Dadas las matrices ...

ENUNCIADO
Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}
1&2 &3 \\
0& t &2 \\
3& -1 &t
\end{pmatrix}
\,,\,
I=\begin{pmatrix}
1&0 &0 \\
0& 1 &0 \\
0& 0 &1
\end{pmatrix}$, se pide:

a) Hallar el rango de $A$ en función de $t$
b) Calcular $t$ para que $\text{det}(A-t\,I)=0$

[ PAU 2015, Madrid ]

SOLUCIÓN
El determinante de la submatriz formada por los coeficientes de las filas primera y tercera y de las columnas primera y segunda es distinto de cero $$\begin{vmatrix}
1 & 3\\
0 &2
\end{vmatrix}=2 \neq 0$$
luego el rango de $A$ es mayor o igual que $2$. Veamos si es igual a $3$, calculando el único menor de orden tres ( el determinante de la propia matriz ) $$\begin{vmatrix}
1 & 3 & 2\\
0 & 2 & t\\
3 & t & -1\\
\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow t^2-9t+14=0 \Leftrightarrow t \in \{2\,,\,7\}$$
Por tanto $$\text{rg}(A)=\left\{\begin{matrix}
2 & \text{si}& t \in \{ 2\,,\,7 \} \\
\\
3 & \text{si}& t \notin \{ 2\,,\,7 \}\\

\end{matrix}\right.$$

b)
$$A-t\,I=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & t & 2\\
3 & -1 & t\\
\end{pmatrix}-t\,\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & t & 2\\
3 & -1 & t\\
\end{pmatrix}-\,\begin{pmatrix}
t & 0 & 0\\
0 & t & 0\\
0 & 0 & t\\
\end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix}
1-t & 2 & 3\\
0 & t-t & 2\\
3 & -1 & t-t\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1-t & 2 & 3\\
0 & 0 & 2\\
3 & -1 & 0\\
\end{pmatrix}$$
luego el determinante de dicha matriz es
$$\text{det}(A-t\,I)=\begin{vmatrix}
1-t & 2 & 3\\
0 & 0 & 2\\
3 & -1 & 0\\
\end{vmatrix}$$
que es igual a
$$\overset{\text{Laplace, 2.ª fila}}{=}2\cdot (-1)^{2+3}\,\begin{vmatrix}
1-t & 2 \\
3 & -1 \\
\end{vmatrix}=-2\,(t-7)$$
Entonces
$$-2\,(t-7)=0\Leftrightarrow t=7$$

Nota:
A los valores de $t$ que cumplen esta condición les llamamos valores propios ( autovalores ) de la matriz $A$

$\square$