Un ejercicio de análisis de funciones

ENUNCIADO. Dos móviles, $A$ y $B$, se encuentran en las siguientes posiciones iniciales $(0,0)$ y $(250,0)$, respectivamente, siendo $1\,\text{km}$ la distancia entre el origen de coordenadas $(0,0)$ a los puntos $(1,0)$ y $(0,1)$. El móvil $A$ se desplaza sobre el eje Oy a una velocidad constante de $30\,\dfrac{\text{km}}{\text{km}}$ kilómetros por hora, desde su posición inicial hasta la posición $(0,375/2)$; y, simultáneamente, el móvil $B$ se desplaza sobre el eje Oy, desde su posición inicial hasta el origen de coordenadas, a una velocidad constante de $40\,\dfrac{\text{km}}{\text{km}}$. Se pide:

a) La distancia $f(t)$ que separa a los dos móviles en todo instante de tiempo ($t$, en horas ) desde que comenzaron a desplazarse hasta que llegan a las respectivas posiciones finales.
b) El tiempo $T$ que tardan los móviles en desplazarse desde sus posiciones iniciales hasta sus posiciones finales, y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función distancia $f(t)$ entre los mismos en su recorrido hasta sus posiciones finales.
c) Los valores de $t$ para los que la distancia $f(t)$ entre los dos móviles es máxima y mínima durante sus desplazamientos, así como los valores de máximo/mínimo.

SOLUCIÓN.
a) El movimiento del móvil $A$ a lo largo del eje Oy viene dado por la ecuación $$y(t)=30\,t$$ y el del móvil $B$ ( a lo largo del eje Ox ) por $$x(t)=-40\,t+250$$ luego la distancia euclídea entre uno y otro en todo instante de tiempo es $$f(t)=\left|\sqrt{(x(t))^2+(y(t))^2}\right|$$ esto es $$f(t)=\left|\sqrt{(30\,t)^2+(-40\,t+250)^2}\right|=50\,\left|\sqrt{t^2-8t+25}\right|$$

b) El tiempo que tardan sendos móviles a llegar a sus posiciones finales se calcula a partir de sus ecuaciones respectivas.

Para el móvil $B$, si $y(t)=30\,t$, entonces para $y_{\text{final}}:=375/2$, $T=375/(2\cdot 30)=25/4\,\text{h}$; y, lo mismo para el móvil $A$, como $x(t)=-40\,t+250$, entonces si $x_{\text{final}}:=0$, se tiene que $0=-40\cdot T+250$, con lo cual $T=250/40=25/4\,\text{h}$. Así pues el dominio de definición de la función $f(t)$ es $$\text{Dom}\,f(t)=[0,25/4]\,\text{h}$$

Para determinar los extremos de crecimiento/decrecimiento de $f(t)$, calcularemos primero los extremos relativos de dicha función, cuya condición necesaria es $$f'(t)=0$$ luego $$50\cdot \dfrac{2t-8}{2\,\left|\sqrt{t^2-8t+25}\right|}=0 \Leftrightarrow 2t-8=0 \Rightarrow t^*=4\,\text{h}$$

Veamos la naturaleza del único extremo relativo que hemos encontrado. Para ello utilizaremos el criterio del cambio de signo de la primera derivada para las abscisas próximas a la de dicho extremo relativo, de izquierda a derecha. Vemos que $f'(3\prec 4) \prec 0$ y $f'(5\succ 4) \succ 0$, luego podemos afirmar que $t^*=4\,\text{h}$ es la abscisa de un mínimo relativo (local). De lo cual se desprende que los intervalos de crecimiento decrecimiento son: $I^{\uparrow}=[4,25/4]$ y $I^{\downarrow}=[0,4]$ ( en horas ).

c)
Por lo que acabamos de decir, la función distancia $f(t)$ presenta un mínimo relativo ( que es, también, el mínimo absoluto ) en $t=4\,\text{h}$ y el valor de dicho mínimo (sustituyendo $t$ por el valor $4$ en la función) es $f(4)=150\,\text{km}$

