fórmulas de Euler y de De Moivre ... ( artículo escrito en catalán )

Aquest escrit pot ser d'utilitat als alumnes de batxillerat que desitgin una ampliació de continguts. Cal haver treballat el tema introductori sobre nombres complexos i també les nocions de càlcul (anàlisi de funcions) necessàries per entendre la noció de desenvolupament d'una funció contínua i derivable en sèrie de potències.

Comencem. Donat un nombre complex $z=a+ib$, de mòdul $r$ i angle polar (fase) $\theta$, podem escrire-la també de la forma $z=r\,(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$, coneguda com expressió trigonomètrica del nombre complex $z$. A partir d'aquesta expressió, justificarem a continuació que $z$ es pot expressar de la forma $z=r\,e^{i\,\theta}$, coneguda com a fórmula d'Euler [que és molt útil per calcular productes i quocients de nombres complexos]. A partir d'aquest resultat, justificarem la fórmula de De Moivre: $z^n=r^{n}\,\big(\cos{(n\,\theta)}+i\,\sin{(n\,\theta)}\big)$ que es pot fer servir per determinar la potència d'un nombre complex i també per calcular les solucions del radical d'un nombre complex [Es pot demostrar que $\sqrt[n]{z}$ ( on $z \in \mathbb{C}$ ) té $n$ solucions complexes].

Fent el desenvolupament de Taylor en sèrie de potències la funció $\sin{\theta}$ al voltant de $x=0$ podem escriure $\sin{\theta}=0+\dfrac{x}{1!}-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\ldots$. I, fent el mateix amb la funció $\cos{\theta}$ trobem $\cos{\theta}=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\dfrac{x^8}{8!}-\ldots$

Si efectuem, ara, l'operació $\cos{\theta}+i\,\sin{\theta}$ a partir dels desenvolupaments de Taylor del paràgraf anterior veiem que és iugal a
$(1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\ldots)+i\,(\dfrac{x}{1!}-\dfrac{x^3}{3!}+\ldots)$

Per altra banda, si fem el desenvolupament en sèrie de Taylor de la funció $e^z$ al voltant de $z=0$ s'obté $1+z+\dfrac{z^2}{2!}+\dfrac{z^3}{3!}+\dfrac{z^4}{4!}+\ldots$. Si substituïm $z$ per $i\,x$ queda $1+i\,x-\dfrac{x^2}{2!}-i\,\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\ldots$; i si separem la part real de la imaginària, ens adonem que aquesta expressió es pot escriure també així
$(1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\ldots)+i\,(\dfrac{x}{1!}-\dfrac{x^3}{3!}+\ldots)$ que coincideix amb del desenvolupament de $\cos{\theta}+i\,\sin{\theta}$. Per tant, concloem que $e^{i\,\theta}=\cos{\theta}+i\,\sin{\theta}$ i, doncs, que $z$ - que és igual a $r\,(\cos{\theta}+i\,\sin{\theta})$ - es pot escriure de la forma $z=r\,e^{i\,\theta}$ (fórmula d'Euler).

I, a partir de la fórmula anterior, fent la potència d'exponent $n$ d'ambdós membres de la igualtat anterior podem escriure la igualtat $z^n=r^n\,e^{i\,n\,\theta}$ que, lògicament, per to el que s'ha dit anteriorment, es podrà escriure també de la forma $z^n=r^{n}\,\big(\cos{(n\,\theta)}+i\,\sin{(n\,\theta)}\big)$ (fórmula de De Moivre).
$\square$

[nota del autor]