Una ecuación que no tiene solución en el conjunto de los números reales, pero sí en el de los números complejos

Encaremos el siguiente reto (propio de Olimpiada Matemática), que consiste en intentar resolver la ecuación en el conjunto de los números complejos: $$1^x=2$$

Veamos, primero, que no es posible encontrar soluciones en el conjunto de los números reales. En efecto, podemos interpretar el miembro de la izquierda como la función real de una variable real: $f(x):=1^x=1 \,\forall, x\in \mathbb{R}$; es decir, es la función constante, con todas las ordenadas igual a $1$. Por otra parte, el segundo miembro, $g(x):=2$ es también una función constante, pero con todas las ordenadas igual a $2$. Es claro que las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ no van a intersecarse, puesto que $1\neq 2$, luego la ecuación no tiene solución en $\mathbb{R}$.

Sin embargo, como enseguida vamos a ver, la ecuación planteada sí tiene solución en el conjunto de los números complejos. Para ello, vamos a recordar la fórmula de Euler (estudiada en primero de bachillerato): $$e^{i\,\theta}=\cos\,\theta+i\,\sin\,\theta$$ siendo $\theta$ un ángulo en el plano complejo.

Entonces, démonos cuenta de que el $1$ de la base de la potencia $1^x$ del primer miembro puede escribirse de la forma $1=e^{i\,2k\pi}, \text{con}\;k\in \mathbb{Z}$. En consecuencia, la ecuación planteada, $1^x=2$, puede escribirse de la forma $$\displaystyle \left(e^{i\,2k\pi}\right)^x=2\;\,\forall k\in \mathbb{Z}$$ que podemos escribir de la forma $$\displaystyle e^{i\,2k\,\pi\,x}=2\;\,\forall k\in \mathbb{Z}$$ Operando con el logaritmo neperiano en cada miembro, $$\displaystyle \ln\,e^{i\,2k\,\pi\,x}=\ln\,2\;\,\forall k\in \mathbb{Z}$$ y por tanto, $$\displaystyle i\,2k\,\pi\,x \cdot \underset{1}{\underbrace{\ln\,e}}=\ln\,2\;\,\forall k\in \mathbb{Z}$$ en consecuencia, la solución consta de infinitos números complejos, con la siguiente estructura:
$$x=\dfrac{\ln\,2}{2k\,\pi\,i}=\dfrac{i\,\ln\,2}{2k\,\pi\,i^2}=-\dfrac{i\,\ln\,2}{2k\,\pi};\text{donde}\; \mathbb{Z} \ni k \neq 0$$ esto es, $$\displaystyle x\in \left\{ \pm\,\dfrac{i\,\ln\,2}{2\,\pi}, \pm\,\dfrac{i\,\ln\,2}{4\,\pi}, \pm\,\dfrac{i\,\ln\,2}{6\,\pi}, \ldots \right\}$$

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Un ejercicio acerca del teorema de Rolle

ENUNCIADO. Se considera la función $$g(x)=x\,e^{-x^2}+a\,x$$ donde $a$ es un parámetro real. Calcúlense los valores que puede tomar $a$ para que pueda aplicarse el teorema de Rolle en el intervalo de la variable independiente $[0,1]$

SOLUCIÓN.

Teorema de Rolle. Sea $g(x)$ una función real de una variable real, continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$. En estas condiciones, existe al menos un valor de $x$ entre $a$ y $b$ en el cual se anula la primera derivada de $g(x)$.

En el caso concreto que nos ocupa, la función derivada de $g(x)$ es $g'(x)=e^{-x^2}\,(1-2x^2)+a$. Al anularse dicha derivada (tesis), obtenemos $$a=(2\,x^2-1)\,e^{-x^2}$$ de manera que se tiene que en los extremos del intervalo señalado:
  i) Para $x:=0$, $a=(2\cdot 0-1)\cdot e^{0}=-1$
y
  ii) Para $x:=1$, $a=(2\cdot 1^2-1)\cdot e^{-1^2}=1\cdot e^{-1}=\dfrac{1}{e}$
luego el conjunto de valores pedidos de $a$ son tales que $-1 \prec a \prec \dfrac{1}{e}$
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La masa de una muestra radiactiva ...

ENUNCIADO
La masa de una muestra de una cierta sustancia radiactiva decrece según la función $m(t)=m_{o}\,e^{-0,1\,t}$. ¿ Al cabo de cuánto tiempo la muestra se ha reducido a la mitad ?. Si la masa inicial es igual a $27 \, \text{mg}$, ¿ cuál será la masa de la muestra al cabo de $10$ días ? ¿ Se va a desintegrar completamente dicha muestra ?

SOLUCIÓN
Como la masa inicial es $m(0)=m_0\,\,e^{-0,1\cdot 0}=m_0 \, e^0 = m_0 \cdot 1=m_0$, podemos escribir $$\dfrac{1}{2}\,m_0=m_{o}\,e^{-0,1\,t}$$ es decir $$\dfrac{1}{2}=e^{-0,1\,t}$$ Sacando logaritmos en cada miembro de la ecuación $$\ln{\dfrac{1}{2}}=-0,1\,t\,\ln{e}$$ de done, despejando $t$, llegamos a $$t=-\dfrac{\ln{1/2}}{0,1} \approx 6,9 \, \text{días}$$
La masa de la muestra al cabo de $10$ días, teniendo en cuenta que la masa inicial era de $27$ miligramos vendrá dada por el valor de función para $t=10$ días $$m(10)=27\,e^{-0,1 \cdot 10}$$ esto es $$m(10)=27\,e^{-1}=\dfrac{27}{e} \approx 10 \, \text{mg}$$
Para contestar a la última pregunta, debemos calcular el límite $$\displaystyle \lim_{t \rightarrow +\infty}\,m(t)$$ Veamos si es igual a cero; en cuyo caso, podremos afirmar que la muestra se va a desintegrar completamente. Y, en efecto, así es $$\displaystyle \lim_{t \rightarrow +\infty}\,m(t)=\lim_{t \rightarrow+\infty}\,m_{o}\,e^{-0,1\,t}=m_0\,\lim_{t \rightarrow+\infty}\,e^{-\infty}=0$$
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[nota del autor]

Una cuestión sobre continuidad de una función en ... ( Artículo escrito en catalán ).

Enunciat:
És contínua la funció
    $f(x)=\sin \, \dfrac{1}{x}$
en el punt d'abscissa $x=0$ ?

Solució:
La funció sinus no està definida per a $x=0$ perquè s'anul·la el denominador, llavors la funció no és contínua en aquest punt. Hem acabat.
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[nota del autor]

Ejercicio sobre las nociones de continuidad y derivabilidad. ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Donada la funció:
    $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \cup \{0\} \; , \; x \mapsto \left| \sqrt{\left|x-2\right|} \right|$
Raoneu:
a) És contínua en tot el seu domini d'existència ?
b) És derivable en tot el seu domini d'existència ?

Solució:

a) La funció és contínua en tots els punts del domini d'existència, que és $\mathbb{R}$
b) Malgrat ser contínua en tot el domini d'existència, la funció no és derivable en el punt d'abscissa $x=2$ perquè el límit que defineix la derivada en aquest punt no existeix; en efecte, els límits laterals divergeixen: a $+\infty$ per la dreta, i a $-\infty$ per l'esquerra:
    $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^+}\, \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = +\infty$
i
    $\lim_{h \rightarrow 0^-}\, \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=-\infty$
per tant
    $\displaystyle \nexists \lim_{h \rightarrow 0}\, \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} \Rightarrow \nexists f'(2)$
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[nota del autor]

Un hilo sobre un meridiano