Aplicaciones de la derivada. Ecuación de la recta tangente a la curva de una función dada en un cierto punto.

ENUNCIADO. Determínese la ecuación de la recta tangente a la curva asociada a la función $f(x)=x^3+x+1$ en el punto de abscisa $x=1$

SOLUCIÓN. La ecuación de la recta (tangente) pedida es $\text{r.t.}\equiv y=mx+k$ ( ecuación en forma explícita de una recta en el plano ), donde $m$ es la pendiente de la recta y $k$ es la ordenada en el origen. Sabemos que $m\overset{\text{def}}{=}f'(1)$. Teniendo en cuenta que $f'(x)=3\,x^2+1$, vemos que $f'(1)=3\cdot 1^2+1=4$, luego $m=4$. Por otra parte, el valor de la ordenada de la función del punto con abscisa igual a $1$, $f(1)$, ha de ser igual al valor de la ordenada de la función lineal $y=4x+k$ en $x=1$, por consiguiente, como $f(1)=1^3+1+1=3$, tenemos que $3=4\cdot 1 +k$, de donde despejando $k$, se obtiene $k=3-4=-1$. En consecuencia, la ecuación de la recta tangenete pedida es $$y=4x-1$$
$\square$

Determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ... ( Artículo escrito en catalán )

Encunciat:
Determineu l'equació de la recta tangent a la corba $f(x)=-x^2+5$ en el punt d'abscissa igual a $2$

Resolució:
Escriurem l'equació de la recta tangent en forma explícita
$\text{r.t.}:\,y=m\,x+k$
Calcularem, doncs, el valor dels coeficients $m$ (pendent) i $k$ (ordenada a l'origen); per això, tindrem en compte: a) el pendent $m$ és igual al valor de la derivada de la funció en el punt P d'abscissa donada (significat geomètric de la derivada), i b) les ordenades de la recta tangent i de la corba han de tenir el mateix valor en el punt de tangència.

a) La funció derivada s'obté fàcilment (regles de derivació):
        $f^{'}(x)=-2\,x$
i en el punt P d'abscissa $x=2$ pren el valor
        $f^{'}(2)=-4$
que ha de correspondre al valor de $m$

b) En el punt P d'abscissa $x=2$ (punt de tangència i, per tant, de contacte de la recta i la corba) l'ordenada de la funció ha de ser igual a l'ordenada de la recta tangent. L'ordenada de P, per la funció $f(x)$, és igual a
        $f(2)=-2^2+5$
                  $=1 \quad \quad \quad \quad \quad (1)$
I, d'acord amb l'equació de la recta, l'ordenada P és igual a
        $2\,m+k$
i, atès que $m=-4$ queda igual a
        $2\,(-4)+k \quad \quad \quad \quad (2)$

Igualant (1) i (2)
        $-8+k = 1$
i, d'aquí, trobem el valor de l'ordenada a l'origen de la recta tangent
        $k = 9$

Finalment, ja podem concretar l''equació de la recta tangent:
        $\text{r.t.}:\,y=-4\,x+9$

$\square$

[nota del autor]