Por otra parte $f(0)=250\,\text{km}$ y $f(25/4)=375/2=187,5\prec 250\,\text{km}$, luego el máximo absoluto de la función corresponde a $t=0\,\text{h}$ y su valor es igual a $250\,\text{km}$

$\square$

Longitud de un arco de curva de una trayectoria ( cinemática )

En cinemática, es frecuente tener que calcular la longitud de arco de la curva que describe una partícula entre dos tiempos dados, $t_i$ y $t_f$. Al hilo de lo que hablaba en el artículo anterior, voy a exponer ahora cómo resolver este problema.

Si disponemos de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria -- que, para simplificar, supondremos en el plano -- la cual proporciona la posición $(x(t),y(t))$ de la partícula en cada instante de tiempo $$\vec{r}(t) \equiv \left\{\begin{matrix}x(t) \\ y(t) \end{matrix}\right.$$ bastará con aplicar lo que ya se ha explicado en el artículo anterior: un elemento diferencia de longitud de arco es $$ds=\left| \sqrt{(dx(t))^2+(dy(t))^2} \right|$$ y teniendo en cuenta que $\dfrac{dx(t)}{dt}=x'(t)$ y $\dfrac{dy(t)}{dt}=y'(t)$ con lo cual $dx(t)=x'(t)\,dt$ e $dy(t)=y'(t)\,dt$ y por tanto podemos escribir $$ds= \left|\sqrt{(x'(t))^2\,dt^2+(y'(t))^2\,dt^2}\right| = \left|\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\right|\,dt$$ Así que $$ds= \left|\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\right|\,dt$$ Por consiguiente $$s_{t_i \rightarrow t_f} =\int_{t_i}^{t_f}\,\left|\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\right|\,dt$$

EJEMPLO ( sencillo ). La trayectoria de una partícula en el plano viene dada por $$\vec{r}(t)\equiv \left\{\begin{matrix}x(t)=1 \\ y(t)=-t^2 \end{matrix}\right.$$ Calcúlese la longitud del arco de curva que corresponde a la trayectoria de la partícula entre los instantes de tiempo $t_i=0\,\text{s}$ y $t_f=3\,\text{s}$ ( Las longitudes vienen dadas en metros ).
SOLUCIÓN. Derivando las ecuaciones paramétricas de posición ( donde $t$ es el parámetro ) obtenemos las ecuaciones paramétricas de la velocidad: $$\vec{v}(t)\equiv \left\{\begin{matrix}x'(t)=0\\ y'(t)=-2\,t\end{matrix}\right.$$ Entonces
$\displaystyle s_{t_i:=0 \rightarrow t_f:=3} =\int_{0}^{3}\,\left|\sqrt{(0^2+(-2t)^2}\right|\,dt=\int_{0}^{3}\,\left|\sqrt{4t^2}\right|\,dt=\int_{0}^{3}\,2t\,dt=$
  $\displaystyle=2\,\left[\dfrac{1}{2}\,t^2\right]_{0}^{3}=3^2-0^2=9\,\text{m}$
$\square$

Un ejercicio de aplicación de la integración de las ecuaciones del movimiento en caída libre

ENUNCIADO. Se abandona un cuerpo en caída libre, partiendo del reposo. Se pide:
a) La velocidad al cabo de $2\,\text{s}$
b) La distancia de trayecto recorrida al cabo de $3\,\text{s}$
c) El incremento de velocidad entre los instantes $t=1\,\text{s}$ y $t=3\,\text{s}$

SOLUCIÓN.
a) Denotemos por $x(t)$ la función que proporciona la posición del cuerpo en un instante de tiempo $t$ con respecto al origen del sistema de referencia ( Nota: la elección del origen del sistema de referencia, en reposo, es arbitraria ).

