Derivar la función $y=x^x$ ... ( Artículo escrito en catalán )

Extraient logaritmes a cada costat de la igualtat queda
$\displaystyle \ln{f(x)}=h(x)\, \ln{g(x)}$
derivant a cada membre de la igualtat obtenim
$\displaystyle \frac{f^{'}(x)}{f(x)}=h^{'}(x)\,\cdot\,\ln{g(x)} + h(x)\,\cdot\,\dfrac{1}{g(x)}\,\cdot\,g^{'}(x)$
Aïllant, finalment, $f'(x)$, trobem
$\displaystyle f'(x)=f(x)\,\cdot\,\Bigg(h^{'}(x)\,\cdot\,\ln{g(x)} + h(x)\,\cdot\,\dfrac{1}{g(x)}\,\cdot\,g^{'}(x)\Bigg)$
$\square$

Exemple 1
Trobeu la funció derivada de la funció $y=x^x$

===

Extraient logaritmes a cada membre
$\ln{y}=x\,\cdot\,\ln{x}$
Derivant a cada membre
$\dfrac{y^{'}}{y}=1\,\cdot\,\ln{x}+x\,\cdot\,\dfrac{1}{x}$
que, aïllant $y^{'}$, i simplificant
$\displaystyle y^{'}=x^x \, \cdot \, \big(\ln{x}+1\big)$
$\square$

Exemple 2
Demostreu que si $y=x^{k}$, on $k \in \mathbb{R}$, llavors
$y^{'}=k\,\cdot\,x^{k-1}$

===

Extraiem logaritmes a cada membre

$\ln{y}=k\,\ln{x}$

i, derivant (a cada costat de la igualtat), podem escriure

$\dfrac{1}{y}\,\cdot\,y^{'}=k\,\cdot\,\dfrac{1}{x}$

per acabar, aïllem $y^{'}$ del primer membre

$y^{'}=y\,\cdot\,\dfrac{k}{x}$

expressió que, donada la definició de $y$, s'escriu

$y^{'}=x^{k}\,\cdot\,\dfrac{k}{x}$

i, simplificant

$y^{'}=k\,\cdot\, x^{k-1}$

$\square$

[nota del autor]