En el artículo anterior hablaba del método de los trapecios para integrar de forma numérica ( aproximada ). En este artículo voy a hablaros del método de Simpson, consistente en interpolar un segmento de parábola en cada terna de puntos conocidos de la función integrando.
Con dicho método podemos aumentar la precisión de los datos obtenidos con respecto al método de los trapecios, pues en principio se ajusta mejor un segmento de parábola a el segmento de curva de la función a integrar que un segmento rectilíneo.
Recordemos que el objetivo de la integración numérica consiste en calcular $$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx$$ Supondremos que la función del integrando $f(x)$ es positiva en todo el dominio de integración.
Para empezar, sustituiremos el arco de curva asociada a la función $f(x)$ entre los puntos de abscisa $a$ y $b$ por un segmento de parábola que pase por los puntos de abscisas $a$, $b$ y $m=\dfrac{a+b}{2}$ ( la abscisa del punto medio del intervalo $[a,b]$. Denotaremos por $\Phi$ a la función cuadrática asociada a dicho segmento de parábola; por consiguiente, ésta ha de ser de la forma $$\Phi(x)=Ax^2+Bx+C$$
Y, por consiguiente, $$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx \int_{a}^{b}\,\Phi(x)\,dx$$ que es más fácil intengrar que la función pedida.
Démonos cuenta de que hay que resolver un problema de interpolación cuadrática; beberemos pues determinar el valor de los coeficientes $A$, $B$ y $C$, imponiendo que los puntos $(a,f(a))$, $(b,f(b)$ y $(m, f(m)$ estén sobre la parábola dada por $\Phi(x)$
Ejemplo. Apliquemos el método de Simpson al cálculo de la integral
$$\displaystyle \int_{1}^{2}\,\sqrt{x}\,dx$$
Tal como hemos dicho, nos proponemos calcular una función polinómica de segundo grado $\Phi=Ax^2+Bx+C$, cuya gráfica pase por los puntos de abscisas $1$, $2$ y $\dfrac{1+2}{2}=\dfrac{3}{2}$ para realizar la aproximación $$\displaystyle \int_{1}^{2}\,\sqrt{x}\,dx \approx \int_{a}^{b}\,\Phi(x)\,dx$$
Calculemos pues los coeficientes del polinomio interpolador:
Como $A(1,\sqrt{1})$ está en dicho segmento de parábola, tendrá que cumplirse la siguiente ecuación: $$\sqrt{1}=1^2\cdot A+1\cdot B+C$$
Lo mismo con el punto $B(2,\sqrt{2})$: tendrá que cumplirse la siguiente ecuación: $$\sqrt{2}=2^2\cdot A+2\cdot B+C$$
Al igual que $A(1,\sqrt{1})$ está en dicho segmento de parábola, tendrá que cumplirse la siguiente ecuación: $$\sqrt{3/2}=(3/2)^2\cdot A+(3/2)\cdot B+C$$
Así que, resolviendo el sistema de ecuaciones, podremos conocer el valor de $A$, $B$ y $C$:
$$\left\{\begin{matrix}A&+&B&+&C&=&1\\ 4A&+&2B&+&C&=&\sqrt{2} \\ \dfrac{9}{4}\,A&+&\dfrac{3}{2}\,B&+&C&=&\sqrt{\dfrac{3}{2}}\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}A&&&&&\approx &-0,0706\\ &&B&&&\approx & 0,6259\\ &&&&C&\approx &0,4447\end{matrix}\right. $$
Nota. Otra forma de calcular $\Phi(x)$ pasa por utilizar el poliomio interpolador de Lagrange o el de Newton, de los cuales ya he hablado en otros artículos de este mismo blog.
Así, podemos escribir $$\Phi(x) = -0,0706\,x^2+0,6259\,x+0,4447$$
Por consiguiente,
$\displaystyle \int_{1}^{2}\,\sqrt{x}\,dx \approx \int_{1}^{2}\,( -0,0706\,x^2+0,6259\,x+0,4447 )\,dx=$
$=\left[ -\dfrac{0,0706}{3}\,x^3+\dfrac{0,6259}{2}\,x^2+0,4447\,x \right]_{1}^{2} = 1,2188$
$= 1,2188$
Calculemos el error relativo de esta aproximación y veremos que es aceptablemente pequeño. Tengamos en cuenta que el valor exacto de la integral pedida es $$\displaystyle \int_{1}^{2}\,\sqrt{x}\,dx=\left[ \dfrac{1}{2\,\sqrt{x}} \right]_{1}^{2}=1,2190$$ ( aproximando el resultado exacto con cuatro cifras decimales )
Entonces $$e=\dfrac{|1,2190-1,2188|}{1,2190} \approx 0,02\,\%$$
Observación.Dividiendo el intervalo $[a,b]$ en varios subintervalos y empleando la misma idea en cada subintervalo, conseguiremos aumentar mucho más la precisión en el cálculo numérico de la integral pedida. Denominamos a la regla que así se obtiene regla de Simpson compuesta. Podéis profundizar en ello en el siguiente artículo de Wikipedia.
