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domingo, 31 de mayo de 2015

Consideremos una esfera maciza, en la que practicamos un orificio de polo a polo ...

ENUNCIADO
Consideremos una esfera maciza de radio r, en la que practicamos un orificio cilíndrico, de radio a \prec r, de tal modo que el eje de dicho cilindro coincida con un eje de simetría de la esfera. ¿ Cuál es el volumen del cuerpo resultante ?

SOLUCIÓN
Denominemos V_1 al volumen de la esfera; V_2 al volumen del cilindro, y V_3 al volumen de uno de los dos casquetes esféricos que visualizamos en la figura. Entonces, el volumen pedido es V_1-(V_2+2\,V_3) \quad \quad (1)
donde: V_1=\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3 y V_2=\pi\,a^2\,h, siendo h=r-(r^2-a^2). Falta por calcular el volumen del casquete esférico. Pare ello, observemos la siguiente figura:
(Figura: Sección diametral de la esfera con el orificio. Notemos que en el proceso de integración por el método de la superposición de círculos infinitesimales; variando el radio de uno de estos discos genéricos, de grosor dx, entre a y 0 )
Entonces, V_3=\int_{0}^{h}\,\pi\,a^{2}(x)\,dx \quad \quad (2) y teniendo en cuenta que (r-x)^2+a^{2}(x)=r^2 podemos expresar el radio del círculo genérico en función de x y r a^{2}(x)=2xr-x^2 con lo cual podemos escribir la integral (2) de la forma \int_{0}^{h}\,(2xr-x^2)\,dx=\pi \, \left[ x^2\,r-\dfrac{1}{3}\,x^3 \right]_{0}^{h}=\dfrac{\pi\,h^2}{3}\,(3r-h)

Así, pues, de (1), obtenemos el volumen pedido: \dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3-\left( \pi\,a^2\,h + \dfrac{2\,\pi\,h^2}{3}\,(3r-h) \right)
\square

[nota del autor]

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