Una integral indefinida muy sencilla ...

Sebemos que $\int\,k\,dx = k\,x + C$, donde $k$ es una constante y $C$ es la correspondiente constante de integración. Voy a justificarlo:

$$\int\,k\,dx =\int\,d(k\,x)=k\,x+C$$

$\diamond$

Ejercicio de integración bastante completo en cuanto a técnicas y teoremas empleados

Calculemos la integral definida $$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\,\sqrt{1-x^2}\,dx$$

Calculo en primer lugar la familia de primitivas de la integral indefinida $\displaystyle \int\,\sqrt{1-x^2}\,dx$. Para ello, parece apropiado el siguiente cambio de variable: $x=\sin\,\theta$; de este modo, $dx=(\sin\,\theta)_{\theta}^{'}\,d\theta=\cos\,\theta\, d\theta$. Con lo cual, $\int\,\sqrt{1-x^2}\,dx=\int\,\sqrt{1-\sin^2\,\theta}\,\cos\,\theta\,d\theta=\int\,\cos\,\theta\cdot \cos\, \theta\,d\theta$, integral que se brinda a ser resulta por la técnica de por partes.

Designando $u=\cos\,\theta$, y por tanto, $du=(\cos\,\theta)_{\theta}^{'}=-\sin\,\theta\,d\theta$ y $dv=\cos\,\theta\,d\theta$, lo que nos lleva a $v=\int\,\cos\,\theta\,d\theta=\sin\,\theta$, por la propiedad $\int\,u\,dv=uv-v\,\int\,du$, podemos escribir nuestra integral de la forma $\int\,\cos\,\theta\cdot \cos\, \theta\,d\theta=\sin\,\theta \cdot \cos\,\theta-\int\,\sin\,\theta\cdot (-\sin\,\theta)\,d\theta=\sin\,\theta\cdot\cos\,\theta+\int\,\sin^2\,\theta\,d\theta=$
  $=\sin\,\theta\cdot\cos\,\theta+\int\,(1-\cos^2\,\theta)\,d\theta \therefore \int\,\cos\,\theta\cdot \cos\, \theta\,d\theta=\int\,\cos^2\,\theta\,d\theta=\sin\,\theta\cdot\cos\,\theta+\int\,d\,\theta-\int\,\cos^2\,\theta\,d\theta\Rightarrow$
  $\Rightarrow 2\,\int\,cos^ 2\,\theta\,d\theta=\sin\,\theta\cdot \cos\,\theta+\theta \therefore \int\,\cos\,\theta\cdot \cos\,\theta\,d\theta=\dfrac{1}{2}\,\left(\theta+ \sin\,\theta\cdot \cos\,\theta\right)=\dfrac{1}{2}\,\left(\theta+ \sin\,\theta\cdot \sqrt{1-\sin^2\,\theta}\right)$. Por consiguiente, la familia de primitivas es:
  $F(x)=\dfrac{1}{2}\,\left(\text{arcsin}\,x+ x\,\sqrt{1-x^2}\right)+C \because \sin\,\theta=x \Rightarrow x=\text{arcsin}\,\theta$, siendo $C$ la constante de integración.

Finalmente, aplico el segundo teorema del cálculo integral (regla de Barrow), tomando cualquier valor para la constante de integración, por ejemplo, $C=0$:
  $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\,\sqrt{1-x^2}\,dx=F(\frac{\pi}{4})-F(0)=\dfrac{1}{2}\,\left(\text{arcsin}\,(\frac{\pi}{4})+ \frac{\pi}{4}\cdot \sqrt{1-(\frac{\pi}{4})^2}\right)-\dfrac{1}{2}\,\underset{0}{\underbrace{\left(\text{arcsin}\,0+ 0\cdot \sqrt{1-0^2}\right)}}=$
    $=\dfrac{1}{2}\,\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\pi}{4}\cdot \sqrt{1-(\frac{\pi}{4})^2}\right)=\dfrac{1}{2}\,\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\pi}{16}\cdot \sqrt{16-\pi^2}\right)=\dfrac{1}{4}\,\left(\sqrt{2}+\dfrac{\pi}{8}\cdot \sqrt{(4+\pi)(4-\pi)}\right)\,\diamond$

Un ejercicio de cálculo de primitivas

Se nos pide que resolvamos la siguiente integral indefinida: $$\displaystyle \int\,2x^2\,e^{-x^3}\,dx$$

