Cálculo de una integral definida (un ejemplo). Aplicación de la regla de Barrow

Para calcular, a modo de ejemplo, la integral definida $$\displaystyle \int_a^b\,3^x\,dx\,,\,\text{donde}\,a\lt b$$ necesitamos calcular, en primer lugar, la integral indefinida $$\displaystyle \int\,3^x\,dx$$ esto es, la familida de funciones primitivas $F(x)+C$ (siendo $C$ la constante arbitraria de integración), tales que, por el primer teorema del cálculo integral, cumpla que $\dfrac{d(F(x)+C)}{dx}=f(x)$, siendo $f(x)$ la función del integrando, es decir, $f(x)=3^x$

Veamos, primero, cuál es esa familia de funciones primitivas: $\displaystyle \int\,3^x\,dx\overset{[3=e^{\ln\,3}]}{=} \int\,\left(e^{\ln\,3}\right)^x\,dx=\int\,e^{x\,(\ln\,3)}\,dx \overset{(1)}{=}\int\,e^{x\,(\ln\,3)}\,\dfrac{d(x\,(\ln\,3))}{\ln\,3}=\dfrac{e^{x\,(\ln\,3)}}{\ln\,3} =\dfrac{3^x}{\ln\,3}+C$. Entonces, por el segundo teorema fundamental del cálculo integral (regla de Barrow), y a partir de cualquier función primitiva, por ejemplo $F(x)=\dfrac{3^x}{\ln\,3}$ (tomando, por ejemplo, $C=0$) tenemos que $\displaystyle \int_a^b\,3^x\,dx\overset{(2)}{=}F(b)-F(a)=\dfrac{3^b}{\ln\,3}-\dfrac{3^a}{\ln\,3}=\dfrac{1}{\ln\,3}\left(3^b-3^a\right)$

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Nota (1):
Este paso, en realidad, es un cambio de variable: $u:=x\,(\ln\,3)$ y por tanto $du=\left( x\,(\ln\,3) \right)'\,dx = (\ln\,3)\cdot 1\,dx = (\ln\,3)\,dx \Rightarrow dx=\dfrac{du}{\ln\,3}$, con lo cual $\displaystyle \int\,e^{x\,(\ln\,3)}\,dx = \int\,e^u\,\dfrac{du}{\ln\,3}=\dfrac{1}{\ln\,3}\,e^u+C=\dfrac{1}{\ln\,3}\,e^{(\ln\,3)\,x}+C=\dfrac{3^x}{\ln\,3}+C$

Nota (2):
Otra manera de notar la aplicación de la regla de Barrow es: $\displaystyle \displaystyle \int_a^b\,3^x\,dx=\left[ \dfrac{3^x}{\ln\,3} \right]_{a}^{b}=\dfrac{3^b}{\ln\,3}-\dfrac{3^a}{\ln\,3}=\dfrac{1}{\ln\,3}\left(3^b-3^a\right)$

Nota (3):
Podemos aplicar también la regla de Barrow a partir del cambio de variable (véase (1)) realizado y recalculando los nuevos límites de integración: $\displaystyle \int_{a}^{b}\,3^x\,dx=\int_{a}^{b}\,e^{x\,(\ln\,3)}\,dx\overset{(1)}{=}\int_{a\,\ln\,3}^{b\,\ln\,3}\,e^u\,\dfrac{du}{\ln\,3}=\left( \dfrac{e^{b\,\ln\,3}}{\ln\,3}-\dfrac{e^{a\,\ln\,3}}{\ln\,3}\right)=\dfrac{1}{\ln\,3}\,\left( e^{b\,\ln\,3} - e^{a\,\ln\,3}\right)=\dfrac{1}{\ln\,3}\,\left( 3^b-3^a \right)$

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Dos ejercicios de integración definida en los que interviene la función piso

Deseamos calcular el valor de la integral definida $$\displaystyle \int_{1}^{3}\,\dfrac{x}{\left \lfloor x \right \rfloor}\,dx$$

Recordemos la definición de la función piso: $$\left \lfloor x \right \rfloor := \text{máximo}(\{\ell \le x: \ell \in \mathbb{Z}\}$$

