Dados el plano $\pi:\,x-2y+2z+1=0$ y la superficie esférica $S:\,(x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=9$ ...

ENUNCIADO
Dados el plano $\pi:\,x-2y+2z+1=0$ y la superficie esférica $S:\,(x-1)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=9$, hallar los planos tangentes a la esfera que son paralelos al plano $\pi$. [ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN
Sea, $(x,y,z) \in S$, un punto de la esfera y de uno de los planos tangentes pedidos, entonces el vector de posición de dicho(s) punto(s) ( con respecto del centro de la esfera ) es $(x-1,y-1,z-2)$ ya que el centro de la esfera es el punto $(1,1,2)$

Por otra parte, un vector perpendicular a los planos tangentes paralelos a $\pi$ es también un vector perpendicular a $\pi$, esto es, $(1,-2,2)$ ( sus componentes corresponden a los coeficientes $A$, $B$, y $C$ de la ecuación general del plano $Ax+By+Cz+D=0$ ), por tanto $$(x-1,y-1,z-2) \propto (1,,1,2) $$ es decir $$(x-1,y-1,z-2) = \lambda\, (1,1,2)\; \; \text{donde}\; \lambda \in \mathbb{R}$$ con lo cual $$\left\{\begin{matrix} x-1 & = & \lambda \\ y-1 &=& -2\,\lambda \\ z-2 &=&2\,\lambda \\ \end{matrix}\right.$$ es decir $$\left\{\begin{matrix} x & = & \lambda +1 \\ y &=& -2\,\lambda +1 \\ z &=&2\,\lambda +2 \\ \end{matrix}\right.$$ Por lo tanto, los puntos de tangencia son del tipo $$(\lambda +1,-2\,\lambda+1,2\,\lambda+2)$$ Vamos ahora a determinar los valores concretos que toma $\lambda$; para ello, debemos tener en cuenta que los puntos de tangencia están también en $S$, con lo cual deberán satisfacer la ecuación de $S$ $$((\lambda+1-1)^2+(-2\lambda+1-1)^2+(2\,\lambda+2-2)^2=9$$ simplificando $$9\,\lambda^2=9 \Leftrightarrow \lambda=\pm 1$$ Sustituyendo estos dos valores encontramos dos puntos de tangencia, $P_1$ y $P_2$, con los que determinaremos las ecuaciones de sendos planos tangentes ( paralelos al plano dado; y, por tanto, paralelos entre sí ): $$(x_1,y_1,z_1)=(1+(+1),-2+(+1),2\,(+1)+2)=(2,-1,4)$$ y $$(x_2,y_2,z_2)=(1+(-1),-2+(-1),2\,(-1)+2)=(0,-3,0)$$ Los planos tangentes pedidos respectivos son $$\pi_1:\,x-2y+2z+D_1=0$$ y $$\pi_2:\,x-2y+2z+D_2=0$$ donde los coeficientes $D_1$ y $D_2$ se determinan imponiendo que los puntos $P_1$ y $P_2$ pertenecen al plano tangente respectivo: $$1\cdot 2-2\,(-1)+2\,(4)+D_1=0 \Rightarrow D_1=-12$$ y $$1\cdot 0-2\,(-3)+2\cdot 0+D_2=0 \Rightarrow D_2=-6$$ Así, pues, las ecuaciones de los dos planos tangentes que cumplen la condición del enunciado son $$\pi_1:\,x-2y+2z-12=0$$ y $$\pi_2:\,x-2y+2z-6=0$$ $\square$

[nota del autor]