Que no cunda el pánico. Observemos que la derivada de $e^{-x^3}$ es $-3\,x^2\,e^{-x^2}$, y por tanto $d(e^{-x^3})=-3\,x^2\,e^{-x^2}\,dx$. Démonos cuenta de que delante del diferencial de la variable de integración, $dx$, ya está —casi— lo que tenemos en la función integrando; faltará hacer algún que otro ajuste. Vamos a ello:
$\displaystyle \int\,2x^2\,e^{-x^3}\,dx=$
  $\displaystyle =2\,\int\,x^2\,e^{-x^3}\,dx$
    $\displaystyle =2\,\int\,-\dfrac{1}{3}d\left(e^{-x^3}\right)\,dx$
      $\displaystyle =-\dfrac{2}{3}\,\int\,d\left(e^{-x^3}\right)\,dx$
        $\displaystyle =-\dfrac{2}{3}\,e^{-x^3}+C\,,\,\,\forall\,C\in \mathbb{R}.\diamond$

Cálculo de integrales indefinidas por medio de cambios de variable

Calculemos la integral indefinida $\displaystyle \int\,\ln\,\left( \dfrac{p}{q+rx} \right)\,dx$, siendo $p,q,r \in \mathbb{R}^+$. Ayuda: Como es sabido por un resultado anterior, aplicando el método de integración por partes, se sugiere utilizar $\int\,\ln(t)\,dt=t\,(\ln(t)-1)+C$.

Transformemos (de manera equivalente) la función del integrando para poder aplicar el resultado conocido: $\displaystyle I:=\int\,\ln\,\left( \dfrac{p}{q+rx} \right)\,dx= \int\,\ln\,\left( \dfrac{p/p}{q/p+(r/p)\,x} \right)\,dx=\int\,\ln\,\left( \dfrac{1}{q/p+(r/p)\,x} \right)\,dx=$
$=\displaystyle \int\,\left( \ln(1)-\ln\,(q/p+(r/p)\,x) \right)\,dx=\int\,\ln(1)\,dx-\int\,\ln\,(q/p+(r/p)\,x)\,dx=$
$=\int\,0\,dx-\int\,\ln\,(q/p+(r/p)\,x)\,dx=0-\int\,\ln\,(q/p+(r/p)\,x)\,dx=-\int\,\ln\,(q/p+(r/p)\,x)\,dx$

Mediante el cambio de variable $t:=\dfrac{q}{p}+\dfrac{r}{p}\,x$ se tiene que $dt=\dfrac{r}{p}\,dx$ y por tanto $dx=\dfrac{p}{r}\,dt$, con lo cual $\displaystyle I=-\int\,\dfrac{p}{r}\,\ln(t)\,dt=-\dfrac{p}{r}\,t\,(\ln(t)-1)+C$; y, deshaciendo el cambio de variable: $$I=-\dfrac{p}{r}\,\left[ \dfrac{q+rx}{p} \, \left( \ln\,\left(\dfrac{q+rx}{p}\right) -1 \right) \right] +C = \dfrac{1}{r}\,(q+r\,x)\,\left[ \ln\,\left( \dfrac{p}{q+rx} \right) +1 \right]+C\,.\diamond$$

Cálculo de integrales definidas

Calculemos la integral definida $\displaystyle \int_{6}^{12}\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx$.

Por el primer teorema fundamental del cálculo (TFC1), sabemos que $\displaystyle \int\,f(x)\,dx=F(x)+C$ de tal manera que $(F(x)+C)'=f(x)$. En primer lugar, por tanto, vamos a calcular una función primitiva, $F(x)$, de la familia de primitivas $F(x)+C$ que corresponde a la solución de la integral indefinida $\displaystyle \int\,f(x)\,dx$, donde en este caso concreto que nos ocupa $f(x)=\dfrac{3}{3+2x}$ es la función integrando; y, finalmente aplicaremos el segundo teorema fundamental del cálculo (TFC2), también conocido como regla de Barrow: $\displaystyle \int_{6}^{12}\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx=F(12)-F(6)$, tomando una función cualquiera de la familia de primitivas (eligiendo cualquier valor de la constante de integración $C$).

Cálculo de la familia de primitivas: $I:=\displaystyle \int\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx=\int\,\dfrac{3/3}{3/3+(2/3)\,x}\,dx=\int\,\dfrac{1}{1+(2/3)\,x}\,dx$. Sabemos que $\displaystyle \int\,\dfrac{1}{t}\,dt=\ln\,t+C$, así que, mediante el cambio de variable $t:=1+(2/3)\,x$ se tiene que $dt=\dfrac{2}{3}\,dx$, luego $dx=\dfrac{3}{2}\,dt$, con lo cual $I=\displaystyle \int\,(3/2)\,\dfrac{dt}{t}=\dfrac{3}{2}\,\int\,\dfrac{dt}{t}=\dfrac{3}{2}\,\ln\,t+C$. Y deshaciendo el cambio de variable, $I=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(1+(2/3)\,x)+C$. Una función primitiva es, por ejemplo, $F(x):=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(1+(2/3)\,x)$, donde, por comodidad, hemos elegido arbitrariamente el valor cero para la constante de integración (cualquier otro valor de la constante de integración lleva al mismo resultado de la integral definida).