Entonces, $$\displaystyle \int_{1}^{3}\,\dfrac{x}{\left \lfloor x \right \rfloor}\,dx=\int_{1}^{2}\,\dfrac{x}{1}\,dx+\int_{2}^{3}\,\dfrac{x}{2}\,dx=\int_{1}^{2}\,x\,dx+\dfrac{1}{2}\,\int_{2}^{3}\,x\,dx=\left[ \dfrac{1}{2}\,x^2 \right]_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \left[ \dfrac{1}{2}\,x^2 \right]_{2}^{3}=$$ $$\displaystyle = \dfrac{1}{2} \cdot \left[ x^2 \right]_{1}^{2}+\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \left[ x^2 \right]_{2}^{3}=\dfrac{1}{2} \cdot \left( 2^2-1^2 \right)+\dfrac{1}{4}\cdot \left( 3^2-2^2 \right)=\dfrac{1}{2} \cdot 3 +\dfrac{1}{4}\cdot 5 = \dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{6}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{11}{4}$$

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Ahora voy a calcular el valor de la integral definida $$\displaystyle \int_{1}^{3}\,\dfrac{\left \lfloor x \right \rfloor}{x}\,dx$$ que no es la misma que la primera que hemos resuelto, ya que $\dfrac{x}{\left \lfloor x \right \rfloor} \neq \dfrac{\left \lfloor x \right \rfloor}{x}$

$$\displaystyle \int_{1}^{3}\,\dfrac{\left \lfloor x \right \rfloor}{x}\,dx=\int_{1}^{2}\,\dfrac{1}{x}\,dx+\int_{2}^{3}\,\dfrac{2}{x}\,dx=\left[\ln(x)\right]_{1}^{2}+2\,\left[\ln(x)\right]_{2}^{3}=\left(\ln(2)-\ln(1)\right)+2\cdot \left( \ln(3)-\ln(2)\right)=$$ $$=\ln(2)-0+2\,\ln(3)-2\,\ln(2)=2\,\ln(3)-\ln(2)=\ln(3^2)-\ln(2)=\ln\left(3^2/2\right)=\ln\left(9/2\right)$$

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Y para acabar este artículo, expondré el cálculo de la integral definida $$\displaystyle \int_{-1}^{1}\,\dfrac{|x|}{\left \lfloor x \right \rfloor+2}\,dx$$

Teniendo en cuenta las definiciones de las funciones valor absoluto y piso: $$\displaystyle \int_{-1}^{1}\,\dfrac{|x|}{\left \lfloor x \right \rfloor+2}\,dx=\int_{-1}^{0}\,\dfrac{-x}{-1+2}\,dx+\int_{0}^{1}\,\dfrac{x}{0+2}\,dx=\int_{-1}^{0}\,\dfrac{-x}{1}\,dx+\int_{0}^{1}\,\dfrac{x}{2}\,dx=$$ $$\displaystyle =-\int_{-1}^{0}\,x\,dx+\dfrac{1}{2}\,\int_{0}^{1}\,x\,dx=-\left[\dfrac{1}{2}\,x^2\right]_{-1}^{0}+\dfrac{1}{2}\cdot \left[\dfrac{1}{2}\,x^2\right]_{0}^{1}=-\dfrac{1}{2}\cdot \left[x^2\right]_{-1}^{0}+\dfrac{1}{4}\cdot \left[x^2\right]_{0}^{1}=$$ $$=-\dfrac{1}{2}\cdot \left(0^2-(-1)^2\right)+\dfrac{1}{4}\cdot \left(1^2-0^2\right)=-\dfrac{1}{2}\cdot (-1)+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$$

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Integrales definidas en las que interviene la función piso (también llamada función suelo, y, en algunos ámbitos, función parte entera)

Nos proponemos calcular la integral $$\displaystyle \int_{0}^{n}\,(x+\left \lfloor x \right \rfloor)\,dx$$, con $n$ un número entero positivo, y donde $\left \lfloor x \right \rfloor$ denota la función piso (o suelo), que, para todo número real $x$, se define como $\left \lfloor x \right \rfloor := \text{máximo}(\{\ell \le x: \ell \in \mathbb{Z}\}$

Ensayemos esta integral para fijando un valor de $n$, pongamos que $n=4$, para ver lo que ocurre. Al tratarse de una función a trozos, con un número finito —y, por tanto, numerable— de discontinuidades, la función $f(x)=x+\left \lfloor x \right \rfloor$ es integrable Riemann. Podéis ver en la siguiente figura la gráfica realizada con GeoGebra (tecleando $\text{floor}(x)$ para la función piso —sintaxis de la función piso en la mayor parte de los programas y calculadoras— en la línea de entrada), si bien también podemos hacerlo a mano sin ninguna dificultad:

