Dadas la matrices ...

ENUNCIADO
Dadas las matrices:
$$A=\begin{pmatrix} 0&0 &1 \\ 0& 1 &0 \\ 1& 0 &0 \end{pmatrix} \,,\, B=\begin{pmatrix} 3&0 &0 \\ 0& 3 &0 \\ 0& 0 &3 \end{pmatrix}$$ se pide:
a) Calcular $A^{15}$ y $A^{20}$
b) Resolver la ecuación matricial $6\,X=B-3\,A\,X$, donde $X$ es una matriz cuadrada de orden $3$

[PAU 2015, Madrid]


SOLUCIÓN
a)
Procedamos a calcular las primeras potencias
$$A^2=\begin{pmatrix} 0 &0 &1 \\ 0 &1 & 0\\ 1 & 0 &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 &0 &1 \\ 0 &1 & 0\\ 1 & 0 &0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0 &1 & 0\\ 0 & 0 &1 \end{pmatrix}=I$$ luego $A$ es una matriz cíclica de período $p=2$, con lo cual $A^{20}=A^r$, donde $r$ es el resto de la división entera $20 \div p$; por tanto, como el resto de la división $20 \div 2$ es $r = 0$, llegamos a $A^{20}=A^0=I$. Por otra parte, $A^{15}=A^1=A$ ya que el resto de la división $15 \div 2$ es igual a $1$

-oOo-Otra forma de ver lo mismo es la siguiente:
$$A^3=A^2\,A=I\,A=A$$
$$A^4=A^3\,A=A\,A=A^2=I$$
$$A^5=A^4\,A=I\,A=A$$
$$\ldots$$

con lo que podemos inferir que
$$A^n=\left\{\begin{matrix} I&\text{si }\;n\; \text{es par} \\ A&\text{si }\;n\; \text{es impar} \\ \end{matrix}\right.$$

Así, como $20$ es par, $A^{20}=I$; y como $15$ es impar, $A^{15}=A$


b)

$$6X=B-3AX \Leftrightarrow 6X+3AX=B-3AX+3AX$$
luego
$$(6I+3A)X=B \quad \quad \quad \quad (1)$$

Observemos que $(6I+3A)=\begin{pmatrix} 6 &0 &0 \\ 0 & 6 &0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0 &0 &3 \\ 0 & 3 &0 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 &0 &3 \\ 0 & 9 &0 \\ 3 & 0 & 6 \end{pmatrix}$ y por tanto $\begin{vmatrix} 6 &0 &3 \\ 0 & 9 &0 \\ 3 & 0 & 6 \end{vmatrix}=6^2 \cdot 9 - 3^2 \cdot 9 \neq 0 \Rightarrow 6I-3A$ posee matriz inversa

Entonces, de (1),
$$(6I+3A)^{-1}(6I+3A)X=(6I+3A)^{-1}B$$
$$I \,X=(6I+3A)^{-1}B$$
$$X=(6I+3A)^{-1}B \quad \quad \quad \quad (2)$$

Calculemos la matriz inversa de $(6I+3A)$; para ello, escogemos el método de Gauss-Jordan:

$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 6 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 9 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 3 & 0 & 6 & 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right) \overset{\frac{1}{2}\,f_1+f_3 \rightarrow f_3}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} 6 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 9 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 9/2 & -1/2 & 0 & 1\\ \end{array}\right) \overset{-3\cdot\frac{2}{9}\,f_3+f_1 \rightarrow f_1}{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 6 & 0 & 0 & 4/3 & 0 & -2/3\\ 0 & 9 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 9/2 & -1/2 & 0 & 1\\ \end{array}\right) \overset{\frac{1}{6}\,f_1 \rightarrow f_1;\frac{1}{9}\,f_2 \rightarrow f_2;\frac{2}{9}\,f_3 \rightarrow f_3}{\longrightarrow}$$
$$\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 2/9 & 0 & -1/9\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1/9 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -1/9 & 0 & 2/9\\ \end{array}\right)$$
por tanto
$$(6I+3A)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 2/9 & 0 & -1/9\\ 0 & 1/9 & 0\\ -1/9 & 0 & 2/9\\ \end{array}\right)$$

Así, de (2),
$$X=\left(\begin{array}{ccc} 2/9 & 0 & -1/9\\ 0 & 1/9 & 0\\ -1/9 & 0 & 2/9\\ \end{array}\right)\begin{pmatrix} 3&0 &0 \\ 0& 3 &0 \\ 0& 0 &3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2/3&0 &-1/3\\ 0& 1/3 &0 \\ -1/3& 0 &2/3 \end{pmatrix}$$

$\square$