A continuación, según TFC2, llegamos finalmente a: $\displaystyle \int_{6}^{12}\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx=\left[\dfrac{3}{2}\,\ln\,(1+(2/3)\right]_{6}^{12}=\displaystyle \dfrac{3}{2}\,\left( \ln\,(1+\dfrac{2}{3}\cdot 12) - \ln\,(1+\dfrac{2}{3}\cdot 6 \right)=\dfrac{3}{2}\,\left(\ln(9)-\ln(5)\right)=\dfrac{3}{2}\,\ln\,\left(\dfrac{9}{5}\right)$.

---

Nota: De una manera más directa, $$\displaystyle \int_{6}^{12}\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx=\int_{5}^{9}\,\dfrac{3}{2}\,\dfrac{1}{t}\,dt= \displaystyle \dfrac{3}{2}\,\left[\,\ln\,t\,\right]_{5}^{9}=\dfrac{3}{2}\,\left(\ln(9)-\ln(5)\right)=\dfrac{3}{2}\,\ln\,\dfrac{9}{5}.\, \diamond$$

Un ejercicio de cálculo de integrales indefinidas ( cálculo de primitivas )

ENUNCIADO. Calcúlense las siguientes integrales indefinidas:
a) $\displaystyle \int\,x\,e^{-x^2}\,dx$
b) $\displaystyle \int\,x\,e^{-x}\,dx$

SOLUCIÓN.
a)
$\displaystyle \int\,x\,e^{-x^2}\,dx=$
  $=\displaystyle \int\,-\dfrac{1}{2}\,d(e^{-x^2})\,dx$, habida cuenta de que $\left( e^{-x^2} \right)'=e^{-x^2}\cdot (-x^2)'=-2x\,e^{-x^2}$
    $=-\dfrac{1}{2}\,e^{-x^2}+C$

b)
$\displaystyle \int\,x\,e^{-x}\,dx=$ ( Inegrando por partes: $u=x \Rightarrow dx=du$, $e^{-x}\,dx=dv \rightarrow v=-e^{-x} \rightarrow \int\,udv=uv -\int\,vdu$ )
  $=\displaystyle=-x\,e^{-x}-\int\,(-e^{-x})\,dx$
    $=-x\,e^{-x}-e^{-x}+C$
      $=-e^{-x}\,(x+1)+C$

$\square$

Ejercicios de integración

ENUNCIADO.
I) Calcular las siguientes integrales indefinidas:
a) $\displaystyle \int \,\dfrac{dx}{x^2+4}$       b) $\displaystyle \int\,x\,e^x\,dx$
II) Calcular la integral definida $\displaystyle \int_{-1}^{1}\,(2x-5)^5\,dx$

SOLUCIÓN.
I.a)
Esta integral es semi inmediata, pues es sabido que $\displaystyle \int \,\dfrac{dx}{x^2+1}=\arctan\,x+C$; así que basta con hacer unos arreglos para calcular la familia de primitivas que corresponde a la función del integrando:
$\displaystyle \int \,\dfrac{dx}{x^2+4}=\dfrac{1}{4}\,\int \,\dfrac{dx}{x^{2}/4+4/4}=\dfrac{1}{4}\,\int \,\dfrac{dx}{(x/2)^2+1}\overset{(1)}{=} \dfrac{1}{4}\,\int \,\dfrac{2\,dt}{t^2+1}=\dfrac{1}{2}\,\int \,\dfrac{dt}{t^2+1}=$
  $=\arctan\,t+C\overset{(2)}{=} \dfrac{1}{2}\,\arctan\,\dfrac{x}{2}+C$

(1) cambio de variable: si $t:=x/2$, $dx=2\,dt$
(2) deshaciendo el cambio de variable

I.b)
La función del integrando, $x\,e^x$, es el producto de dos funciones de distinta naturaleza, por lo que emplearemos el método de integración por partes: $$\int\,u\,dv = u\,v-\int\,v\,du$$ Designando $u:=x$, con lo cual $dx=du$, y, $e^x\,dx=dv$ y por tanto $v=\int\,e^x\,dx=e^x$. Así, podemos escribir $$\displaystyle \int\,x\,e^x\,dx=x\,e^x-\int\,e^x\,dx$$ e integrando fácilmente el segundo término del segundo miembro, encontramos finalmente $$\displaystyle \int\,x\,e^x\,dx=x\,e^x-e^x+C=e^x\,(x-1)+C$$