Sabemos que, en un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, $\dfrac{d^2(\,x(t))}{dt^2}=g$ ( donde la constante $g$ denota la aceleración de la gravedad, o lo que es lo mismo, la intensidad del campo gravitatorio ), entonces integrando con respecto de $t$, $\dfrac{d(\,x(t))}{dt} \equiv v(t)=g\,t+C$, siendo $v(t)$ la velocidad en cada instante de tiempo.

Como $v(0)=0$ ( información del enunciado ), tenemos que $0=g\cdot 0 +C \Rightarrow C=0$, con lo cual $$v(t)\equiv \dfrac{d\,(x(t))}{dt}=g\,t$$

b) De lo anterior, se deduce:$$\displaystyle \Delta\,x |_{ t_i \rightarrow t_f } = \int_{t_i}^{t_f}\,\dfrac{d\,(x(t))}{dt}\,dt$$ y por tanto
$$\displaystyle \Delta\,x |_{ 0\,\text{s} \rightarrow 3\,\text{s} } = \int_{0}^{3}\, g\,t\,dt=\left[\dfrac{1}{2}\,g\,t^2\right]_{0}^{3}=\dfrac{9}{2}\,g\;\text{m}\overset{g \approx 9,8\,\text{m}/\text{s}^{2}}{\approx} 44,1 \,\text{m}$$

c) Teniendo pues en cuenta que $$\displaystyle \Delta\,v |_{ t_i \rightarrow t_f } = \int_{t_i}^{t_f}\,\,\dfrac{d^2\,(x(t))}{dt^2}\,dt$$ y que $$\dfrac{d^2\,(x(t))}{dt^2}=g$$ podemos escribir $$\displaystyle \Delta\,v |_{ 1\,\text{s} \rightarrow 3\,\text{s} } = \int_{1}^{3}\,g\,\,dt=\left[g\,t\right]_{1}^{3}=(3-1)\,g=2\,g\;\text{m}/\text{s}=\overset{g \approx 9,8\,\text{m}/\text{s}^{2}}{\approx} 19,6 \,\text{m}/\text{s}$$
$\square$

Acerca de la derivada en la cinemática

Consideremos una trayectoria rectilínea de un móvil puntual. Sea $x(t)$ la posición del mismo ( con respecto al origen de coordenadas del sistema de referencia ) en cada instante de tiempo. La tasa de cambio en la posición viene dada por $\dfrac{\Delta\,x}{\Delta\,t}$, entonces llamamos velocidad del móvil a la tasa de variación instantánea de la cantidad $x$, esto es, a la derivada de la función $x(t)$, es decir $\dfrac{dx}{dt}$, que es a su vez otra función del tiempo, y que en los libros de física suele notarse como $\dot{x}(t)$. De manera análoga, describimos la aceleración en un instante de tiempo dado como la tasa de variación instantánea de la velocidad, por lo que podemos hablar de la función aceleración ( para cada instante ) tenemos un valor de la tasa de variación instantánea: $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dx}{dt}\right)$ que, en los libros de física suele notarse ( por comodidad ) de la forma $\ddot{x}(t)$.

Extendiendo la idea, a una trayectoria en el espacio euclídeo de más de una dimensión, pongamos que en el espacio tridimensional, la posición del móvil en un instante de tiempo dado viene dada por $(x(t),y(t),z(y))$, que es una terna que da las coordenadas del vector de posición del móvil $\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$ y representa, en general, una curva en el espacio.

Así que la velocidad, $\vec{v}\equiv \dfrac{d\,\vec{r}(t)}{dt}=(\dot{x}(t),\dot{y}(t),\dot{z}(t))$, esto es, la derivada del vector de posición en el instante $t$ tiene también, desde luego, pleno caracter vectorial, por lo que decimos que la velocidad en cada instante de tiempo viene dada por una función vectorial ( lo cual extiende de manera natural la noción de función escalar ). Observación: Llamamos celeridad al módulo de dicho vector de posición en el intstante $t$, esto es $c(t)=\left\|\vec{\dot{r}}\right\|$, que es una función escalar.

