SOLUCIÓN. Planteémonos primero un problema parecido, pero con números concretos y no muy grandes, para que no sea demasiado difícil establecer, luego, una generalización del resultado que vamos a encontrar. Pongamos que queremos distribuir tres lápices entre dos personas, $P_1$ y $P_2$. Podemos elaborar la siguiente codificación:
========= |P_1|P_2| ========= [xxx| ] [ |xxx] [ xx| x] [x | xx]Démonos cuenta de que al ser los lápices iguales, no importa el orden en que coloquemos en una misma celda de la tabla, por ello podemos decir que estamos abordando un problema de combinaciones, que no de variaciones, dada la irrelevancia del orden dentro de una misma celda. Por otra parte, elegida una cierta persona para asignar un lápiz, nada nos impide volver a elegirla para asignar otro lápiz, con lo cual el problema en cuestión es de combinaciones con repetición.
Construida la tabla, con todos los casos, podemos hacer fácilmente el recuento aditivo de todas las disposiciones, dando un total de $4$. Ahora bien, no podemos contentarnos con eso, pues si aumentamos el número de lápices o el número de personas, este tipo de recuento resultará inviable. Observemos que la codificación empleada nos hace pensar en el problema de formar "palabras" de $3+2-1$ símbolos: tres "x", y un separador "|" ( uno menos que el número de espacios a rellenar con los tres símbolos "x" ); así que, bien pensado, entendemos ahora de dónde sale el resultado obtenido. Como entre los $3+2-1$ símbolos que hay que forman cada "palabra" ( léase fila de la tabla ) debe haber necesariamente $3$ cruces y $2-1$ barras separadoras tendremos el siguiente número de disposiciones $$\dfrac{(3+(2-1))!}{3!\cdot (2-1)!}=4$$
En consecuencia, la generalización de ésto es inmediata: si se trata de distribuir $m$ lápices iguales entre $k$ personas ( o análogamente, pongamos que, querramos ubicar $m$ bolas iguales en $k$ urnas ), el número de maneras de hacerlo habrá de ser igual a $$\dfrac{(m+(k-1))!}{m!\cdot (k-1)!}$$ lo cual podemos expresarlo como un número combinatorio $$\binom{m+k-1}{m}$$ o lo que es lo mismo -- por las propiedades de dichos números -- podemos escribir también que el resultado es igual a $$\binom{m+k-1}{k-1}$$
Así pues, es ésta la solución a cualquier problema de combinaciones con repetición, de $m$ elementos y de orden $k$, pues representa el número de agrupaciones que se pueden formar tomando $k$ de dichos elementos iguales o distintos y considerando que dos agrupaciones son distintas cuando difieren en algún elemento. En algunos libros se suele notar de la forma $\text{CR}_{k,m}$ o incluso también así $\text{CR}_{k}^{m}$ En resumen,la siguiente expresión resuelve el problema de las combinaciones con repetición de $k$ objetos tomados en grupos de $m$: $$\displaystyle \text{CR}_{k,m}\equiv\binom{k+m-1}{m}=\binom{k+m-1}{k-1}$$
Observación. Si pretendemos aplicar las fórmulas sin mucha reflexión ( lo cual no es acosejable en absoluto ), en estos problemas hay que tener mucha precaución al concebir lo que son "objetos" y "lugares", pues muchas veces es contraintuitivo lo primero que se nos viene en mente. En este problema, por ejemplo, los "objetos" a repartir no son los lápices ( o las bolas ), sino las personas ( o las urnas ), y los "lugares" donde situar los objetos no son las personas ( urnas ), sino los lápices ( bolas ), ya que lo que estamos haciendo es asignar urna a cada bola ( o persona a cada lápiz ). Así, por ejemplo, la respuesta a la pregunta ¿ de cuántas maneras podemos repartir $6$ bolas idénticas ( $6$ lápices idénticos ) en $10$ urnas ( entre $10$ personas ) ? es de $\displaystyle \text{CR}_{10,6}\equiv\binom{10+6-1}{6}=\binom{15}{6}=5005$ maneras distintas
Nota: Las combinaciones con repetición de $n$ elementos de un conjunto en $k$ clases, $CR_{k,n}$, también puede designarse de la forma $\displaystyle \left(\binom{k}{n}\right)$ $\square$
