Ecuaciones con números enteros

Este ejercicio de muestra es de ampliación y va dirigido a los alumnos de 2.º de Bachillerato que puedan estar interesados en ampliar sus conocimientos sobre números enteros al objeto, por ejemplo, de participar en las Olimpiadas Matemáticas o bien por el simple gusto de estar mejor preparados para cursar, en el futuro, estudios de grado en la universidad. Antes de exponer la solución del ejercicio que resolveremos como ejemplo, vamos a decir algunas cosas sobre las ecuaciones con números enteros; en concreto, las que toman la forma $ax+by=c$, y que llamamos ecuaciones diofánticas lineales. Los coeficientes $a,b,c \in \mathbb{Z}$ vienen dados; y, de tener solución la ecuación, las incógnitas $x$ e $y$, que debemos determinar deben ser, también, números enteros.

ALGO DE TEORÍA:
Veamos lo que nos dice la teoría: Una ecuación diofántica lineal del tipo $ax+by=c$ tiene solución si y sólo si $d:=\text{m.c.d.}(a,b)$ es divisor del término independiente $c$ ( que notamos de la forma $d|c$ ); y, teniendo solución dicha ecuación, se demuestra que hay infinitos pares de valores $(x,y)$ que satisfacen dicha ecuación. Encontramos las infinitas soluciones ( solución general ) encontrando, primero, una solución particular $(x_1,y_1)$, y, a continuación, la solución general, que es de la forma

$$\left\{\begin{matrix}
x=x_1+\lambda\,\dfrac{b}{d} & \\
\\
y=y_1-\lambda\,\dfrac{a}{d} & \\
\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$

Vamos, ahora, a exponer un ejemplo.

ENUNCIADO:
Sea la ecuación diofántica lineal $6x+50y=108$. ¿ Tiene solución ? En caso afirmativo, ¿ cómo son los infinitos pares de valores enteros $(x,y)$ ?

SOLUCIÓN:
Observemos que $a=6$, $b=50$ y $c=108$. Como el máximo común divisor de $a$ y $b$, $d:=\text{m.c.d.}(6,50)=2$, es divisor del término independiente $c=108$, esto es $2 | 108$, podemos afirmar que la ecuación tiene solución en $\mathbb{Z}$ y que ésta consta de infinitos pares de números enteros $(x,y)$, que vamos a ver cómo son a continuación.

Encontremos, para empezar, una solución particular de la ecuación dada. Para ello, determinaremos primero una solución particular de la ecuación $ax+by=d$ ( identidad de Bézout ) y, de ésta, encontraremos la solución particular de la que buscamos.

La identidad de Bézout, en este caso, es $6x+50y=2$. Así, por ejemplo, $(-8,1)$ cumple dicha igualdad; en efecto, $6(-8)+50\cdot 1 = 2$   (1). Y, como el término independiente, $108$, de la ecuación pedida se obtiene multiplicando el de la identidad de Bézout, $2$, por $108/2=54$, mutiplicaremos ambos miembros de (1) por $54$ para obtener $$6\cdot (-8)\cdot 54+50\cdot 1 \cdot 54 = 2 \cdot 54$$ con lo cual $$6 \cdot \underset{x_1}{\underbrace{\left((-8)\cdot 54\right)}}+50 \cdot \underset{y_1}{\underbrace{\left( 1 \cdot 54 \right)}}= 108$$ es decir $$6 \cdot \underset{x_1}{\underbrace{(-432)}}+50 \cdot \underset{y_1}{\underbrace{54}}= 108$$ luego una solución particular es $$(-432,54)$$ Y, finalmente, construyendo la solución general, llegamos a $$\left\{\begin{matrix}
x=-432+\lambda\,\dfrac{50}{2} & \\
\\
y=54-\lambda\,\dfrac{6}{2} & \\
\end{matrix}\right. \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$
es decir
$$\left\{\begin{matrix}
x=-432+25\,\lambda \\
\\
y=54-3\,\lambda \\
\end{matrix}\right. \quad \quad \forall \lambda \in \mathbb{Z}$$

Ahora, dando valores ( enteros ) arbitrarios al parámetro $\lambda$ podemos encontrar cualesquiera de los pares de números enteros $(x,y)$ ( hay infinitos ) que constituyen la solución general; así, por ejemplo, para $\lambda = 4$, encontramos $(-332,42)$, etcetera.

