Dada la función ...

ENUNCIADO
Dada la función $$f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{\sin{x}}{x}\,,\, \text{si}\,x \prec 0 \\ \\ x\,e^x+1 \,,\, \text{si}\,x \ge 0 \end{matrix}\right.$$
se pide:
a) Estudiar la continuidad de $f$
b) Estudiar la derivabilidad de $f$ y calcular $f'$ donde sea posible
c) Calcular $\displaystyle \int_{1}^{3}\,f(x)\,dx$

[ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN
a)
El único punto donde $f$ puede presentar problemas de continuidad es $x=0$; en los demás puntos de $D_f$ la función es continua, por ser continua en sendos tramos. Veamos, ahora, si se cumplen las condiciones de continuidad en dicho punto.

i) Existencia de los límites laterales en $x=0$:

$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{\sin{x}}{x}\overset{\text{indet.} \frac{0}{0} \rightarrow \text{L'Hôpital}}{=} \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{(\sin{x})'}{(x)'}=\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{\cos{x}}{1}=\cos{0}=1$$

$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow 0}\,(x\,e^x+1)=0\cdot e^{0}+1=0\cdot 1+1=0+1=1$$

ii) Existencia del límite global en $x=0$:
Como existen los límites laterales en $x=0$ y su valor coincide, existe el límite global en $x=0$ y su valor es $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,f(x)=1$$

iii) El valor del límite global coincide con el valor de la función de $x=0$:
Como $f(1) \overset{\text{definición}}{=} e^{0}+1=0\cdot 1+1=0+1=1$
$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,f(x)=f(1)=1$$

Entonces, al cumplirse las tres condiciones necesarias y suficientes de continuidad en un punto ( $x=0$ ), podemos afirmar que la función es continua en $x=0$

b)
El único punto donde la función podría no ser derivable es en $x=0$ ( a pesar de ser continua en dicho punto ). Para que la función sea derivable en $x=0$ es necesario que existan los límites $\displaystyle f'(0^{-}) \equiv\lim_{x \rightarrow h}\,\dfrac{f(0-h)-f(0)}{h}$ y $f'(0^{+}) \equiv \displaystyle \lim_{x \rightarrow h}\,\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$ y que sus valores coincidan, esto es, que las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de la función, a izquierda y a derecha de dicho punto, tengan el mismo valor. Calculemos estas derivadas; la del primer tramo es $$\left(\dfrac{\sin{x}}{x}\right)'=\dfrac{x\,\cos{x}-\sin{x}}{x^2}$$ y la del segundo tramo $$\left( x\,e^x+1\right)'=e^{x}\,(x+1)$$ luego $$\displaystyle f'(0^{-}) \equiv \lim_{x \rightarrow h}\,\dfrac{f(0-h)-f(0)}{h}=\lim_{x \rightarrow 0^{-}}\,\dfrac{x\,\cos{x}-\sin{x}}{x^2} \overset{\text{indet.},\frac{0}{0} \rightarrow \text{L'Hôpital}}{=}$$
$$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^{-}}\,\dfrac{(x\,\cos{x}-\sin{x})'}{(x^2)'} =\lim_{x \rightarrow 0^{-}}\,\dfrac{-\sin{x}}{2}=-\dfrac{1}{2}\,\sin{0}=-\dfrac{1}{2}\cdot 0=0$$ y $$\displaystyle f'(0^{+}) \equiv \lim_{x \rightarrow h}\,\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{x \rightarrow 0^{+}}\,e^{x}\,(x+1)=e^{0}\,(0+1)=1\cdot (0+1)=1$$
Ahora bien, como $f'(0^{-}) \neq f'(0^{+})$, el límite global mediante el que se define la derivada no existe ( en $x=0$ ), es decir, $f$ no es derivable en $x=0$.

c)
Por el Primer Teorema Fundamental del Cálculo, una primitiva de $x\,e^{x}+1$ ( que es el tramo de función del integrando, ya que integramos de $1$ a $3$, ambos mayores que $0$ ) es $e^{x}\,(x-1)+x$ ( integrando por partes ), y, por el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo ( regla de Barrow ), tenemos que

$\displaystyle \int_{1}^{3}\,f(x)\,dx=\int_{1}^{3}\,(x\,e^x+1)\,dx=\left[ e^{x}\,(x-1)+x \right]_{1}^{3}$

$=(e^{3}\,(3-1)+3)-(e^{1}\,(1-1)+1)=2\,(e^3+1)$

$\square$

[nota del autor]