Por otra parte, podemos servirnos del cálculo automático que nos ofrece WolframAlpha para saber qué encontraremos. Veámoslo en esta segunda figura, que he obtenido tecleando en la casilla de entradas de WolframAlpha lo siguiente: $$\text{integrate}(x+\text{floor}(x),x,0,4)$$

Reproduzcamos ahora este resultado, paso a paso: $\displaystyle \int_{0}^{4}\,(x+\left \lfloor x \right \rfloor)\,dx=\int_{0}^{1}\,(x+0)\,dx+\int_{1}^{2}\,(x+1)\,dx+\int_{2}^{3}\,(x+2)\,dx+\int_{3}^{4}\,(x+3)\,dx$
  $\displaystyle=\left[\dfrac{1}{2}\,(x+0)^2\right]_{0}^{1}+\left[\dfrac{1}{2}\,(x+1)^2\right]_{1}^{2}+\left[\dfrac{1}{2}\,(x+2)^2\right]_{2}^{3}+\left[\dfrac{1}{2}\,(x+3)^2\right]_{3}^{4}$
    $\displaystyle=\dfrac{1}{2}\,\left((1+0)^2-(0+0)^2\right)+\dfrac{1}{2}\,\left((2+1)^2-(1+1)^2\right)+\dfrac{1}{2}\,\left((3+2)^2-(2+2)^2\right)+\dfrac{1}{2}\,\left((4+3)^2-(3+3)^2\right)$
      $=\dfrac{1}{2}\,\left(1+5+(25-16)+(49-36)\right)$
       $=\dfrac{1}{2}\,\left(1+5+9+13\right)$
          $=14$

Observemos que los términos entre paréntesis de la penúltima línea de arriba están en progresión aritmética, cuya diferencia es $d=4$, el primer término tiene valor $1$ y el cuarto $13$, y, por tanto, bien podemos escribir que $\displaystyle \int_{0}^{4}\,(x+\left \lfloor x \right \rfloor)\,dx=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{(1+ 13)\cdot 4}{2}=14$ lo cual nos hace pensar en inducir una fórmula general para la integral $\displaystyle \int_{0}^{n}\,(x+\left \lfloor x \right \rfloor)\,dx$, con $n$ un número entero positivo, pues, visto cómo se ha desarrollado el cálculo de la integral definida pedida entre $0$ y $4$, fácilmente inducimos el siguiente resultado para esta otra, más general, cuyo resultado consta de $n$ términos de una progresión aritmética, con primer término, también, igual a $1$, y último término igual a $1+4\,(n-1)=4n-3$: $$\displaystyle \int_{0}^{n}\,(x+\left \lfloor x \right \rfloor)\,dx=\dfrac{1}{2}\,(1+5+9+13+\overset{\underbrace{n}}{\ldots}+(1+4\,(n-1)))=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(1+(4n-3))\,n}{2}=\dfrac{4n^2-2n}{4}=\dfrac{2n^2-n}{2}$$Notemos que, si $n=4$, obtenemos el resultado ya sabido: $\dfrac{2n^2-n}{2}=\dfrac{2\cdot 4^2-4}{2}=\dfrac{28}{2}=14$, como debe ser.

También podemos llegar directamente a este resultado general haciendo un poco de álgebra con sumatorios: $$\displaystyle \int_{0}^{n}\,(x+\left \lfloor x \right \rfloor)\,dx\overset{(1)}{=}\sum_{k=0}^{n-1}\,\int_{k}^{k+1}\,(x+k)\,dx$=\sum_{k=0}^{n-1}\,\dfrac{1}{2}\,\left((2k+1)^2-(2k)^2\right)=$$ $$=\dfrac{1}{2}\,\sum_{k=0}^{n-1}\,4k+1\overset{(2)}{=}\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(1+(4n-3))\,n}{2}=\dfrac{2n^2-n}{2}$$ Aclaraciones:
  (1): Entre $k=0$ y $k=n-1$ tenemos los $n$ sumandos del desarrollo
  (2): Recordemos que el término $n$-ésimo de una sucesión aritmética de diferencia $d$ y primer término $a_1$ es $a_n=a_1+d\,(n-1)$, y que la suma de los $n$ (sucesivos) primeros términos de dicha sucesión es $\dfrac{(a_1+a_n)\,n}{2}$. De ahí que la suma de los $n$ sucesivos primeros términos de una sucesión aritmética de primer término igual a $1$, diferencia igual a $4$, y último término igual a $1+4\,(n-1)$ es $\dfrac{(1+(4n-3))\,n}{2}$