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martes, 4 de junio de 2019
Integración numérica por la regla de los trapecios
Consideremos la integral definida $\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx$ donde $f(x)$ es positiva en todos los puntos del dominio de integración. Una manera sencilla de calcular dicha integral de forma numérica consiste en sustituir el arco de curva entre los puntos $A_{1}(a,f(a))$ y $A_{2}(b,f(b))$ por un segmento rectilíneo con esos mismos extremos, con lo cual el valor de la integral definida ( área delimitada entre la curva, el eje de abscisas, y las rectas paralelas al eje de ordenadas $x=a$ y $x=b$ ) es aproximadamente igual al área del trapecio rectángulo así formado, por lo que podemos escribir $$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx \dfrac{b-a}{2}\cdot (f(b)+f(a))$$
Ejemplo. $$\displaystyle \int_{1}^{2}\,x^2\,dx \approx \dfrac{2-1}{2}\cdot (2^2+1^2)=\dfrac{5}{2}$$ siendo el valor exacto de la integral $$\displaystyle \int_{2}^{1}\,f(x)\,dx = \dfrac{1}{3}\cdot ( 2^3-1^3)=\dfrac{7}{3}$$ Podemos así calcular el error absoluto cometido en la aproximación, $$E=|\dfrac{7}{3}-\dfrac{5}{2}|=\dfrac{1}{6}$$ y también el error relativo $$e=\dfrac{1/6}{7/3}=\dfrac{1}{14}\approx 7\,\%$$
Es evidente que nn modo sencillo de aumentar la precisión de la aproximación consiste en dividir el dominio de integración en un cierto número de subintervalos; cuántos más subintervalos consideremos, menor será el error cometido. Este método se denomina método de los trapecios ( o regla compuesta del trapecio ).
Por simplicidad, haremos que la longitud, $h$, de los $n$ subintervalos ( separados $n+1$ puntos ) en que dividimos el intervalo $[a,b]$ sea la misma, con lo cual $$h=\dfrac{b-a}{n}$$
Si, por ejemplo, consideramos $2$ subintervalos, vemos que $$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx h\cdot \dfrac{f(a)+f(a+h)}{2}+ h\cdot \dfrac{f(a+h)+f(b)}{2}$$ esto es $$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx \dfrac{h}{2}\cdot \left( f(a) + 2\,f(a+h)+f(b) \right)$$
Calculemos ahora la integral aproximada, con $n=2$ subintervalos y por tanto con $h=\dfrac{2-1}{2}=\dfrac{1}{2}$. Así, $$\displaystyle \int_{1}^{2}\,x^2\,dx \approx \dfrac{1/2}{2}\cdot \left(1^2+2\cdot (1+1/2)+2^2\right)=\dfrac{19}{8}$$
El error absoluto es ahora igual a $$E=|\dfrac{19}{8}-\dfrac{7}{3}|=\dfrac{1}{24}$$ y el error relativo es de $$e=\dfrac{1/24}{7/3}\approx 2\,\%$$ que es lógicamente menor que el que habíamos obtenido con un sólo intervalo.
-oOo- Con $n=3$ intervalos, $h=\dfrac{b-a}{3}$ obtendríamos
$$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx \dfrac{h}{2}\cdot \left( f(a)+2\,f(a+h)+2\,f(a+2h)+f(b)\right)$$ que podemos expresar de la forma $$ \displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx h\cdot \left( \dfrac{f(a)+f(b)}{2}+f(a+h)+f(a+2\,h) \right)$$
Con $n=4$ intervalos, $h=\dfrac{b-a}{4}$ obtendríamos
$$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx \dfrac{h}{2}\cdot \left( f(a)+2\,f(a+h)+2\,f(a+2h)+2\,f(a+3h)+f(b)\right)$$ que podemos expresar de la forma $$ \displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx h\cdot \left( \dfrac{f(a)+f(b)}{2}+f(a+h)+f(a+2\,h)+f(a+3\,h) \right)$$
Por lo que, a partir de aquí, para un número $n\ge 1$ arbitrario de intervalos, es fácil generalizar la fórmula anterior, a la llamada fórmula de los trapecios:
$$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx h\cdot \left( \dfrac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{i=0}^{n-1}\,f(a+i\,h) \right)$$
Observación. Si bien no vamos a ahondar más en el tema, cuando curséis asignaturas de grado en la universidad podréis leer en los libros de análisis numérico la justificación de la siguiente fórmula, que proporciona una estimación del error absoluto cometido en la aproximación empleando la fórmula de los trapecios: $$\Delta=\left|-\dfrac{(b-a)^3}{12\,n^2}\,f''(\theta)\right|\; \text{donde}\; \theta\; \text{es un número que está comprendido entre}\;a\;\text{y}\;b$$
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Ejemplo. $$\displaystyle \int_{1}^{2}\,x^2\,dx \approx \dfrac{2-1}{2}\cdot (2^2+1^2)=\dfrac{5}{2}$$ siendo el valor exacto de la integral $$\displaystyle \int_{2}^{1}\,f(x)\,dx = \dfrac{1}{3}\cdot ( 2^3-1^3)=\dfrac{7}{3}$$ Podemos así calcular el error absoluto cometido en la aproximación, $$E=|\dfrac{7}{3}-\dfrac{5}{2}|=\dfrac{1}{6}$$ y también el error relativo $$e=\dfrac{1/6}{7/3}=\dfrac{1}{14}\approx 7\,\%$$
Es evidente que nn modo sencillo de aumentar la precisión de la aproximación consiste en dividir el dominio de integración en un cierto número de subintervalos; cuántos más subintervalos consideremos, menor será el error cometido. Este método se denomina método de los trapecios ( o regla compuesta del trapecio ).
