Discutir, según los valores de $m \in \mathbb{R}$, el sistema de ecuaciones siguiente: $$\left\{\begin{matrix} 4\,x & + & 3\,y & +&(m-1)\,z&=&0\\ x & - & 2\,y & +&m\,z&=&1\\ 5\,x & + & m\,y & +&z&=&1\\ \end{matrix}\right.$$ ...

ENUNCIADO
a) Discutir, según los valores de $m \in \mathbb{R}$, el sistema de ecuaciones siguiente: $$\left\{\begin{matrix}
4\,x & + & 3\,y & +&(m-1)\,z&=&0\\
x & - & 2\,y & +&m\,z&=&1\\
5\,x & + & m\,y & +&z&=&1\\
\end{matrix}\right.$$
b) Resolver el sistema anterior para el caso $m=1$

[ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN
(a)
Escribiendo el sistema de ecuaciones en forma matricial $AX=B$: $$\begin{pmatrix}
4 & 3 & m-1 \\
1 &-2 &m \\
5& m & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
1
\end{pmatrix}$$

Realizando un análisis de rangos, recurriremos al Teorema de Rouché-Fröbenius para realizar la discusión del sistema en función de los valores que tome el parámetro $m$. La matriz de los coeficientes del sistema, ampliada con los términos independientes, es $$\tilde{A}=(A|B)=\left(\begin{array}{ccc|c}
4 & 3 & m-1 & 0\\
1 & -2 & m & 1\\
5 & m & 1 & 1\\
\end{array}\right)$$ Procedemos, ahora, a reducirla por Gauss ( el rango de las matrices resultantes de aplicar operaciones elementales por filas es invariante ):

Con las operaciones $-4\,f_2+f_1 \rightarrow f_2\;-5\,f_2+f_3 \rightarrow f_3$ llegamos a $$\left(\begin{array}{ccc|c}
4 & 3 & m-1 & 0\\
0 & 11 & -3\,m-1 & -4\\
0 & 10+m & -5\,m+1 & -4\\
\end{array}\right)$$ y haciendo $-\dfrac{1}{11}\,(10+m)\,f_2+f_3 \rightarrow f_3$ llegamos a la matriz escalonada $$\left(\begin{array}{ccc|c}
4 & 3 & m-1 & 0\\
0 & 11 & -3\,m-1 & -4\\
0 & 0 & \dfrac{3}{11}\,(m^2-8m+7) & \dfrac{4}{11}\,(m-1)\\
\end{array}\right)$$

Observemos que, en este caso, los valores que puedan tomar los coeficientes de la tercera fila determinan completamente el resultado de la discusión; para ello tendremos en cuenta los valores para los cuales se anulan dichos coeficientes: $m^2-8m+7=0 \Leftrightarrow x \in \{1\,,\,7\}$; y, además, $m-1=0 \Leftrightarrow m=1$. Con lo cual, distinguimos los siguientes casos:

Caso I.
Si $m=1$, entonces $m^2-8m+7=0$ y $m-1=0$; por tanto, $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=2$, por lo que podemos afirmar que ( al coincidir los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada ) el sistema es compatible, siendo el rango, $r$, del sistema de ecuaciones ( esto es, el número de ecuaciones linealmente independientes ) igual a $2$. Y como $r=2 \prec n=3$, el sistema es, compatible indeterminado, con $n-r=3-2=1$ variable secundaria, y dos variables principales.

Caso II.
Si $m=7$, entonces $m^2-8m+7=0$ y $m-1 \neq 0$, con lo cual $\text{rg}(A)=2$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$, luego $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(\tilde{A})$ y, por tanto, el sistema es incompatible.

Caso III.
Si $m \notin \{1\,,\,7\}$, entonces $m^2-8m+7 \neq 0$ y $m-1 \neq 0$, con lo cual $\text{rg}(A)=3$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$, por lo que, al coincidir los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada, deducimos que el sistema es compatible; y, como, además, el rango, $r$, del sistema de ecuaciones, que es $3$, es igual al número de incógnitas, $n$, concluimos que el sistema es, en este caso, compatible determinado.

