Un tren sale de una estación con una aceleración de ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un tren surt d'una estació amb una acceleració constant de $0,40 \, \text{m}\,\text{s}^{-2}$. Un passatger arriba a l'andana $6 \, \text{s}$ després que l'extrem final del tren abandonés la posició on ell, ara, es troba. Quina ha de ser la velocitat amb què s'ha de posar a córrer (suposem que ha de ser constant) per tal de poder donar-li abast ?

Solució:
Situem l'origen del sistema de referència en el punt on el passatger arriba a l'estació. Llavors, l'equació de posició del tren (m.r.u.a.) s'escriurà
            $x(t)=\dfrac{1}{2}\,a\,t^2 \quad \quad (1)$
i l'equació que descriu la posició del passatger (m.r.u), des que comença a córrer, és
            $x(t)=v\,(t-6) \quad \quad (2)$
on $v$ és la velocitat mínima del passatger per tal de poder donar-li abast

Considerant la situació en què el passatger dóna abast al tren, igualarem els segons membres de (1) i (2)
            $v_{m}\,(t-6)=\dfrac{1}{2}\,a\,t^2 \quad \quad (3)$
on $v_{m}$ representa la velocitat mínima demanada, ja que, pel cap baix, ha de tenir el mateix valor que el pendent de la recta tangent en el punt d'abcissa $t_{a}$ (punt on el passatger dóna abast al tren) i, doncs, el seu valor per a $t=t_a$
                                            $\bigg(\dfrac{1}{2}\,a\,t^2\bigg)_{t=t_a}^{'}$
ha de ser igual a la derivada de la funció de posició del tren (en el punt $t=t_a$)
és a dir
            $v_{m}=a\,t_{a} \quad \quad (4)$

Substituint aquest valor (4) a l'expressió (3), arribem a l'equació
            $a\,t_{a}\,\,(t_{a}-6)=\dfrac{1}{2}\,a\,t_{a}^2$
d'on obtenim
            $t_{a}=12 \, \text{s}$
i, finalment, posant aquest valor de a (4), trobem que
            $v_{m}=0,40 \cdot 12 \, \text{m}\,\text{s}^{-1}$
                  $=4,8 \, \text{m}\,\text{s}^{-1}$
Si el passatger es mou a velocitats més petites, no podrà donar abast al tren.
$\square$

[nota del autor]