Processing math: 100%

sábado, 9 de mayo de 2015

Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ... ( Artículo escrito en catalán )

Encunciat:
Determineu l'equació de la recta tangent a la corba f(x)=-x^2+5 en el punt d'abscissa igual a 2


Resolució:
Escriurem l'equació de la recta tangent en forma explícita
\text{r.t.}:\,y=m\,x+k
Calcularem, doncs, el valor dels coeficients m (pendent) i k (ordenada a l'origen); per això, tindrem en compte: a) el pendent m és igual al valor de la derivada de la funció en el punt P d'abscissa donada (significat geomètric de la derivada), i b) les ordenades de la recta tangent i de la corba han de tenir el mateix valor en el punt de tangència.

a) La funció derivada s'obté fàcilment (regles de derivació):
        f^{'}(x)=-2\,x
i en el punt P d'abscissa x=2 pren el valor
        f^{'}(2)=-4
que ha de correspondre al valor de m

b) En el punt P d'abscissa x=2 (punt de tangència i, per tant, de contacte de la recta i la corba) l'ordenada de la funció ha de ser igual a l'ordenada de la recta tangent. L'ordenada de P, per la funció f(x), és igual a
        f(2)=-2^2+5
                  =1 \quad \quad \quad \quad \quad (1)
I, d'acord amb l'equació de la recta, l'ordenada P és igual a
        2\,m+k
i, atès que m=-4 queda igual a
        2\,(-4)+k \quad \quad \quad \quad (2)

Igualant (1) i (2)
        -8+k = 1
i, d'aquí, trobem el valor de l'ordenada a l'origen de la recta tangent
        k = 9

Finalment, ja podem concretar l''equació de la recta tangent:
        \text{r.t.}:\,y=-4\,x+9


\square

[nota del autor]

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Gracias por tus comentarios