$\square$

Cálculo con congruencias

Sean $x,y,n \in \mathbb{Z}$, tales que $\left|x\right| \le \left|n\right|$ e $\left|y\right| \le \left|n\right|$, consideremos, en $\mathbb{Z}$, la siguiente relación de equivalencia:
    $x \,\mathcal{E}\, y \Leftrightarrow \text{resto}(x \div n)=\text{resto}(y \div n)$
que también se puede expresar de otras formas equivalentes
    $x \,\mathcal{E}\, y \Leftrightarrow n | (x-y)$     ( n es divisor de $x-y$ )
    $x \,\mathcal{E}\, y \Leftrightarrow (x-y)=\dot{n}$     ( $x-y$ es un múltiplo de $n$ )
Es sabido que una relación de equivalencia induce en un conjunto ( en $\mathbb{Z}$, en nuestro caso ) una partición en clases de equivalencia. El conjunto de estas clases se denomina conjunto cociente $\mathbb{Z}/\mathcal{E}$. En el caso que nos ocupa, podemos decir que, para un determinado $n \in \mathbb{Z}$, todos los números enteros mayores en valors absoluto que $\left|n\right|$, tales que al dividirlos por $n$, se obtenga resto con valor $r_i$, pertenecen a una misma clase de equivalencia $\left[r_i\right]$ ( donde $i=0,1,2, \ldots, n-1$ y $0 \le r_i \le n-1 $ ).

Designaremos por $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ al conjunto cociente ( conjunto de las clases ) inducido por la relación de equivalencia descrita; también se conoce dicho conjunto cociente como conjunto de las clases de resto módulo $n$. Dichas clases, pues, corresponden a cada uno de los posibles restos, es decir:

    $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\left[0\right]_{n},\left[1\right]_{n},\left[2\right]_{n},\ldots,\left[n-1\right]_{n}\}$

Por lo tanto, dado un determinado número entero $n$ ( módulo ), diremos que un número entero $x$ pertence a la clase de resto   $\left[r_i\right]_{n}$   si y sólo si $\text{resto}(x \div n)=r_i$ ( y recordemos que $0 \le r_i \le n-1 $ con $i=0,1,2,\ldots,n-1$ ).

Así, podemos decir que dos números enteros $x$ e $y$ son congruentes módulo $n$, y se escribe $x \equiv y (n)$, si y sólo si ambos números pertenecen a la misma clase de resto ( se obtiene el mismo resto en las divisiones $x \div n$ e $y \div n$ ).

Hay un par de propiedades bàsicas muy interesantes que dan origen al cálculo con clases de resto ( o cálculo de congruencias ). Son las siguientes.
Dados $a,b,n \in \mathbb{Z}$ tales que $\left|a\right|\le n$ y $\left|b\right|\le n$, y dadas las congruencias ( equivalencias por clases de resto) $a \equiv a^{'} (n)$ y $b \equiv b^{'} (n)$, entonces:
    i) $a + b \equiv a^{'}+b^{'} (n)$
    ii) $a \cdot b \equiv a^{'}\cdot b^{'} (n)$

Una famosa aplicación del cálculo con congruencias es la llamada prueba del nueve, con la que se puede verificar el resultado de las operaciones más costosas realizadas a mano, una multiplicación o de una división, por ejemplo. Se elige el nueve como módulo del cálculo por razones de eficiencia en las propios cálculos de comprobación. Tengamos en cuenta que, antes de la aparición de las máquinas calculadoras, este tipo de pruebas facilitaban la comprobación de largos cálculos. Veamos algún ejemplo, aunque con números no muy grandes, para no cansar al lector.
Nota: En realidad, un resultado satisfactorio en la comprobación de un cálculo no garantiza, de hecho, la absoluta certeza del resultado de éste, puesto que podrían haberse dado errores que se compensaran mutuamente.

1) Caso de una multiplicación:
    $46 \cdot 68 = 3128 \quad \quad (1)$
Comprobación:
$46\equiv 1 (9)$
$68\equiv 5 (9)$
y, de acuerdo con las propiedades,
$46 \cdot 68 \equiv 1 \cdot 5 (9)$
            $\equiv 5 (9)$
y, por otro lado,
    $3128 \equiv 5 (9)$
luego la operación (1) queda comprobada

1) Caso de una división:
    $3468 \div 124 \rightarrow q=27 \quad \quad r=120 \quad \quad (2)$
Comprobación:
$3468\equiv 3 (9)$
$124\equiv 7 (9)$
$27\equiv 0 (9)$
$120\equiv 3 (9)$
Para efectuar la comprobación de los cálculos, vamos a ver si se cumple el teorema de la división euclidiana, operando con las congruencias:
Si
$3468 = 124 \cdot 27 +120$
entonces, con las congruencias, debe cumplirse que
$3 = 7 \cdot 0 + 3$
lo cual es cierto y, por consiguiente, damos por comprobada la operación (2).
$\square$

[nota del autor]