,\cdot\,\dfrac{1}{g(x)}\,\cdot\,g^{'}(x)\Bigg)$
$\square$

Exemple 1
Trobeu la funció derivada de la funció $y=x^x$

===

Extraient logaritmes a cada membre
$\ln{y}=x\,\cdot\,\ln{x}$
Derivant a cada membre
$\dfrac{y^{'}}{y}=1\,\cdot\,\ln{x}+x\,\cdot\,\dfrac{1}{x}$
que, aïllant $y^{'}$, i simplificant
$\displaystyle y^{'}=x^x \, \cdot \, \big(\ln{x}+1\big)$
$\square$

Exemple 2
Demostreu que si $y=x^{k}$, on $k \in \mathbb{R}$, llavors
$y^{'}=k\,\cdot\,x^{k-1}$

===

Extraiem logaritmes a cada membre

$\ln{y}=k\,\ln{x}$

i, derivant (a cada costat de la igualtat), podem escriure

$\dfrac{1}{y}\,\cdot\,y^{'}=k\,\cdot\,\dfrac{1}{x}$

per acabar, aïllem $y^{'}$ del primer membre

$y^{'}=y\,\cdot\,\dfrac{k}{x}$

expressió que, donada la definició de $y$, s'escriu

$y^{'}=x^{k}\,\cdot\,\dfrac{k}{x}$

i, simplificant

$y^{'}=k\,\cdot\, x^{k-1}$

$\square$

[nota del autor]

Analizar la continuidad y la derivabilidad de la función en ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Considereu la següent funció:
$f(x)=\left\{\begin{matrix}(x+1)^3 \quad \text{si} \quad x \le 0\\\\2 \quad \text{si} \quad x=1\\\\-x^2+2 \quad \text{si} \quad x > 0 \; \wedge \; x \neq 1\\ \end{matrix}\right.$

Us demanem:

    a) La representació gràfica de la funció

    b) Localitzeu els punts de discontinuïtat i classifiqueu-los de forma analítica. Digueu de quin tipus de discontinuïtat es tracta. [ Cal que raoneu a partir dels valors dels límits laterals (si existeixen), del límit global (si existeix o no), i del valor de la funció en el punt de discontinuïtat considerat ( si la funció està definida en aquest punt, és clar )]

    c) Calculeu el valor de la derivada de la funció per al punt d'abscissa $x=-1$

    d) Indiqueu per a quins valors de la variable independent la funció no és derivable. Expliqueu per què.

Resolució:
a)   Dibuixem el gràfic (vegeu la Figura 1) d'acord amb la definició (a troços) de la funció; a partir del traç de la paràbola semicúbica $x^3$ (desplaçada una unitat en el sentit negatiu de l'eix d'abscisses), i dibuixant el traç de la funció quadràtica $x^2$ (desplaçada dues nunitats en el sentit positiu de l'eix d'ordenades i invertint-la).
$\square$

Figura 1

b)   La funció presenta una discontinuïtat essencial de primera espècie (en concret, de salt finit) per a $x=0$, atès que el els límits laterals existeixen i tenen valor finit, però no coincideixen
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\,f(x)=1$
i
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\,f(x)=2$
per aquesta raó
$\displaystyle \nexists \lim_{x \rightarrow 0}\,f(x)$

Per altra banda, hi ha una discontinuïtat no essencial (evitable) a $x=1$ perquè per bé que
$\displaystyle \exists \lim_{x \rightarrow 1}\,f(x)$ (i és igual a $1$), el seu valor no és igual al valor de la funció per a $x=1$ (que és igual a $2$)
$\square$

c)   Per a calcular $f^{'}(-1)$, tindrem en compte que [ d'acord amb la definició de la funció ], per a $x=-1$, cal derivar l'expressió del primer tram, que és igual a
$\bigg( (x+1)^3 \bigg)^{'}=3\,(x+1)^2$
Per a $x=-1$ pren el valor
$3\,(-1+1)^2=0$
$\square$

d)   Lògicament, la funció no és derivable en els punts on és discontínua: $x=0$ i $x=-1$. Per altra banda, per a la resta de punts del domini d'existència ( $D = \mathbb{R}$ ), el límit que defineix la derivada existeix (els límits laterals existeixen i coincideixen) i, per tant, la funció és derivable en tots aquests altres punts.
$\square$

[nota del autor]

Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ... ( Artículo escrito en catalán )

Encunciat:
Determineu l'equació de la recta tangent a la corba $f(x)=-x^2+5$ en el punt d'abscissa igual a $2$

Resolució:
Escriurem l'equació de la recta tangent en forma explícita
$\text{r.t.}:\,y=m\,x+k$
Calcularem, doncs, el valor dels coeficients $m$ (pendent) i $k$ (ordenada a l'origen); per això, tindrem en compte: a) el pendent $m$ és igual al valor de la derivada de la funció en el punt P d'abscissa donada (significat geomètric de la derivada), i b) les ordenades de la recta tangent i de la corba han de tenir el mateix valor en el punt de tangència.

a) La funció derivada s'obté fàcilment (regles de derivació):
        $f^{'}(x)=-2\,x$
i en el punt P d'abscissa $x=2$ pren el valor
        $f^{'}(2)=-4$
que ha de correspondre al valor de $m$

b) En el punt P d'abscissa $x=2$ (punt de tangència i, per tant, de contacte de la recta i la corba) l'ordenada de la funció ha de ser igual a l'ordenada de la recta tangent. L'ordenada de P, per la funció $f(x)$, és igual a
        $f(2)=-2^2+5$
                  $=1 \quad \quad \quad \quad \quad (1)$
I, d'acord amb l'equació de la recta, l'ordenada P és igual a
        $2\,m+k$
i, atès que $m=-4$ queda igual a
        $2\,(-4)+k \quad \quad \quad \quad (2)$

Igualant (1) i (2)
        $-8+k = 1$
i, d'aquí, trobem el valor de l'ordenada a l'origen de la recta tangent
        $k = 9$

Finalment, ja podem concretar l''equació de la recta tangent:
        $\text{r.t.}:\,y=-4\,x+9$

$\square$

[nota del autor]