Desde luego, la aceleración tiene ( en el espacio ) a su vez pleno caracter vectorial, por lo que podemos escribir que en un instante $t$ la aceleración asociada es el vector $\vec{a}\equiv \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\,\vec{r}(t)}{dt}\right)=\dfrac{d\,\vec{v}(t)}{dt}=(\ddot{x}(t),\ddot{y}(t),\ddot{z}(t))$

Ejemplo
ENUNCIDADO. La trayectoria de una partícula en el espacio viene dada por $\vec{r}(t)=(1,t,t^2)$. Calcúlese el vector velocidad, la celeridad, y el vector aceleración en cada instante de tiempo.

SOLUCIÓN. Derivando el vector de posición en cada instante de tiempo, obtenemos $\vec{v}(t)=\dfrac{\vec{r}(t)}{dt}=(0,1,2t)$, luego la celeridad en cada instante de tiempo viene dada por $c(t)=\sqrt{0^2+1^2+(2t)^2}=\sqrt{4\,t^2+1}$; por lo que respecta al vector aceleración ( en cada instante ), éste se obtiene derivando las coordenadas del vector de velocidad, por lo que viene dado por $\vec{a}(t)=\dfrac{\vec{v}(t)}{dt}=(0,0,2)$, que en este caso resulta ser constante y actuando únicamente en la tercera dimensión del espacio.
$\square$

Un tren sale de una estación con una aceleración de ... ( Artículo escrito en catalán )

Enunciat:
Un tren surt d'una estació amb una acceleració constant de $0,40 \, \text{m}\,\text{s}^{-2}$. Un passatger arriba a l'andana $6 \, \text{s}$ després que l'extrem final del tren abandonés la posició on ell, ara, es troba. Quina ha de ser la velocitat amb què s'ha de posar a córrer (suposem que ha de ser constant) per tal de poder donar-li abast ?

Solució:
Situem l'origen del sistema de referència en el punt on el passatger arriba a l'estació. Llavors, l'equació de posició del tren (m.r.u.a.) s'escriurà
            $x(t)=\dfrac{1}{2}\,a\,t^2 \quad \quad (1)$
i l'equació que descriu la posició del passatger (m.r.u), des que comença a córrer, és
            $x(t)=v\,(t-6) \quad \quad (2)$
on $v$ és la velocitat mínima del passatger per tal de poder donar-li abast

Considerant la situació en què el passatger dóna abast al tren, igualarem els segons membres de (1) i (2)
            $v_{m}\,(t-6)=\dfrac{1}{2}\,a\,t^2 \quad \quad (3)$
on $v_{m}$ representa la velocitat mínima demanada, ja que, pel cap baix, ha de tenir el mateix valor que el pendent de la recta tangent en el punt d'abcissa $t_{a}$ (punt on el passatger dóna abast al tren) i, doncs, el seu valor per a $t=t_a$
                                            $\bigg(\dfrac{1}{2}\,a\,t^2\bigg)_{t=t_a}^{'}$
ha de ser igual a la derivada de la funció de posició del tren (en el punt $t=t_a$)
és a dir
            $v_{m}=a\,t_{a} \quad \quad (4)$

Substituint aquest valor (4) a l'expressió (3), arribem a l'equació
            $a\,t_{a}\,\,(t_{a}-6)=\dfrac{1}{2}\,a\,t_{a}^2$
d'on obtenim
            $t_{a}=12 \, \text{s}$
i, finalment, posant aquest valor de a (4), trobem que
            $v_{m}=0,40 \cdot 12 \, \text{m}\,\text{s}^{-1}$
                  $=4,8 \, \text{m}\,\text{s}^{-1}$
Si el passatger es mou a velocitats més petites, no podrà donar abast al tren.
$\square$

[nota del autor]