II) Mediante un sencillo cambio de variable, $t:=2x-5$ ( y por tanto $dx=\dfrac{1}{2}\,dt$ ), teniendo en cuenta la integral indefinida inmediata $\int\,t^n\,dt=\dfrac{1}{n+1}\,t^{n+1}+C$, vemos que una primitiva de $f(x)=(2x-5)^5$ es $F(x)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{6}\,(2x-5)^6$, luego por la regla de Barrow, $\displaystyle \int_{-1}^{1}\,(2x-5)^5\,dx=F(1)-F(-1)=\dfrac{1}{12}\,\left( (2\cdot 1-3)^6-(2\cdot (-1)-3)^6\right)=$
  $=\dfrac{1}{12}\,(1-5^6)=-1302$
$\square$

Aplicaciones del cálculo integral

Enunciado:
Una sustancia se diluye en un líquido contenido en un recipiente a un ritmo que viene expresado por la función $f(t)=e^{0'001\,t}$. Los valores de dicha función se expresan en gramos/hora y los valores de $t$ en horas ( h ). Se pide:
  a) ¿ Qué cantidad de dicha sustancia se ha introducido desde $t=1\,\text{h}$ hasta $t=4\,\text{h}$ ?
  b) ¿ En qué unidades se expresa la constante que figura en el exponente ?

Resolución:

a)
Siendo $f(t)$ la función que expresa la cantidad de sustancia diluida por unidad de tiempo, la cantidad de sustancia diluida en un instante de tiempo $t$ viene dada por la familia de primitivas de $f(t)$, esto es, por el conjunto de funciones $F(t)+C$, donde $(F(t)+C)'=f(t)$ ( Primer Teorema Fundamental del Cálculo ), en otras palabras, por $\displaystyle \int\,f(t)\,dt=\int e^{0'001\,t}\,dt$, es decir, $F(t)=\dfrac{1}{0,001}\,e^{0,001\,t}+C$, donde $C$ es la constante de integración.


Entonces, como en el instante inicial la cantidad de sustancia en el líquido es nula, $F(0)=0$, podemos escribir que $\dfrac{1}{0,001}\,e^{0,001\cdot 0}+C=0 \Rightarrow \dfrac{1}{0,001}+C=0 \Rightarrow C=-\dfrac{1}{0,001}$ con lo cual hemos fijado la constante de integración de acuerdo con la condición inicial del proceso, y, por tanto, la función que describe la cantidad de sustancia, dada dicha condición inicial, es $F(t)=\dfrac{1}{0,001}\,e^{0,001\, t}-\dfrac{1}{0,001}\,$, que, expresada de forma más compacta, es $F(t)=\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\, t}-1\big)$.


La cantidad de sustancia diluida en el líquido que contiene el recipiente en el instante $t=4 \, \text{h}$ es $F(4)=\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\cdot 4}-1\big)$ y la cantidad de sustancia en $t=1\,\text{h}$ es $F(1)=\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\cdot 1}-1\big)$, luego entre un instante y otro la cantidad de dicha sustancia viene dada por $F(4)-F(1)=\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\cdot 4}-1\big)-\dfrac{1}{0,001}\,\big( e^{0,001\cdot 1}-1\big)$, y, simplificando, obtenemos $F(4)-F(1)=\dfrac{1}{0,001}\,\big(e^{0,001\cdot 4} -e^{0,001\cdot 1}\big)\approx 3,008 \,\text{g}$

Nota: Podemos llegar al mismo resultado con más brevedad calculando directamente el valor de la integral definida ( Segundo Teorema Fundamental del Cálculo ) de la función $f(t)$ integrada entre $t=1$ y $t=4$ tal como sigue $\displaystyle \int_{1}^{4}\,e^{0'001\,t}\,dt=\left[ \dfrac{1}{0,001}\,e^{0,001\cdot t} \right]_{1}^{4}=\dfrac{1}{0,001}\,\big(e^{0,001\cdot 4} -e^{0,001\cdot 1}\big)\approx 3,008 \,\text{g}$

b)
Veamos, ahora, cuáles son las unidades en las que se expresa la constante del exponente ( al que denotamos por $\tau$ y cuyo valor es $0,001$ ). Como la cantidad del exponente de $\tau \cdot t$, debe ser adimensional, $[\tau]=[T]^{-1}$, luego las unidades de $\tau$ son $\text{h}^{-1}$, o lo que es lo mismo, $1/h$ es decir, $\tau = 0,001 \, \text{h}^{-1}$

$\square$

Integración por partes

ENUNCIADO. Calcular la familia de primitivas asociada a la función $f(t)=\ln\,t$

SOLUCIÓN. $\displaystyle I:=\int\,\ln\,t\,dt \overset{(1)}{=}t\,\ln\,t-\int\,t\cdot \dfrac{1}{t}\,dx=$
$=t\,\ln\,t-t+C=t\,(\ln\,t-1)+C$

--- (1) Nota: Integrando por el método de por partes, que, como es sabido, nos da el siguiente resultado: $\displaystyle \int\,u\,dv = u\,v-\int\,v\,du$
    En este problema designamos $u:=\ln\,t$ con lo cual $du = \dfrac{1}{t}\,dt$
    y $dv:=dt$ y por tanto $v=t$

$\diamond$

Integral indefinida. Cálculo de primitivas de funciones trigonométricas.

