ENUNCIADO
Una partícula se desplaza en línea recta y su función celeridad ( módulo de la velocidad ), en cada instante de tiempo, se describe mediante la función $v(t)=t^2$ ( en metros por segundo ). ¿ Qué distancia recorre entre los instantes de tiempo $t=1\,\text{s}$ y $t=10\,\text{s}$ ?
SOLUCIÓN
Como la función que proporciona la posición de la partícula en todo instante de tiempo ( respecto del origen de coordenadas ) viene dada por $$x(t)=\int\,v(t)\,dt+C$$ ( véase la entrada anterior en este mismo blog ), podemos calcular la distancia, $d$, pedida mediante el cálculo de la integral definida $$\int_{1}^{10}\,(t^2+C)\,dt$$ y, por el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo ( regla de Barrow ), esto es igual a $$\left[\dfrac{1}{3}\,(t^3+C)\right]_{1}^{10}=\dfrac{1}{3}\,(27-1)=\dfrac{26}{3}\,\text{m}$$
Comentario 1:
Observemos que, en este problema, no necesitamos conocer el valor concreto de la constante de integración, $C$; esto es, no es relevante la información de en qué posición se encuentra la partícula en tal o cuál momento, puesto que sólo se nos pide que calculemos la diferencia entre la posición final y la inicial, con lo cual, al aplicar la regla de Barrow, dicha constante se anula.
Comentario 2:
En estos problemas de cinemática, se puede ver que, el valor de la integral definida, si bien ésta está relacionada con el problema de hallar el "área bajo la curva" - con los necesarios matices -, no viene dado en unidades de área, en el sentido geométrico, sino en unidades de la magnitud física que dé significado a dicho cálculo; en este caso, se trata de la magnitud longitud; en otros casos, el alumno tiene ocasión de comprobar ( en la asignatura de Física ) que se refiere a otras magnitudes, como, por ejemplo, la energía, en su caso; y, otras veces, se tratará, pongamos como ejemplo, que de un número de individuos ( en un problema de dinámica de poblaciones ), tan propio de la Biología o de las Ciencias Sociales.
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