Encunciat:
Determineu l'equació de la recta tangent a la corba f(x)=-x^2+5 en el punt d'abscissa igual a 2
Resolució:
Escriurem l'equació de la recta tangent en forma explícita
\text{r.t.}:\,y=m\,x+k
Calcularem, doncs, el valor dels coeficients m (pendent) i k (ordenada a l'origen); per això, tindrem en compte: a) el pendent m és igual al valor de la derivada de la funció en el punt P d'abscissa donada (significat geomètric de la derivada), i b) les ordenades de la recta tangent i de la corba han de tenir el mateix valor en el punt de tangència.
a) La funció derivada s'obté fàcilment (regles de derivació):
f^{'}(x)=-2\,x
i en el punt P d'abscissa x=2 pren el valor
f^{'}(2)=-4
que ha de correspondre al valor de m
b) En el punt P d'abscissa x=2 (punt de tangència i, per tant, de contacte de la recta i la corba) l'ordenada de la funció ha de ser igual a l'ordenada de la recta tangent. L'ordenada de P, per la funció f(x), és igual a
f(2)=-2^2+5
=1 \quad \quad \quad \quad \quad (1)
I, d'acord amb l'equació de la recta, l'ordenada P és igual a
2\,m+k
i, atès que m=-4 queda igual a
2\,(-4)+k \quad \quad \quad \quad (2)
Igualant (1) i (2)
-8+k = 1
i, d'aquí, trobem el valor de l'ordenada a l'origen de la recta tangent
k = 9
Finalment, ja podem concretar l''equació de la recta tangent:
\text{r.t.}:\,y=-4\,x+9
\square
No hay comentarios:
Publicar un comentario
Gracias por tus comentarios