Comentario: No siempre podremos evitar los desarrollos si empleamos herramientas de cálculo automático. Démonos cuenta de que al pedir a WolframAlpha que nos de directamente el resultado que acabamos de obtener, tecleando $$\text{integrate}(x+\text{floor}(x),x,0,n)$$ no obtenemos nada en claro:

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Ejemplo de integral definida que hay que calcular a tramos

ENUNCIADO. Calcúlese la siguiente integral definida $$\int_{-1}^{3} |x|\,dx$$

SOLUCIÓN. Hay que tener en cuenta la definición de la función de valor absoluto de $x$, que aparece en el integrando:
$$|x|=\left\{\begin{matrix}x&\text{si}& x\ge 0\\-x &\text{si}& x \prec 0 \end{matrix}\right.$$ Por consiguiente,

$\displaystyle \int_{-1}^{3} |x|\,dx=$
  $=\displaystyle \int_{-1}^{0} (-x)\,dx+\int_{0}^{3} x\,dx$
    $=\left[-\dfrac{1}{2}\,x^2\right]_{-1}^{0}+\left[\dfrac{1}{2}\,x^2\right]_{0}^{3} $
      $=\left(-\dfrac{1}{2}\cdot 0^2-(-1/2)\cdot (-1)^2\right)+\left(\dfrac{1}{2}\cdot 3^2-\dfrac{1}{2}\cdot 0^2\right)$
        $=\dfrac{1}{2}+\dfrac{9}{2}$
          $=\dfrac{10}{2}$
            $=5$
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Ejercicios de integrales definidas

Ejercicio a)
    Enunciado:
Calcular el valor de la integral definida

$\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}\,dx$

Resolución:
Con el cambio de variable $x=2\,\sin{\theta} \quad \quad (1)$, el denominador del integrando $\sqrt{4-x^2}$ queda - teniendo en cuenta la identidad fundamental de la trigonometria - de la forma $2\,\sqrt{1-\sin^2{\theta}}=2\,\cos{\theta}$

por otra parte, de (1) obtenemos $dx = 2 \, \cos{\theta}\, d\theta$

Calculemos ahora los límites de integración que corresponden
a la nueva variable $\theta$:
si $x=0$, $\theta=0$
si $x=1$, $\sin{\theta}=\frac{1}{2}$ y, por consiguiente, $\theta=\frac{\pi}{6}$

De ahí que podamos escribir

$\displaystyle \int_{0}^{1}\,\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}\,dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\,\dfrac{4\,\sin{\theta}\,\cos{\theta}}{2\,\cos{\theta}}\,d\theta = 2\,\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\,\sin{\theta}\,d\theta=2[-\cos{\theta}]_0^{\frac{\pi}{6}}$

que es igual a

$-2\big(\cos{\frac{\pi}{6}}-\cos{0}\big)$

teniendo en cuenta que

$\cos{\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

y, simplificando, podemos expresar el resultado de la forma

$2-\sqrt{3}$

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Ejercicio b)
    Enunciado:
Calcular el valor de la integral definida

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\,x\,\cos{x}\,dx$

Resolución:
El tipo de integrando nos lleva a emplear el método de integración por partes para obtener la primitiva de la función dada

$\int \, u\,dv=u\,v-\int\,v\,du$


Hagamos la siguente denominación:

$\cos{x}\,dx=du$
$x=v$

con lo cual

$u=\sin{x}$
$dv=dx$

De ahí que

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\,x\,\cos{x}\,dx=[x\,\sin{x}]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}\,\sin{x}\,dx \quad \quad \quad (1)$

Como
$[x\,\sin{x}]_{0}^{\pi}=0$
y
$\int_{0}^{\pi}\,\sin{x}\,dx=[-\cos{x}]_{0}^{\pi}=-\big(\cos{0}-\cos{\pi}\big)=-\big(1-(-1)\big)=2$

Concluimos, de (1), que
$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\,x\,\cos{x}\,dx=0-2=-2$

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[nota del autor]