Ejercicios de integrales definidas

Ejercicio a)
    Enunciado:
Calcular el valor de la integral definida

$\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}\,dx$

Resolución:
Con el cambio de variable $x=2\,\sin{\theta} \quad \quad (1)$, el denominador del integrando $\sqrt{4-x^2}$ queda - teniendo en cuenta la identidad fundamental de la trigonometria - de la forma $2\,\sqrt{1-\sin^2{\theta}}=2\,\cos{\theta}$

por otra parte, de (1) obtenemos $dx = 2 \, \cos{\theta}\, d\theta$

Calculemos ahora los límites de integración que corresponden
a la nueva variable $\theta$:
si $x=0$, $\theta=0$
si $x=1$, $\sin{\theta}=\frac{1}{2}$ y, por consiguiente, $\theta=\frac{\pi}{6}$

De ahí que podamos escribir

$\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}\,dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\,\dfrac{4\,\sin{\theta}\,\cos{\theta}}{2\,\cos{\theta}}\,d\theta = 2\,\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\,\sin{\theta}\,d\theta=2[-\cos{\theta}]_0^{\frac{\pi}{6}}$

que es igual a

$-2\big(\cos{\frac{\pi}{6}}-\cos{0}\big)$

teniendo en cuenta que

$\cos{\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

y, simplificando, podemos expresar el resultado de la forma

$2-\sqrt{3}$

$\square$

Ejercicio b)
    Enunciado:
Calcular el valor de la integral definida

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\,x\,\cos{x}\,dx$

Resolución:
El tipo de integrando nos lleva a emplear el método de integración por partes para obtener la primitiva de la función dada

$\int \, u\,dv=u\,v-\int\,v\,du$


Hagamos la siguente denominación:

$\cos{x}\,dx=du$
$x=v$

con lo cual

$u=\sin{x}$
$dv=dx$

De ahí que

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\,x\,\cos{x}\,dx=[x\,\sin{x}]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\,\sin{x}\,dx \quad \quad \quad (1)$

Como
$[x\,\sin{x}]_{0}^{\pi}=0$
y
$\int_{0}^{\pi}\,\sin{x}\,dx=[-\cos{x}]_{0}^{\pi}=-\big(\cos{0}-\cos{\pi}\big)=-\big(1-(-1)\big)=2$

Concluimos, de (1), que
$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\,x\,\cos{x}\,dx=0-2=-2$

$\square$

[nota del autor]