ALGO DE TEORÍA:
Veamos lo que nos dice la teoría: Una ecuación diofántica lineal del tipo ax+by=c tiene solución si y sólo si d:=\text{m.c.d.}(a,b) es divisor del término independiente c ( que notamos de la forma d|c ); y, teniendo solución dicha ecuación, se demuestra que hay infinitos pares de valores (x,y) que satisfacen dicha ecuación. Encontramos las infinitas soluciones ( solución general ) encontrando, primero, una solución particular (x_1,y_1), y, a continuación, la solución general, que es de la forma
\left\{\begin{matrix} x=x_1+\lambda\,\dfrac{b}{d} & \\ \\ y=y_1-\lambda\,\dfrac{a}{d} & \\ \end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}
Vamos, ahora, a exponer un ejemplo.
ENUNCIADO:
Sea la ecuación diofántica lineal 6x+50y=108. ¿ Tiene solución ? En caso afirmativo, ¿ cómo son los infinitos pares de valores enteros (x,y) ?
SOLUCIÓN:
Observemos que a=6, b=50 y c=108. Como el máximo común divisor de a y b, d:=\text{m.c.d.}(6,50)=2, es divisor del término independiente c=108, esto es 2 | 108, podemos afirmar que la ecuación tiene solución en \mathbb{Z} y que ésta consta de infinitos pares de números enteros (x,y), que vamos a ver cómo son a continuación.
Encontremos, para empezar, una solución particular de la ecuación dada. Para ello, determinaremos primero una solución particular de la ecuación ax+by=d ( identidad de Bézout ) y, de ésta, encontraremos la solución particular de la que buscamos.
La identidad de Bézout, en este caso, es 6x+50y=2. Así, por ejemplo, (-8,1) cumple dicha igualdad; en efecto, 6(-8)+50\cdot 1 = 2 (1). Y, como el término independiente, 108, de la ecuación pedida se obtiene multiplicando el de la identidad de Bézout, 2, por 108/2=54, mutiplicaremos ambos miembros de (1) por 54 para obtener 6\cdot (-8)\cdot 54+50\cdot 1 \cdot 54 = 2 \cdot 54
con lo cual 6 \cdot \underset{x_1}{\underbrace{\left((-8)\cdot 54\right)}}+50 \cdot \underset{y_1}{\underbrace{\left( 1 \cdot 54 \right)}}= 108
es decir 6 \cdot \underset{x_1}{\underbrace{(-432)}}+50 \cdot \underset{y_1}{\underbrace{54}}= 108
luego una solución particular es (-432,54)
Y, finalmente, construyendo la solución general, llegamos a \left\{\begin{matrix}
x=-432+\lambda\,\dfrac{50}{2} & \\
\\
y=54-\lambda\,\dfrac{6}{2} & \\
\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}
es decir
\left\{\begin{matrix} x=-432+25\,\lambda \\ \\ y=54-3\,\lambda \\ \end{matrix}\right. \quad \quad \forall \lambda \in \mathbb{Z}
Ahora, dando valores ( enteros ) arbitrarios al parámetro \lambda podemos encontrar cualesquiera de los pares de números enteros (x,y) ( hay infinitos ) que constituyen la solución general; así, por ejemplo, para \lambda = 4, encontramos (-332,42), etcetera.
\square
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