Por simplicidad, haremos que la longitud, $h$, de los $n$ subintervalos ( separados $n+1$ puntos ) en que dividimos el intervalo $[a,b]$ sea la misma, con lo cual $$h=\dfrac{b-a}{n}$$
Si, por ejemplo, consideramos $2$ subintervalos, vemos que $$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx h\cdot \dfrac{f(a)+f(a+h)}{2}+ h\cdot \dfrac{f(a+h)+f(b)}{2}$$ esto es $$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx \dfrac{h}{2}\cdot \left( f(a) + 2\,f(a+h)+f(b) \right)$$
Calculemos ahora la integral aproximada, con $n=2$ subintervalos y por tanto con $h=\dfrac{2-1}{2}=\dfrac{1}{2}$. Así, $$\displaystyle \int_{1}^{2}\,x^2\,dx \approx \dfrac{1/2}{2}\cdot \left(1^2+2\cdot (1+1/2)+2^2\right)=\dfrac{19}{8}$$
El error absoluto es ahora igual a $$E=|\dfrac{19}{8}-\dfrac{7}{3}|=\dfrac{1}{24}$$ y el error relativo es de $$e=\dfrac{1/24}{7/3}\approx 2\,\%$$ que es lógicamente menor que el que habíamos obtenido con un sólo intervalo.
$$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx \dfrac{h}{2}\cdot \left( f(a)+2\,f(a+h)+2\,f(a+2h)+f(b)\right)$$ que podemos expresar de la forma $$ \displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx h\cdot \left( \dfrac{f(a)+f(b)}{2}+f(a+h)+f(a+2\,h) \right)$$
Con $n=4$ intervalos, $h=\dfrac{b-a}{4}$ obtendríamos
$$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx \dfrac{h}{2}\cdot \left( f(a)+2\,f(a+h)+2\,f(a+2h)+2\,f(a+3h)+f(b)\right)$$ que podemos expresar de la forma $$ \displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx h\cdot \left( \dfrac{f(a)+f(b)}{2}+f(a+h)+f(a+2\,h)+f(a+3\,h) \right)$$
Por lo que, a partir de aquí, para un número $n\ge 1$ arbitrario de intervalos, es fácil generalizar la fórmula anterior, a la llamada fórmula de los trapecios:
$$\displaystyle \int_{a}^{b}\,f(x)\,dx \approx h\cdot \left( \dfrac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{i=0}^{n-1}\,f(a+i\,h) \right)$$
Observación. Si bien no vamos a ahondar más en el tema, cuando curséis asignaturas de grado en la universidad podréis leer en los libros de análisis numérico la justificación de la siguiente fórmula, que proporciona una estimación del error absoluto cometido en la aproximación empleando la fórmula de los trapecios: $$\Delta=\left|-\dfrac{(b-a)^3}{12\,n^2}\,f''(\theta)\right|\; \text{donde}\; \theta\; \text{es un número que está comprendido entre}\;a\;\text{y}\;b$$
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miércoles, 3 de junio de 2015
Un ejercicio de cálculo numérico con DERIVE ... ( Artículo escrito en catalán )
La imatge de sota mostra el codi font [ fet amb DERIVE (tm)] i el resultat gràfic d'un senzill exercici de simulació numèrica d'una òrbita el·líptica (gravitació de Newton) a partir de la integració numèrica de les equacions del moviment emprant l'algorisme d'Euler.
Per entendre-ho millor, us ajudarà força llegir [aquestes explicacions] que, en el seu momento, vaig escriure per ajudar a un alumne.
Per entendre-ho millor, us ajudarà força llegir [aquestes explicacions] que, en el seu momento, vaig escriure per ajudar a un alumne.
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