Una partícula se mueve en línea recta, con una celeridad de ...

ENUNCIADO
Una partícula se mueve en línea recta, con una celeridad ( módulo de la velocidad ) dada por la función $v(t)=t^3$ ( en metros por segundo ). Se sabe que en el instante $t=1\,\text{s}$ se encuentra a $10\,\text{m}$ del origen de coordenadas. ¿ Cuál es su posición en cada instante de tiempo ? ¿ Cuál es la función que da el módulo de aceleración en cada instante de tiempo ?.

SOLUCIÓN
Como la función celeridad se define como la derivada de coordenada de posición, $x(t)$, respecto del origen de coordenadas, podemos escribir $$\dfrac{dx}{dt}=t^3$$ luego, empleando la notación de Leibniz $$dx=t^3\,dt$$ con lo cual $$\int dx = \int t^3\,dt$$ que es igual a la familia de primitivas $$x(t)=\dfrac{1}{4}\,t^4+C$$ Ahora bien, debemos determinar el valor de la constante de integración, dadas las condiciones del enunciado; así, pues, como $x(1)=10$ tenemos que $$10=\dfrac{1}{4}\,1^4+C $$ y por tanto, despejando la constante de integración, $$C=10-\dfrac{1}{4}=\dfrac{39}{4}$$. En consecuencia, $$x(t)=\dfrac{1}{4}\,x^4+\dfrac{39}{4}$$

Por otra parte, el módulo de la aceleración se define como el ritmo instantáneo de variación de la función celeridad, $a(t)=(v(t))'=(t^4)'=4\,t^3$. $\square$

[nota del autor]

Cálculo de primitivas. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Resoleu la següent integral indefinida
    $\displaystyle \int {\dfrac{1}{x^2+x}\,dx}$

Solució:
La funció integrand
    $\dfrac{1}{x^2+x}$
és una funció racional, que, havent factoritzat el seu denominador es pot escriure de la forma
    $\dfrac{1}{x\,(x+1)}$
Aquesta funció, doncs, del tipus
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}$
i, per tant, es pot expressar com una suma de fraccions
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{m}{x+a}+\dfrac{n}{x+b}$
Reduint a comú denominador l'expressió del segon membre, trobem que és igual a
    $\dfrac{m\,(x+b)+n\,(x+a)}{(x+a)(x+b)}$
operant el numerador queda
    $\dfrac{(m+n)\,x+m\,b+n\,a}{(x+a)(x+b)}$
és a dir
    $\dfrac{1}{(x+b)(x+a)}=\dfrac{(m+n)\,x+m\,b+n\,a}{(x+a)(x+b)}$
i igualant els coeficients dels termes del mateix grau entre ambdós membres de la igualtat obtenim el següent sistema d'equacions
    $\left.\begin{matrix} m\,b &+&n\,a&=&1 \\ m & +&n&=&0 \end{matrix}\right\}$
i, resolent-lo, trobem
    $m=\dfrac{1}{b-a}$
i
    $n=\dfrac{1}{a-b}$

En aquest cas concret, $b=0$ i $a=1$, per tant trobem $m=1$ i $n=-1$
LLavors
    $\dfrac{1}{x\,(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}$
i podrem escriure
    $\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2+x}\,dx=\int \dfrac{1}{x}\,dx-\int \dfrac{1}{x+1}\,dx$
que són integrals immediates, és a dir
    $\displaystyle \int {\dfrac{1}{x^2+x}\,dx}=\ln{\left|x\right|}-\ln{\left|x+1\right|}+C$
que, per les propietats dels logaritmes, també podem expressar així
    $\displaystyle \int {\dfrac{1}{x^2+x}\,dx}=\ln{\left|\dfrac{x}{x+1}\right|}+C$

Nota:   $C$, que pot ser qualsevol nombre real, és la constant d'integració, o constant arbitrària de la família de funcions primitives de la funció integrand:
    $F(x)=\ln{\left|\dfrac{x}{x+1}\right|}+C$


$\square$

[nota del autor]