ENUNCIADO. El tiempo de reacción del conductor de un automóvil es de 0,75 s [ tiempo que transcurre entre la percepción de una señal para detenerse y la aplicación de los frenos ]. Si dicho automóvil puede desacelerar a razón de $5\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Se pide:
a) Calcular la distancia total recorrida hasta detenerse después de observar la señal, suponiendo que la velocidad a la que se desplaza el automóvil es de $100\,\dfrac{\text{km}}{h}$
b) La velocidad del vehículo después de $1\,\text{s}$ de haber observado la señal.
c) La velocidad del vehículo después de $1\,\text{s}$ de haber empezado a frenar.
SOLUCIÓN.
a)
Expresemos la velocidad inicial, $v_i$, en unidades del SI, tal como vienen dados el resto de los datos $$v_i=100\, \dfrac{\text{km}}{\text{h}}\cdot 1000\, \dfrac{\text{m}}{\text{km}}\cdot \dfrac{1}{3600}\,\dfrac{h}{s}=\dfrac{250}{9}\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$$ Como la velocidad final ( detenido el vehículo ) es $v_f=0$, el tiempo de frenado viene dado por $$0 = v_i - a\,t_{\text{frenado}} \Rightarrow t_{\text{frenado}}=\dfrac{v_i}{a}=\dfrac{250/9}{5}=\dfrac{50}{9}\,\text{s}$$ Entonces, la distancia recorrida entre el instante de la percepción de la señal y el instante en el que el vehículo queda detenido es ( movimiento rectilinieo uniformemente desacelerado ) $$\dfrac{1}{2}\,a\,t_{\text{frenado}}^2+v_i\,t_{\text{reacción}}$$ que, con los datos del problema, es igual a $$\dfrac{1}{2}\cdot 5 \cdot \left( \dfrac{250/9}{5}\right)^2+\dfrac{250}{9}\cdot 0,75 \approx 98 \,\text{m}$$
b)
Para calcular la velocidad del vehículo $1\,\text{s}$ después de que el conductur haya observado la señal debemos tener en cuenta que el tiempo de frenado es igual a $1-t_{\text{reacción}}=\dfrac{1}{4}\,\text{s}$, y por tanto ( movimiento rectilíneo uniformemente desacelerado ) es igual a $$v_i - a\,t_{\text{frenado}}=250/9-5\cdot (1-0,75) = \dfrac{955}{36}\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 95,5 \,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$$
c)
La velocidad del vehículo $1\,\text{s}$ después de haber empezado a frenar ( movimiento rectilíneo uniformemente desacelerado ) es igual a a $$v_i - a\,t_{\text{frenado}}=250/9-5\cdot 1 = \dfrac{205}{9}\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 82 \,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$$
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lunes, 22 de abril de 2019
miércoles, 27 de mayo de 2015
Una partícula se desplaza en línea recta y su función de celeridad ...
ENUNCIADO
Una partícula se desplaza en línea recta y su función celeridad ( módulo de la velocidad ), en cada instante de tiempo, se describe mediante la función $v(t)=t^2$ ( en metros por segundo ). ¿ Qué distancia recorre entre los instantes de tiempo $t=1\,\text{s}$ y $t=10\,\text{s}$ ?
SOLUCIÓN
Como la función que proporciona la posición de la partícula en todo instante de tiempo ( respecto del origen de coordenadas ) viene dada por $$x(t)=\int\,v(t)\,dt+C$$ ( véase la entrada anterior en este mismo blog ), podemos calcular la distancia, $d$, pedida mediante el cálculo de la integral definida $$\int_{1}^{10}\,(t^2+C)\,dt$$ y, por el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo ( regla de Barrow ), esto es igual a $$\left[\dfrac{1}{3}\,(t^3+C)\right]_{1}^{10}=\dfrac{1}{3}\,(27-1)=\dfrac{26}{3}\,\text{m}$$
Comentario 1:
Observemos que, en este problema, no necesitamos conocer el valor concreto de la constante de integración, $C$; esto es, no es relevante la información de en qué posición se encuentra la partícula en tal o cuál momento, puesto que sólo se nos pide que calculemos la diferencia entre la posición final y la inicial, con lo cual, al aplicar la regla de Barrow, dicha constante se anula.
Comentario 2:
En estos problemas de cinemática, se puede ver que, el valor de la integral definida, si bien ésta está relacionada con el problema de hallar el "área bajo la curva" - con los necesarios matices -, no viene dado en unidades de área, en el sentido geométrico, sino en unidades de la magnitud física que dé significado a dicho cálculo; en este caso, se trata de la magnitud longitud; en otros casos, el alumno tiene ocasión de comprobar ( en la asignatura de Física ) que se refiere a otras magnitudes, como, por ejemplo, la energía, en su caso; y, otras veces, se tratará, pongamos como ejemplo, que de un número de individuos ( en un problema de dinámica de poblaciones ), tan propio de la Biología o de las Ciencias Sociales.