ENUNCIADO. Calcular la integral indefinida $$\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{\sin\,x}$$

SOLUCIÓN. Efectuemos el cambio de variable $t=\tan\,\dfrac{x}{2}$, con lo cual $x=2\,\arctan\,t$ y por tanto $$dx=\,2\,\arctan\,\dfrac{1}{1+t^2}\,dt$$ Por otra parte, por la identidad trigonométrica $$\sin\,x=2\,\sin\,\dfrac{x}{2}\cos\,\dfrac{x}{2}$$ y teniendo en cuenta también la identidad fundamental de la trigonometría, $\sin^2\,\dfrac{x}{2}+\cos^2\,\dfrac{x}{2}=1$, podemos escribir $$\sin\,x=2\,\dfrac{\sin\,\dfrac{x}{2}\cos\,\dfrac{x}{2}}{\sin^2\,\dfrac{x}{2}+\cos^2\,\dfrac{x}{2}}$$ y dividiendo numerador y denominador por $\cos^2\,\dfrac{x}{2}$ y teniendo en cuenta que $\tan\,\dfrac{x}{2}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\sin\,(x/2)}{\cos\,(x/2)}$, nos queda que $$\sin\,x=2\,\dfrac{\tan\,\dfrac{x}{2}}{1+\tan^2}$$ esto es $$\sin\,x=2\,\dfrac{t}{1+t^2}$$ Así pues, la integral pedida puede escribirse de la forma $$\displaystyle \int\,\frac{\frac{2}{1+t^2}}{\frac{2\,t}{1+t^2}}\,dt=\int\,\dfrac{dt}{t}=\ln\,t+C_1$$ y deshaciendo el cambio de variable, llegamos a $$\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{\sin\,x} = \ln\,\left(\left|\tan\,\dfrac{x}{2}\right|\right)+C$$
$\square$

Cálculo de primitivas de funciones trigonométricas

Integrales indefinidas. Cálculo de primitivas de funciones racionales.

Desde la boca de un pozo, se lanza una piedra y se cronometra el tiempo que tarda en chocar contra la superficie del agua del fondo

ENUNCIADO
Desde la boca de un pozo, se lanza una piedra y se cronometra el tiempo que tarda en chocar contra la superficie del agua del fondo, que resulta ser $2 \, s$. Teniendo en cuenta que el movimiento en caída libre se caracteriza por ser la velocidad proporcional al tiempo en todo instante de tiempo, $ v(t) \propto t$, siendo el valor aproximado de la constante de proporcionalidad ( en la superficie de la Tierra ) de $g=9,8 \, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$, calcúlese la profundidad del pozo ( la distancia entre la boca y la superficie del agua del fondo ), despreciando el tiempo que tarda la onda sonora del choque en recorrer la longitud del pozo.

SOLUCIÓN
Teniendo en cuenta que $v(t) = g\,t$, y que la función $v(t)$ es la función derivada de la función de posición de la piedra ( tomando como referencia la boca del pozo ) con respecto a la variable tiempo, $t$, podemos escribir ( empleando la notación de Leibniz ) que $$\dfrac{dx}{dt}=g\,t$$
y por tanto
$$dx=g\,t\,dt$$
con lo cual, integrando en cada miembro de la igualdad,
$$\int\,dx=g\,\int\,t\,dt$$
es decir
$$x(t)=\dfrac{1}{2}\,g\,t^2+C$$
pero como $x(0)=0$, resulta que $C=0$; así
$$x(t)=\dfrac{1}{2}\,g\,t^2$$
Utilizando, ahora, la información sobre el tiempo de caída, obtenemos la profundidad del pozo:
$$x(5)=\dfrac{1}{2}\cdot 9,8 \cdot 2^2 \approx 20 \, \text{m}$$
$\square$

[nota del autor]

Dada la función $f(x)=\dfrac{x}{x^2-4}+\dfrac{\ln{(x+1)}}{x+1}$, se pide ...

