La masa de una muestra radiactiva ...

ENUNCIADO
La masa de una muestra de una cierta sustancia radiactiva decrece según la función $m(t)=m_{o}\,e^{-0,1\,t}$. ¿ Al cabo de cuánto tiempo la muestra se ha reducido a la mitad ?. Si la masa inicial es igual a $27 \, \text{mg}$, ¿ cuál será la masa de la muestra al cabo de $10$ días ? ¿ Se va a desintegrar completamente dicha muestra ?

SOLUCIÓN
Como la masa inicial es $m(0)=m_0\,\,e^{-0,1\cdot 0}=m_0 \, e^0 = m_0 \cdot 1=m_0$, podemos escribir $$\dfrac{1}{2}\,m_0=m_{o}\,e^{-0,1\,t}$$ es decir $$\dfrac{1}{2}=e^{-0,1\,t}$$ Sacando logaritmos en cada miembro de la ecuación $$\ln{\dfrac{1}{2}}=-0,1\,t\,\ln{e}$$ de done, despejando $t$, llegamos a $$t=-\dfrac{\ln{1/2}}{0,1} \approx 6,9 \, \text{días}$$
La masa de la muestra al cabo de $10$ días, teniendo en cuenta que la masa inicial era de $27$ miligramos vendrá dada por el valor de función para $t=10$ días $$m(10)=27\,e^{-0,1 \cdot 10}$$ esto es $$m(10)=27\,e^{-1}=\dfrac{27}{e} \approx 10 \, \text{mg}$$
Para contestar a la última pregunta, debemos calcular el límite $$\displaystyle \lim_{t \rightarrow +\infty}\,m(t)$$ Veamos si es igual a cero; en cuyo caso, podremos afirmar que la muestra se va a desintegrar completamente. Y, en efecto, así es $$\displaystyle \lim_{t \rightarrow +\infty}\,m(t)=\lim_{t \rightarrow+\infty}\,m_{o}\,e^{-0,1\,t}=m_0\,\lim_{t \rightarrow+\infty}\,e^{-\infty}=0$$
$\square$

[nota del autor]