$\square$
Una partícula se desplaza en línea recta y su función celeridad ( módulo de la velocidad ), en cada instante de tiempo, se describe mediante la función $v(t)=t^2$ ( en metros por segundo ). ¿ Qué distancia recorre entre los instantes de tiempo $t=1\,\text{s}$ y $t=10\,\text{s}$ ?
SOLUCIÓN
Como la función que proporciona la posición de la partícula en todo instante de tiempo ( respecto del origen de coordenadas ) viene dada por $$x(t)=\int\,v(t)\,dt+C$$ ( véase la entrada anterior en este mismo blog ), podemos calcular la distancia, $d$, pedida mediante el cálculo de la integral definida $$\int_{1}^{10}\,(t^2+C)\,dt$$ y, por el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo ( regla de Barrow ), esto es igual a $$\left[\dfrac{1}{3}\,(t^3+C)\right]_{1}^{10}=\dfrac{1}{3}\,(27-1)=\dfrac{26}{3}\,\text{m}$$
Comentario 1:
Observemos que, en este problema, no necesitamos conocer el valor concreto de la constante de integración, $C$; esto es, no es relevante la información de en qué posición se encuentra la partícula en tal o cuál momento, puesto que sólo se nos pide que calculemos la diferencia entre la posición final y la inicial, con lo cual, al aplicar la regla de Barrow, dicha constante se anula.
Comentario 2:
En estos problemas de cinemática, se puede ver que, el valor de la integral definida, si bien ésta está relacionada con el problema de hallar el "área bajo la curva" - con los necesarios matices -, no viene dado en unidades de área, en el sentido geométrico, sino en unidades de la magnitud física que dé significado a dicho cálculo; en este caso, se trata de la magnitud longitud; en otros casos, el alumno tiene ocasión de comprobar ( en la asignatura de Física ) que se refiere a otras magnitudes, como, por ejemplo, la energía, en su caso; y, otras veces, se tratará, pongamos como ejemplo, que de un número de individuos ( en un problema de dinámica de poblaciones ), tan propio de la Biología o de las Ciencias Sociales.
$\square$
Una partícula se mueve en línea recta, con una celeridad de ...
ENUNCIADO
Una partícula se mueve en línea recta, con una celeridad ( módulo de la velocidad ) dada por la función $v(t)=t^3$ ( en metros por segundo ). Se sabe que en el instante $t=1\,\text{s}$ se encuentra a $10\,\text{m}$ del origen de coordenadas. ¿ Cuál es su posición en cada instante de tiempo ? ¿ Cuál es la función que da el módulo de aceleración en cada instante de tiempo ?.
SOLUCIÓN
Como la función celeridad se define como la derivada de coordenada de posición, $x(t)$, respecto del origen de coordenadas, podemos escribir $$\dfrac{dx}{dt}=t^3$$ luego, empleando la notación de Leibniz $$dx=t^3\,dt$$ con lo cual $$\int dx = \int t^3\,dt$$ que es igual a la familia de primitivas $$x(t)=\dfrac{1}{4}\,t^4+C$$ Ahora bien, debemos determinar el valor de la constante de integración, dadas las condiciones del enunciado; así, pues, como $x(1)=10$ tenemos que $$10=\dfrac{1}{4}\,1^4+C $$ y por tanto, despejando la constante de integración, $$C=10-\dfrac{1}{4}=\dfrac{39}{4}$$. En consecuencia, $$x(t)=\dfrac{1}{4}\,x^4+\dfrac{39}{4}$$
Por otra parte, el módulo de la aceleración se define como el ritmo instantáneo de variación de la función celeridad, $a(t)=(v(t))'=(t^4)'=4\,t^3$. $\square$
Una partícula se mueve en línea recta, con una celeridad ( módulo de la velocidad ) dada por la función $v(t)=t^3$ ( en metros por segundo ). Se sabe que en el instante $t=1\,\text{s}$ se encuentra a $10\,\text{m}$ del origen de coordenadas. ¿ Cuál es su posición en cada instante de tiempo ? ¿ Cuál es la función que da el módulo de aceleración en cada instante de tiempo ?.
SOLUCIÓN
Como la función celeridad se define como la derivada de coordenada de posición, $x(t)$, respecto del origen de coordenadas, podemos escribir $$\dfrac{dx}{dt}=t^3$$ luego, empleando la notación de Leibniz $$dx=t^3\,dt$$ con lo cual $$\int dx = \int t^3\,dt$$ que es igual a la familia de primitivas $$x(t)=\dfrac{1}{4}\,t^4+C$$ Ahora bien, debemos determinar el valor de la constante de integración, dadas las condiciones del enunciado; así, pues, como $x(1)=10$ tenemos que $$10=\dfrac{1}{4}\,1^4+C $$ y por tanto, despejando la constante de integración, $$C=10-\dfrac{1}{4}=\dfrac{39}{4}$$. En consecuencia, $$x(t)=\dfrac{1}{4}\,x^4+\dfrac{39}{4}$$
Por otra parte, el módulo de la aceleración se define como el ritmo instantáneo de variación de la función celeridad, $a(t)=(v(t))'=(t^4)'=4\,t^3$. $\square$
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