ENUNCIADO
Dada la función $$f(x)=\dfrac{x}{x^2-4}+\dfrac{\ln{(x+1)}}{x+1}$$ se pide:
a) Determinar el dominio de $f$ y sus asíntotas
b) Calcular la recta tangente a la gráfica de la función $y=f(x)$ en $x=0$
c) Calcular $\int \,f(x)\,dx$

[ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN:
(a)
Dominio de definición de $f$
  El logaritmo sólo está definido para valores positivos de su argumento, luego $x+1 \succ 0$ y, por tanto, $x$ debe ser mayor que $-1$; por otra parte, el primer término de la función anula su denominador para $x=\pm2$, y por tanto, la función no está definida, para $x=2$ ( y, tapoco tampoco para $x=-2$, pero al ser este valor menor que $-1$, no será considerado, por no pertenecer al intervalo de definición del logaritmo neperiano ( segundo término ). Así, pues, $D_f=\mathbb{R} \supset (-1\,,\,+\infty)\setminus\{2\}$

Asíntotas verticales:
  Observemos que la función toma valores negativos para valores de $x$ comprendidos entre $-1$ y $2$; y, positivos para valores de $x$ mayores que $2$, así que, al realizar los siguientes límites encontramos: $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{+}}\,f(x)=+\infty$, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^{-}}\,f(x)=-\infty$; y, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\,f(x)=-\infty$, luego hay dos asíntotas verticales: $\text{a.v.}_{1}:\,x=-1$ y $\text{a.v.}_{2}:\,x=2$

Asíntotas oblícuas ( incluidas las de pendiente nula, es decir las horizontales ):
  La ecuación de una función lineal afín ( de una recta asíntota oblícua ) se escribe de la forma explícita $a.o.:\,y=mx+k$. Veamos, primero, el valor de $m$; por definición, $m=\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm\infty} \,f'(x)=\lim_{x \rightarrow \pm\infty} \,\dfrac{f(x)}{x}$. Observemos que, en nuestro caso, no tiene sentido hallar el límite cuando $x \rightarrow -\infty$ ya que la función no está definida para valores menores que $-1$, por tanto, sólo halleremos el límite para $x \rightarrow +\infty$. Por otra parte, notemos que $\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{1}{x^2-4}+\dfrac{\ln{(x+1)}}{x(x+1)}$, con lo cual, y, teniendo en cuenta que $ \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{1}{x^2-4}+\dfrac{\ln{(x+1)}}{x(x+1)}$, vemos que $$\displaystyle m=\lim_{x \rightarrow +\infty}\,\left(\dfrac{1}{x^2-4}+\dfrac{\ln{(x+1)}}{x(x+1)}\right)=\lim_{x \rightarrow +\infty}\,\left(\dfrac{1}{x^2-4}\right)+\lim_{x \rightarrow +\infty}\,\left(\dfrac{\ln{(x+1)}}{x(x+1)}\right)$$ El primer límite es, evidentemente, $0$ ( por ser el numerador una constante y el denominador un polinomio de grado mayor que cero ), mientras que el segundo puede calcularse empleando la regla de L'Hôpital, pues nos encontramos una indeterminación del tipo $\dfrac{\infty}{\infty}$ al pasar el límite; por tanto
$\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}\,\left(\dfrac{\ln{(x+1)}}{x(x+1)}\right)=\lim_{x \rightarrow +\infty}\,\dfrac{\left(\ln{(x+1)}\right)'}{\left(x(x+1)\right)'}=\lim_{x \rightarrow +\infty}\,\dfrac{1/(x+1)}{2x+1}=$
$\displaystyle=\lim_{x \rightarrow +\infty}\,\dfrac{1}{(2x+1)(x+1)}=0$ Así, pues, la función dada tiene una asíntota oblícua ( horizontal, en particular, por ser su pendiente igual a cero ) que podemos escribir de la forma $\text{a.o.}:\,y=0$

(b)
La ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función $y=f(x)$ en un punto de abscisa $x_0$ se escribe de la forma $\text{r.t.}:\,y=f(x_0)+f'(x_0)\,(x-x_0)$. En nuestro caso, $x_0=0$, con lo cual, al sustituir en la fórmula de la función, encontramos: $f(0)=0$. Por otra parte, derivando la función, término a término, se obtiene la siguiente función derivada $$f'(x)=-\dfrac{x^2+4}{(x^2-4)^2}+\dfrac{1-\ln{(x+1)}}{(x+1)^2}$$ con lo cual, al sustituir $x$ por $0$, el valor de la derivada en dicho punto es $f'(0)=-\dfrac{0+4}{(0-4)^2}+\dfrac{1-\ln{1}}{(0+1)^2}=-\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{3}{4}$. Por consiguiente, la ecuación de la recta tangente pedida es $y=0+\dfrac{3}{4}\,(x-0)$, esto es, $\text{r.t.}:\,y=\dfrac{3}{4}\,x$

