Ejercicio de geometría euclídea ...

ENUNCIADO
a) Dados los vectores $\vec{u}=(2,3,4)$, $\vec{v}=(-1,-1,-1)$ y $\vec{w}=(-1,\lambda,-5)$, encontrar los valores de $\lambda$ que hacen que el paralelepípedo $\mathcal{P}$ generado por $\vec{u}$, $\vec{v}$ y $\vec{w}$ concurrentes en un mismo vértice.

b) Obetener la ecuación de la recta incluida en el plano $\pi:\,z=0$, con dirección perpendicular a $\vec{t}=(2,-1,4)$ y que pasa por el punto $A(1,1,0)$

[ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN
(a)
Sabemos que el volumen pedido, $\mathcal{V}$, viene dado por el valor absoluto del producto mixto $[ \vec{u}\,,\,\vec{v}\,,\,\vec{w}]$, esto es, $$\mathcal{V} \overset{\text{Def}}{=}\left| \langle \vec{u} \,,\, \vec{v} \times \vec{w} \rangle \right|$$
donde designamos por $\langle \,,\, \rangle$ el producto escalar de dos vectores; y por $ \times$ el producto vectorial de dos vectores. A su vez, sabemos que $$ \langle \vec{u} \,,\, \vec{v} \times \vec{w} \rangle = \begin{vmatrix}
u_1 & u_2 & u_3\\
v_1 & v_2 & v_3\\
w_1 & w_2 & w_3\\
\end{vmatrix} $$
que, con los datos del problema es
$$\begin{vmatrix}
2 & 3 & 4\\
-1 & -1 & -1\\
-1 & \lambda & -5\\
\end{vmatrix} \overset{-f_1+f_2 \rightarrow f_2}{=}
\begin{vmatrix}
2 & 3 & 4\\
-1 & -1 & -1\\
0 & \lambda+1 & -4\\
\end{vmatrix}
\overset{2\,f_2+f_1 \rightarrow f_1}{=}
\begin{vmatrix}
0 & 1 & 2\\
-1 & -1 & -1\\
0 & \lambda+1 & -4\\
\end{vmatrix}$$
$\overset{\text{Laplace ( 1.ª columna )}}{=} -(-1) \, \begin{vmatrix}
1 & 2\\
\lambda+1 & -4\\
\end{vmatrix}
=-(6+2\,\lambda)
$
Entonces, si el volumen es igual a $6$ unidades arbitrarias de volumen, $\left| -(6+2\,\lambda ) \right| = 6 \Leftrightarrow \lambda=\left\{\begin{matrix}
0 \\
\text{ó}\\
-6
\end{matrix}\right.$
$\square$

b)
Sea $\pi$ el plano $xOy$ y sea $P(x,y,z)$ un punto genérico de la recta $r \subset \pi$ pedida, entonces, si $(1,1,0)$ son las coordenadas de un punto de $r$, el vector $(x-1\,,\,y-1\,,\,z-0)$ está en $\pi$ y, por tanto, es perpendicular al vector $\vec{t}=(2,-1,4)$ dado, con lo cual el producto escalar $\langle (x-1\,,\,y-1\,,\,z-0) \,, (2,-1,4) \rangle$ es igual a $0$. Desarrollando el producto escalar e imponiendo, pues, que sea nulo, obtenemos $$2\,(x-1)+(-1)(y-1)+4(z-0)=0$$ simplificando obtenemos la ecuación de un plano, $\pi'$, que contiene a $r$, y que es perpendicular al plano $xOy$ ( o plano $\pi$ ) que también contiene a $r$; la ecuación de dicho plano es $\pi':\,2x-y-1=0$, que, junto con el plano $\pi:\,z=0$ se llega a las ecuaciones cartesianas de la recta pedida $$r:\,\left\{\begin{matrix}
2\,x &-&y&&&=&1 \\
&&&&z&=&0 \\
\end{matrix}\right.$$
Obsérvese que, así, la recta pedida viene dada por la intersección de dos planos.

Por supuesto, también podemos darla en forma continua: $$r:\,\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z-0}{0}$$

$\square$

[nota del autor]