Un ejercicio de aplicación de la integración de las ecuaciones del movimiento en caída libre

ENUNCIADO. Se abandona un cuerpo en caída libre, partiendo del reposo. Se pide:
a) La velocidad al cabo de $2\,\text{s}$
b) La distancia de trayecto recorrida al cabo de $3\,\text{s}$
c) El incremento de velocidad entre los instantes $t=1\,\text{s}$ y $t=3\,\text{s}$

SOLUCIÓN.
a) Denotemos por $x(t)$ la función que proporciona la posición del cuerpo en un instante de tiempo $t$ con respecto al origen del sistema de referencia ( Nota: la elección del origen del sistema de referencia, en reposo, es arbitraria ).

Sabemos que, en un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, $\dfrac{d^2(\,x(t))}{dt^2}=g$ ( donde la constante $g$ denota la aceleración de la gravedad, o lo que es lo mismo, la intensidad del campo gravitatorio ), entonces integrando con respecto de $t$, $\dfrac{d(\,x(t))}{dt} \equiv v(t)=g\,t+C$, siendo $v(t)$ la velocidad en cada instante de tiempo.

Como $v(0)=0$ ( información del enunciado ), tenemos que $0=g\cdot 0 +C \Rightarrow C=0$, con lo cual $$v(t)\equiv \dfrac{d\,(x(t))}{dt}=g\,t$$

b) De lo anterior, se deduce:$$\displaystyle \Delta\,x |_{ t_i \rightarrow t_f } = \int_{t_i}^{t_f}\,\dfrac{d\,(x(t))}{dt}\,dt$$ y por tanto
$$\displaystyle \Delta\,x |_{ 0\,\text{s} \rightarrow 3\,\text{s} } = \int_{0}^{3}\, g\,t\,dt=\left[\dfrac{1}{2}\,g\,t^2\right]_{0}^{3}=\dfrac{9}{2}\,g\;\text{m}\overset{g \approx 9,8\,\text{m}/\text{s}^{2}}{\approx} 44,1 \,\text{m}$$

c) Teniendo pues en cuenta que $$\displaystyle \Delta\,v |_{ t_i \rightarrow t_f } = \int_{t_i}^{t_f}\,\,\dfrac{d^2\,(x(t))}{dt^2}\,dt$$ y que $$\dfrac{d^2\,(x(t))}{dt^2}=g$$ podemos escribir $$\displaystyle \Delta\,v |_{ 1\,\text{s} \rightarrow 3\,\text{s} } = \int_{1}^{3}\,g\,\,dt=\left[g\,t\right]_{1}^{3}=(3-1)\,g=2\,g\;\text{m}/\text{s}=\overset{g \approx 9,8\,\text{m}/\text{s}^{2}}{\approx} 19,6 \,\text{m}/\text{s}$$
$\square$

Un ejercicio de cálculo numérico con DERIVE ... ( Artículo escrito en catalán )

La imatge de sota mostra el codi font [ fet amb DERIVE (tm)] i el resultat gràfic d'un senzill exercici de simulació numèrica d'una òrbita el·líptica (gravitació de Newton) a partir de la integració numèrica de les equacions del moviment emprant l'algorisme d'Euler.

Per entendre-ho millor, us ajudarà força llegir [aquestes explicacions] que, en el seu momento, vaig escriure per ajudar a un alumne.

Integración. Aplicación a la obtención de las ecuaciones del movimiento en un caso sencillo. ( Artículo escrito en catalán ).

Integració de l'equació de l'acceleració

Enunciat:
Considereu que la funció $a(t)=t+1$ ( $t$ designa la variable temps ) descriu l'acceleració instantània d'una partícula en un moviment unidimensional i rectilini (al llarg de l'eix $\text{Ox}$). Sabent que a l'instant $t=1 \; \text{s}$, la posició $s$ és igual a $2 \, \text{m}$ (respecte de l'origen), i que, en aquest mateix instant de temps, la velocitat de la partícula és igual a $-1 \;\; \text{m}\,\text{s}^{-1}$, determineu:
    a) la funció que dóna la velocitat en cada instant de temps $v(t)$
            [la funció acceleració instanània $v(t)$ és la funció derivada de la funció velocitat instantània $v(t)$]
    b) la funció que dóna la posició en cada instant de temps $x(t)$
            [la funció velocitat instantània $v(t)$ és la funció derivada de la funció de posició $x(t)$]
    c) els valors de la posició, la velocitat, i l'acceleració per a $t=0 \, \text{s}$

Resolució:

a)     Trobem la funció velocitat a partir de la integral indefinida de la funció acceleració

Per això, cal resodre la integral indefinida

$\displaystyle v(t)=\int \,a(t)\,dt$

de la qual obtenim la família de funcions primitives de $a(t)$

$\{\dfrac{1}{2}\,t^2+t+C\}$

i, d'aquestes, determinarem la f. primitiva que satisfà la condició de l'enunciat: $v(1 \; \text{s})=-1 \; \text{m}\,\text{s}^{-1}$

a partir de la qual, calcularem el valor de la constant d'integració $C$

$-1=\dfrac{1}{2}+1+C$

i, aïllant $C$, trobem

$C=-\dfrac{5}{2} \; \text{m}\,\text{s}^{-1}$

Per tant, deduïm que

$v(t)=\dfrac{1}{2}\,t^2+t-\dfrac{5}{2}$

$\square$


b)     Per determinar la funció de posició $x(t)$ cal resoldre el problema de la integral indefinida de la funció $v(t)$; és a dir,

$\displaystyle \int \,v(t)\,dt$

que, com és ben sabut, és igual a una família de funcions primitives $\{x(t)+D\}$     (on $D$ representa la constant d'integració )

Integrant, trobem fàcilment

$\displaystyle \int \, \big(\dfrac{1}{2}\,t^2+t-\dfrac{5}{2} \big) \, dt = \dfrac{1}{6}\,t^3 - \dfrac{1}{2}\,t^2 - \dfrac{5}{2}\,t + D \quad \quad \quad (1)$

I, imposant la condició inicial $x(1 \; \text{s})=2 \; \text{m}$, determinem el valor de la constant d'integració: $D$

$D=2-\bigg( \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{2}\bigg)$

és a dir

$D=\ldots=\dfrac{23}{6} \; \text{m}$

I, finalment, substituint aquest valor en (1) podem concretar la funció de posició

$x(t)=\dfrac{1}{6}\,t^3 + \dfrac{1}{2}\,t^2 - \dfrac{5}{2}\,t + \dfrac{23}{6}$

c)     Substituint aquest valor de la variable temps a les funcions corresponents obtenim:

      $x(0)=\ldots=\dfrac{23}{6} \; \text{m}$ (la coordenada de posició es pot expressar com la distància a l'origen de coordenades)

      $v(0)=\ldots=-\dfrac{5}{2} \; \text{m}\;\text{s}^{-1}$

      $a(0)=\ldots=1 \; \text{m}\;\text{s}^{-2}$

$\square$

[nota del autor]