(c)
$\displaystyle \int\,f(x)\,dx= \int\,\left( \dfrac{x}{x^2-4} + \dfrac{\ln{(x+1)}}{x+1}\right)\,dx = \int\, \dfrac{x}{x^2-4}\,dx + \int\, \dfrac{\ln{(x+1)}}{x+1}\,dx = $
$\displaystyle = \dfrac{1}{2}\,\int\, \dfrac{2\,x\,dx}{x^2-4} + \int\, \ln{(x+1)}\,d(\ln{(x+1)}+C=\dfrac{1}{2}\,\ln{(\left|x^2-4\right|)}+\dfrac{1}{2}\,\left( \ln{(\left|x+1\right|)} \right)^2+C$
$\square$

[nota del autor]

Calcular la integral indefinida ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu la següent integral indefinida (trobeu la família de funcions primitives)
    $\displaystyle \int \, \bigg(x^3-x^2+x-1\bigg)\,dx$

Resolució:
Donada una funció $f(x)$, recordem que la integral indefinida
    $\displaystyle \int \, f(x)\,dx$
correspon al problema de trobar la família de funcions primitives de la funció de l'integrand $f(x)$; és a dir, $\{F(x)+C\}$ ( $C$ és una constant: la constant d'integració ) de tal manera que
$\bigg(F(x)+C\bigg)^{'}=f(x)$
Tenint en compte les regles de derivació (en concret la que dóna la derivada d'una funció potencial i la derivada d'una suma de funcions ) és clar que
    $\displaystyle \int \, \bigg(x^3-x^2+x-1\bigg)\,dx =\dfrac{1}{4}\,x^4-\dfrac{1}{3}\,x^3+\dfrac{1}{2}\,x^2-x+C$

$\square$

[nota del autor]

Encontrar una primitiva de la función ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Donada la funció $f(x)=x^2+x+1$, trobeu una funció $F(x)$, primitiva de $f(x)$, tal que $F(1)=-1$

Resolució:
Primer de tot, trobem la família de funcions primitives de $f(x)$ (resolem el problema de la integral indefinida de $f(x)$ )
$\displaystyle \int \, \big(x^2+x+1)\,dx = \dfrac{1}{3}\,x^3+\dfrac{1}{2}\,x^2+x+C \quad (1)$
on $C$ és la constant d'integració
A continuació, determinarem el valor d'aquesta constant, imposant la condició donada $F(1)=-1$; per això, substituïm el valor $x$ per $1$ i trobem la següent equació
$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}+1+C=-1$
d'on, aïllant la constant, i operant i simplificant, s'obté
$C=-\dfrac{17}{6}$
Per tant, amb aquest valor concret de $C$, la funció primitiva demanada [de (1)] és
$F(x)=\dfrac{1}{3}\,x^3+\dfrac{1}{2}\,x^2+x-\dfrac{17}{6}$
$\square$

[nota del autor]

Una partícula se desplaza en línea recta y su función de celeridad ...

ENUNCIADO
Una partícula se desplaza en línea recta y su función celeridad ( módulo de la velocidad ), en cada instante de tiempo, se describe mediante la función $v(t)=t^2$ ( en metros por segundo ). ¿ Qué distancia recorre entre los instantes de tiempo $t=1\,\text{s}$ y $t=10\,\text{s}$ ?

SOLUCIÓN
Como la función que proporciona la posición de la partícula en todo instante de tiempo ( respecto del origen de coordenadas ) viene dada por $$x(t)=\int\,v(t)\,dt+C$$ ( véase la entrada anterior en este mismo blog ), podemos calcular la distancia, $d$, pedida mediante el cálculo de la integral definida $$\int_{1}^{10}\,(t^2+C)\,dt$$ y, por el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo ( regla de Barrow ), esto es igual a $$\left[\dfrac{1}{3}\,(t^3+C)\right]_{1}^{10}=\dfrac{1}{3}\,(27-1)=\dfrac{26}{3}\,\text{m}$$

Comentario 1:
Observemos que, en este problema, no necesitamos conocer el valor concreto de la constante de integración, $C$; esto es, no es relevante la información de en qué posición se encuentra la partícula en tal o cuál momento, puesto que sólo se nos pide que calculemos la diferencia entre la posición final y la inicial, con lo cual, al aplicar la regla de Barrow, dicha constante se anula.

Comentario 2:
En estos problemas de cinemática, se puede ver que, el valor de la integral definida, si bien ésta está relacionada con el problema de hallar el "área bajo la curva" - con los necesarios matices -, no viene dado en unidades de área, en el sentido geométrico, sino en unidades de la magnitud física que dé significado a dicho cálculo; en este caso, se trata de la magnitud longitud; en otros casos, el alumno tiene ocasión de comprobar ( en la asignatura de Física ) que se refiere a otras magnitudes, como, por ejemplo, la energía, en su caso; y, otras veces, se tratará, pongamos como ejemplo, que de un número de individuos ( en un problema de dinámica de poblaciones ), tan propio de la Biología o de las Ciencias Sociales.

