Consideremos una esfera maciza, en la que practicamos un orificio de polo a polo ...

ENUNCIADO
Consideremos una esfera maciza de radio $r$, en la que practicamos un orificio cilíndrico, de radio $a \prec r$, de tal modo que el eje de dicho cilindro coincida con un eje de simetría de la esfera. ¿ Cuál es el volumen del cuerpo resultante ?

SOLUCIÓN
Denominemos $V_1$ al volumen de la esfera; $V_2$ al volumen del cilindro, y $V_3$ al volumen de uno de los dos casquetes esféricos que visualizamos en la figura. Entonces, el volumen pedido es $$V_1-(V_2+2\,V_3) \quad \quad (1)$$
donde: $V_1=\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3$ y $V_2=\pi\,a^2\,h$, siendo $h=r-(r^2-a^2)$. Falta por calcular el volumen del casquete esférico. Pare ello, observemos la siguiente figura:

(Figura: Sección diametral de la esfera con el orificio. Notemos que en el proceso de integración por el método de la superposición de círculos infinitesimales; variando el radio de uno de estos discos genéricos, de grosor $dx$, entre $a$ y $0$ )Entonces, $$V_3=\int_{0}^{h}\,\pi\,a^{2}(x)\,dx \quad \quad (2)$$ y teniendo en cuenta que $$(r-x)^2+a^{2}(x)=r^2$$ podemos expresar el radio del círculo genérico en función de $x$ y $r$ $$a^{2}(x)=2xr-x^2$$ con lo cual podemos escribir la integral (2) de la forma $$\int_{0}^{h}\,(2xr-x^2)\,dx=\pi \, \left[ x^2\,r-\dfrac{1}{3}\,x^3 \right]_{0}^{h}=\dfrac{\pi\,h^2}{3}\,(3r-h)$$

Así, pues, de (1), obtenemos el volumen pedido: $$\dfrac{4}{3}\,\pi\,r^3-\left( \pi\,a^2\,h + \dfrac{2\,\pi\,h^2}{3}\,(3r-h) \right)$$
$\square$

[nota del autor]