Desde la boca de un pozo, se lanza una piedra y se cronometra el tiempo que tarda en chocar contra la superficie del agua del fondo

ENUNCIADO
Desde la boca de un pozo, se lanza una piedra y se cronometra el tiempo que tarda en chocar contra la superficie del agua del fondo, que resulta ser $2 \, s$. Teniendo en cuenta que el movimiento en caída libre se caracteriza por ser la velocidad proporcional al tiempo en todo instante de tiempo, $v(t) \propto t$, siendo el valor aproximado de la constante de proporcionalidad ( en la superficie de la Tierra ) de $g=9,8 \, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$, calcúlese la profundidad del pozo ( la distancia entre la boca y la superficie del agua del fondo ), despreciando el tiempo que tarda la onda sonora del choque en recorrer la longitud del pozo.

SOLUCIÓN
Teniendo en cuenta que $v(t) = g\,t$, y que la función $v(t)$ es la función derivada de la función de posición de la piedra ( tomando como referencia la boca del pozo ) con respecto a la variable tiempo, $t$, podemos escribir ( empleando la notación de Leibniz ) que $$\dfrac{dx}{dt}=g\,t$$
y por tanto
$$dx=g\,t\,dt$$
con lo cual, integrando en cada miembro de la igualdad,
$$\int\,dx=g\,\int\,t\,dt$$
es decir
$$x(t)=\dfrac{1}{2}\,g\,t^2+C$$
pero como $x(0)=0$, resulta que $C=0$; así
$$x(t)=\dfrac{1}{2}\,g\,t^2$$
Utilizando, ahora, la información sobre el tiempo de caída, obtenemos la profundidad del pozo:
$$x(5)=\dfrac{1}{2}\cdot 9,8 \cdot 2^2 \approx 20 \, \text{m}$$
$\square$

[nota del autor]