Ejercicio sobre conceptos del espacio euclídeo

ENUNCIADO
Dados el punto $P(-4,6,6)$, el origen de coordenadas $O$, y la recta $$r:\,\left\{\begin{matrix} x & = & -4 + 4\,\lambda \\ y & = & 8 + 3\,\lambda \\ z & = & -2\,\lambda\\ \end{matrix}\right.$$
se pide:

a) Determinar el punto $Q$ de $r$, de modo que su proyección $Q'$ sobre el segmento $\overline{OP}$ sea su punto medio

b) Determinar la distancia del punto $P$ a $r$

c) ¿ Existe algún punto $R$ de la recta $r$, de modo que los puntos $O$, $P$ y $R$ estén alineados ? En caso afirmativo, encontrar el punto ( o los puntos ) con esa propiedad o, en caso negativo, justificar la no existencia.

[ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN

(a)
Las coordenadas del punto medio, $Q'$, del segmento $\overline{OP}$ son $(\dfrac{-4+0}{2},\dfrac{6+0}{2},\dfrac{6+0}{2})=(-2,3,3)$ y las componentes del vector $\overrightarrow{OP}$ son $(-4,6,6)$. Entonces, la familia de planos paralelos con vector normal $\overrightarrow{OP}$ es $\mathcal{F}:\,-4x+6y+6z+D=0$. La ecuación del plano $\pi$ ( de esa familia de planos ) que pasa por el punto $Q'(-2,3,3)$ se determina calculando el valor del coeficiente $D$, imponiendo que dicho punto esté en el plano: $-4(-2)+6\cdot 3+6 \cdot 3+D=0 \Rightarrow D=-44$, luego $\pi:\,-4x+6y+6z-44=0$, que, simplificada queda $\pi:\,2x-3y-3z+22=0$

Por otra parte, despejando el parámetro $\lambda$, obtenemos la ecuación de la recta $r$ en forma continua: $$\dfrac{x+4}{4}=\dfrac{y-8}{3}=\dfrac{z-0}{-2}$$ , que podemos expresar también mediante las dos ecuaciones siguientes: $$\left\{\begin{matrix} \dfrac{x+4}{4} &=&\dfrac{z}{-2} \\ \\ \dfrac{y-8}{3} &=&\dfrac{z}{-2} \\ \end{matrix}\right.$$ La intersección de $\pi$ y $r$ determina el punto pedido, $Q$, cuya proyección es el punto dado $Q'$; sus coordenadas son, por tanto, la solución del siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix} 2x-3y-3z+22&=&0 \\ \\ \dfrac{x+4}{4} &=&\dfrac{z}{-2} \\ \\ \dfrac{y-8}{3} &=&\dfrac{z}{-2} \\ \end{matrix}\right.$$
simplificándolo
$$\left\{\begin{matrix} 2x & - & 3y & - &3z&=&-22 \\ -x & & & - &2z&=&4 \\ & & -2y & - &3z&=&-16 \end{matrix}\right.$$
y reduciéndolo por Gauss ( primera etapa: $2\,e_2+e_1 \rightarrow e_2$; segunda etapa: $\dfrac{2}{3}\,e_2+e_3 \rightarrow e_3$ [ omitimos los pasos de cálculo ] ),
$$\left\{\begin{matrix} 2x & - & 3y & - &3z&=&-22 \\ & & 3y & + &7z&=&14 \\ & & & &z&=&-4 \end{matrix}\right.$$
con lo cual, sustituyendo el valor de $z$ ( tercera ecuación ) en la segunda, llegamos a $y=14$; y, sustituyendo los valores encontrados de $z$ e $y$ en la primera ecuación, obtenemos $x=4$. Así, pues, las coordenadas del punto $Q$ pedido son $(4,14,-4)$

$\square$


(b)
Procedemos a calcular la distancia entre $P(-4,6,6)$ y $r:\,\dfrac{x+4}{4}=\dfrac{y-8}{3}=\dfrac{z-0}{-2}$; para ello, vamos a hallar el plano $\sigma$ perpendicular a $r$ que contiene a $P$; a continuación, calcularemos las coordenadas del punto de intersección, $P'$, entre $r$ y $\sigma$; y, finalmente, encontramos la distancia pedida calculando $\left\|\overrightarrow{PP'} \right\|$

Como las componentes de un vector perpendicular a los planos que son perpendiculares a $r$ son las de cualquier vector director de dicha recta, de la ecuación de la recta $r$, en forma continua, vemos que un vector director de la misma es $(4,3,-2)$, luego la familia de planos perpendiculares a $r$ viene dada por $\mathcal{F}:\,4x+3y-2z+D=0$. De aquí, determinaremos el valor del coeficiente $D$ correspondiente a la ecuación del plano $\sigma$ imponiendo que $P$ sea un punto de $\sigma$, por tanto debe cumplirse que $4(-4)+3 \cdot 6 + (-2)\cdot 6 +D =0 \Leftrightarrow D=10$; así, $\sigma:\,4x+3y-2z+10=0$