-oOo-
OTRA FORMA de llevar a cabo la discusión pedida consiste en hacer uso del método de los determinantes para hallar los rangos de las matrices $A$ y $\tilde{A}$. Veámoslo a continuación.

Observemos que, por ejemplo, la submatriz de orden $2$ formada por los coeficientes de las filas primera y segunda y de las columnas primera y segunda ( es submatriz de $\tilde{A}$, y por tanto también de $A$ ) tiene determinante no nulo $$\begin{vmatrix}
4 & 3\\
1 & -2
\end{vmatrix} = -11 \neq 0$$ de donde podemos deducir que $\text{rg}(A) \ge 2$ y $\text{rg}(\tilde{A}) \ge 2$. Orlando dicha submatriz, encontramos sólo dos submatrices de un orden mayor, cuyos determinantes son:
$$\Delta_1=\begin{vmatrix}
4 & 3 & m-1\\
1 & -2 & m \\
5 & m & 1
\end{vmatrix}=-3\,(m^2-8m+7)$$ y $$\Delta_2=\begin{vmatrix}
4 & 3 & 0\\
1 & -2 & 1 \\
5 & m & 1
\end{vmatrix}=m-1$$
Démonos cuenta, ahora, de que $\Delta_1=0 \Leftrightarrow m \in \{1\,,\,7\}$ y $\Delta_2=0 \Leftrightarrow m=1$. Llegados a este punto, ya podemos iniciar la discusión:

Caso I.
Si $m=1$, entonces $\Delta_1=0$ y $\Delta_2 = 0$, luego $\text{rg}(A)=\text{rg}(\tilde{A})=2$, por lo que podemos afirmar que ( al coincidir los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada ) el sistema es compatible, siendo el rango, $r$, del sistema de ecuaciones ( esto es, el número de ecuaciones linealmente independientes ) igual a $2$. Y como $r=2 \prec n=3$, el sistema es, compatible indeterminado, con $n-r=3-2=1$ variable secundaria, y dos variables principales.

Caso II.
Si $m=7$, entonces $\Delta_1=0$ y $\Delta_2 \neq 0$, con lo cual $\text{rg}(A)=2$ y $\text{rg}(\tilde{A})=3$, luego $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(\tilde{A})$ y, por tanto, el sistema es incompatible.

Caso III.
Si $m \notin \{1\,,\,7\}$, entonces $\Delta_1 \neq 0$ ( y por tanto $\text{rg}(A)=3$ ) y $\Delta_2 \neq 0$ ( y por tanto $\text{rg}(\tilde{A})=3$ ). Al coincidir los rangos de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada, deducimos que el sistema es compatible; y, como, además, el rango, $r$, del sistema de ecuaciones, que es $3$, es igual al número de incógnitas, $n$, concluimos que el sistema es, en este caso, compatible determinado.

(b)
Si $m=1$, estamos en el caso I ( sistema compatible indeterminado con una variable secundaria ), y el sistema ( ya reducido ) se puede escribir de la forma $$\left\{\begin{matrix}
4\,x &+ & 3\,y&&&=&0 \\
& & 11\,y&-&4\,z&=&-4 \\
\end{matrix}\right.$$
Como debemos elegir una variable secundaria, escogemos, por ejemplo, $\lambda:=z-4$, con lo cual nos queda $$\left\{\begin{matrix}
4\,x &+ & 3\,y&&&=&0 \\
& & 11\,y&&&=&\lambda \\
& &&&z&=&\lambda+4 \\
\end{matrix}\right.$$ Despejando $y$ de la segunda ecuación, obtenemos $y=\dfrac{1}{11}\,\lambda$; y, sustituyendo este valor en la primera ecuación, obtenemos el valor de $x$: $x=-\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{11}\,\lambda$, esto es, $x=-\dfrac{3}{44}\,\lambda$.

Así pues, la solución del sistema viene dada por las infinitas ternas de números reales cuya estructura es $$\lbrace (-\dfrac{3}{44}\,\lambda\,,\,\dfrac{1}{11}\,\lambda\,,\,\lambda+4):\,\lambda \in \mathbb{R} \rbrace$$
$\square$