Una aplicació lineal f entre dos espais vectorials (f: U->V) ve representada per una matriu. El rang de l'aplicació lineal és igual al rang d'aquesta matriu associada. El següent exemple/exercici mostra com es pot trobar el rang d'una aplicació lineal donada. Tingueu en compte que el rang d'una matriu es defineix com l'ordre del major menor complementari no nul o, també, com a definició equivalent, el rang és igual al nombre de files no identicament nul·les que queden en esglaonar una matriu (això és així perquè el rang d'una matriu és invariant respecte les combinacions lineals entre files). Vegem doncs, tot seguit, l'exemple que us he preparat:
Enunciat:
Determineu el rang de l'aplicació lineal de l'espai vectorial R3 sobre l'espai vectorial R2 de tal manera que f(x1,x2,x3) = (x1+x2, 2x1-x3)
Resolució:
Primer de tot, trobem la matriu M de l'aplicació lineal. Tinguem en compte que (x1,x2,x3) és l'expressió d'un vector de R3 i que (x1+x2, 2x1-x3) és un vector de R2. La matriu M, aplicada sobre el vector de partida representa el producte d'aquesta per un vector 3 x 1, que ha de donar com a resultat un vector 2 x 1; és per això que l'ordre de M ha de ser 2 x 3.
Caldrà que es compleixi
de la qual cosa se'n desprèn el valor de cada coeficient de la matriu:
m11 = 1
m12 = 1
m13 = 0
m21 = 2
m22 = 0
m23 = -1
La matriu dels coeficients de l'aplicació lineal és, per tant,
Podem escriure l'aplicació lineal com la següent igualtat matricial:
Per determinar el rang de l'aplicació lineal (de la matriu dels coeficients de l'aplicació lineal que acabem d'escriure), mirem si hi ha algun determinant d'ordre 2 (un dels tres majors menors complementaris) que sigui diferent de zero. I, efectivament, en trobem, si més no, un:
que té un valor diferent de zero
Per tant, atès que almenys un dels menors complementaris d'ordre 2 (el màxim ordre que poden tenir per a la matriu dels coeficients donada) el rang de l'aplicació lineal, és igual a l'ordre d'aquest determinant: 2
|
|
No hay comentarios:
Publicar un comentario
Gracias por tus comentarios