Entonces, como $P'$ está en $r$ y en $\sigma$, sus coordenadas deberán ser la solución del sistema de ecuaciones: $$\left\{\begin{matrix} 4x &+&3y&-&2z&=&-10 \\ \\ &&&&\dfrac{x+4}{4}&=&\dfrac{z}{-2}\\ \\ &&&&\dfrac{y-8}{4}&=&\dfrac{z}{-2}\\ \end{matrix}\right.$$
simplificando el sistema $$\left\{\begin{matrix} 4x &+&3y&-&2z&=&-10 \\ x &&&+&2z&=&-4 \\ &&2y&+&3z&=&16 \\ \end{matrix}\right.$$
y reduciéndolo por Gauss, vemos que es compatible determinado ( como era de esperar ) y su solución es $x=-\dfrac{188}{29}$, $y=\dfrac{178}{29}$, $z=\dfrac{36}{29}$, luego $P'(-\dfrac{188}{29},\dfrac{178}{29},\dfrac{36}{29})$; por tanto, el vector $\overrightarrow{PP'}=(-\dfrac{188}{29}-(-4),\dfrac{178}{29}-6,\dfrac{36}{29}-6)=(-\dfrac{72}{29},\dfrac{4}{29},-\dfrac{138}{29})$, y su módulo ( que es la distancia pedida ) es igual a
$\left\|\overrightarrow{PP'}\right\|=\sqrt{(-\dfrac{72}{29})^2+(\dfrac{4}{29})^2+(-\dfrac{138}{29})^2}=\dfrac{2\,\sqrt{6061}}{29} \approx 5,3691$

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OTRA FORMA de resolverlo

Un vector director de $r$ es $(4,3,-2)$. La ecuación en forma paramétrica de la recta dada es $r:\,\left\{\begin{matrix} x & = & -4 + 4\,\lambda \\ y & = & 8 + 3\,\lambda \\ z & = & -2\,\lambda\\ \end{matrix}\right.$; escogiendo, ahora, un valor cualquiera del parámetro $\lambda$, pongamos que $\lambda=0$, obtenemos el punto $M(-4,8,0)$ de $r$.

También sabemos que un vector director de $r$ es $\vec{u}=(4,3,-2)$. Entonces $\overrightarrow{PM}=(-4-(-4),8-6,0-6)=(0,2,6)$, con lo cual $\left\|\vec{u}\right\|=\sqrt{4^2+3^2+(-2)^2}=\sqrt{29}$, $\left\|\overrightarrow{PM}\right\|=\sqrt{0^2+2^2+(-6)^2}=\sqrt{40}$, y de la definición de producto escalar euclídeo
$$\cos{\angle (\overrightarrow{PM}, \vec{u})}=\dfrac{\langle \overrightarrow{PM}, \vec{u} \rangle}{\left\|\overrightarrow{PM}\right\| \left\|\vec{u}\right\| }=\dfrac{\langle ( 0,2,-6),(4,3,-2) \rangle}{\sqrt{29}\,\sqrt{40}}=\dfrac{18}{\sqrt{29}\,\sqrt{40}} \approx 0,5285$$

Por otra parte, $\text{dist}(P,r)=\left\| \overrightarrow{PM} \right\| \, \sin{ \angle (\overrightarrow{PM},\vec{u}) }$
  $=\sqrt{40} \, \sqrt{1-\cos^2{ \angle (\overrightarrow{PM},\vec{u}) }} \approx \sqrt{40}\,\sqrt{1-0,5285^2} \approx 5,3691$
$\square$

(c)
Supongamos que $O(0,0,0)$, $P(-4,6,6)$ y $R(-4+4\lambda,8+3\lambda,-2\lambda)$ están alineados, entonces se deberá cumplir que $$\dfrac{(-4+4\lambda)-0}{-4-0}=\dfrac{(8+3\lambda)-0}{6-0}=\dfrac{-2\lambda-0}{6-0}$$ es decir $$\dfrac{-4+4\lambda}{-4}=\dfrac{8+3\lambda}{6}=\dfrac{-2\lambda}{6}$$ y simplificando $$1-\lambda=\dfrac{8+3\lambda}{6}=\dfrac{-\lambda}{3}$$ lo cual se cumple si y sólo si $$\left\{\begin{matrix} 3 &-&3\lambda & = &-\lambda \\ 8 &+&3\lambda & = &-2\lambda \\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3 & = &2\lambda \\ 8 & = &-5\lambda \\ \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\overset{!}{=}-\dfrac{8}{5}$$
y al llegar a una contradicción, debemos rechazar la hipótesis de partida, con lo cual concluimos que los puntos dados no están alineados, esto es, no existe ningún punto $R \in r$ tal que esté alineado con $O$ y $P$.
$\square$

[nota del autor]