$\square$

[nota del autor]

Calcular la integral indefinida ( primitiva ) ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Determineu la família de primitives corresponent a la següent integral indefinida:
        $\int \, \tan(x)\,dx$

Resolució:
Podem escriure la integral demanada de la forma
    $\int\, \dfrac{\sin{x}}{\cos{x}}\,dx$
I fent el canvi de variable
    $u=\cos{x}$
        $du=-\sin{x}\,dx$
la integral demanada es pot posar de la forma
    $-\int\, \dfrac{du}{u}$
que és igual a
    $-\ln{(u)}$
i, desfent el canvi de variable, arribem a
    $\int \, \tan(x)\,dx=-\ln{\big( \cos{x}\big)}+C$
on $C$ és la constant d'integració (la constant arbitrària de la família d'aquesta família de primitives).
$\square$

[nota del autor]

Calcular la integral indefinida ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Determineu la família de primitives corresponent a la següent integral indefinida:
        $\int \, \arctan(x)\,dx$

Resolució:
Farem ús aquí del mètode d'integració per parts, que es basa en la següent propietat
    $\int\, u\,dv = u\,v - \int v\,du \quad \quad (1)$
Per això, fem les següents designacions:
    $u=\arctan(x) \; \text{, d'on} \; du=\dfrac{1}{x^2+1}\,dx$
i
    $dv=dx \; \text{, i d'aquí, } \; v=x$

Llavors, d'acord amb (1), escriurem:
    $\int \, \arctan(x)\,dx=x\,\arctan(x)-\int \,\dfrac{x}{x^2+1}\,dx \quad \quad (2)$

Per calcular una primitiva de la funció integrand que apareix al segon terme
        $\int \,\dfrac{x}{x^2+1}\,dx$
farem ús d'un senzill canvi de variable:
        $x^2+1=w \Rightarrow dw=2\,x\,dx$
amb la qual cosa, la integral ens queda expressada de la forma
        $\frac{1}{2}\,\int \,\dfrac{1}{w}\,dw$
que és igual a
        $\frac{1}{2}\,\ln{w}$
i desfent el canvi de variable, queda
        $\frac{1}{2}\,\ln{(x^2+1)}$

I, finalment, posant aquest resultat en (2), arribem a la família de primitives demanada
    $\int \, \arctan(x)\,dx=x\,\arctan(x)-\frac{1}{2}\,\ln{(x^2+1)}+C$
on $C$ és la constant arbitrària.
$\square$

[nota del autor]

Ejercicio de integración ( indefinida ) de una función racional. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu
    $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}$

Solució:
La funció integrand $f(x)$ és una funció racional impròpia.
Efectuant la divisió $(x^3+x-1) \div (x^2-1)$
trobem que el polinomi quocient és igual a $x$, i el polinomi residu és $2\,x+1$
i, doncs, pel teorema de la divisió, podem escriure
    $\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}=x+\dfrac{2\,x+1}{x^2-1}$
Llavors, podem escriure la integral de la forma
    $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}=\int{\bigg( x + \dfrac{2\,x+1}{x^2-1}\bigg)\,dx}$
            $= \displaystyle \int{ x \,dx}+\int{ \dfrac{2\,x}{x^2-1}\,dx}+\int{ \dfrac{1}{x^2-1}\,dx}$
i tenint en compte que podem factoritzar el polinomi del denominador de la funció integrand del tercer terme: $x^2-1=(x-1)\,(x+1)$
escriurem
                $\dfrac{1}{x^2-1}$
com la suma de dues fraccions algebraiques
                $\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x+1}$
Per tant ( i recopilant ), la integral donada
    $\displaystyle \int{\dfrac{x^3+x-1}{x^2-1}\,dx}$
és igual a la següent suma d'integrals ( més senzilles ):
    $\displaystyle \int{ x \,dx}+\int{ \dfrac{2\,x}{x^2-1}\,dx}+\int{ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x-1}\,dx}-\int{ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x+1}\,dx}$
que, integrades, i sumades, menen a
    $\displaystyle \dfrac{1}{2}\,x^2+\ln{\left|x^2-1\right|}+\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|x-1\right|}-\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|x+1\right|}+C$
        $=\displaystyle \dfrac{1}{2}\,x^2+\ln{\left|x^2-1\right|}+\dfrac{1}{2}\,\ln{\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|}+C$
on $C$, per ser la constant d'integració, és qualsevol nombre real.
$\square$

[nota del autor]