miércoles, 28 de febrero de 2018
Integral indefinida. Cálculo de primitivas de funciones trigonométricas.
ENUNCIADO. Calcular la integral indefinida $$\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{\sin\,x}$$
SOLUCIÓN. Efectuemos el cambio de variable $t=\tan\,\dfrac{x}{2}$, con lo cual $x=2\,\arctan\,t$ y por tanto $$dx=\,2\,\arctan\,\dfrac{1}{1+t^2}\,dt$$ Por otra parte, por la identidad trigonométrica $$\sin\,x=2\,\sin\,\dfrac{x}{2}\cos\,\dfrac{x}{2}$$ y teniendo en cuenta también la identidad fundamental de la trigonometría, $\sin^2\,\dfrac{x}{2}+\cos^2\,\dfrac{x}{2}=1$, podemos escribir $$\sin\,x=2\,\dfrac{\sin\,\dfrac{x}{2}\cos\,\dfrac{x}{2}}{\sin^2\,\dfrac{x}{2}+\cos^2\,\dfrac{x}{2}}$$ y dividiendo numerador y denominador por $\cos^2\,\dfrac{x}{2}$ y teniendo en cuenta que $\tan\,\dfrac{x}{2}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\sin\,(x/2)}{\cos\,(x/2)}$, nos queda que $$\sin\,x=2\,\dfrac{\tan\,\dfrac{x}{2}}{1+\tan^2}$$ esto es $$\sin\,x=2\,\dfrac{t}{1+t^2}$$ Así pues, la integral pedida puede escribirse de la forma $$\displaystyle \int\,\frac{\frac{2}{1+t^2}}{\frac{2\,t}{1+t^2}}\,dt=\int\,\dfrac{dt}{t}=\ln\,t+C_1$$ y deshaciendo el cambio de variable, llegamos a $$\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{\sin\,x} = \ln\,\left(\left|\tan\,\dfrac{x}{2}\right|\right)+C$$
$\square$
SOLUCIÓN. Efectuemos el cambio de variable $t=\tan\,\dfrac{x}{2}$, con lo cual $x=2\,\arctan\,t$ y por tanto $$dx=\,2\,\arctan\,\dfrac{1}{1+t^2}\,dt$$ Por otra parte, por la identidad trigonométrica $$\sin\,x=2\,\sin\,\dfrac{x}{2}\cos\,\dfrac{x}{2}$$ y teniendo en cuenta también la identidad fundamental de la trigonometría, $\sin^2\,\dfrac{x}{2}+\cos^2\,\dfrac{x}{2}=1$, podemos escribir $$\sin\,x=2\,\dfrac{\sin\,\dfrac{x}{2}\cos\,\dfrac{x}{2}}{\sin^2\,\dfrac{x}{2}+\cos^2\,\dfrac{x}{2}}$$ y dividiendo numerador y denominador por $\cos^2\,\dfrac{x}{2}$ y teniendo en cuenta que $\tan\,\dfrac{x}{2}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\sin\,(x/2)}{\cos\,(x/2)}$, nos queda que $$\sin\,x=2\,\dfrac{\tan\,\dfrac{x}{2}}{1+\tan^2}$$ esto es $$\sin\,x=2\,\dfrac{t}{1+t^2}$$ Así pues, la integral pedida puede escribirse de la forma $$\displaystyle \int\,\frac{\frac{2}{1+t^2}}{\frac{2\,t}{1+t^2}}\,dt=\int\,\dfrac{dt}{t}=\ln\,t+C_1$$ y deshaciendo el cambio de variable, llegamos a $$\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{\sin\,x} = \ln\,\left(\left|\tan\,\dfrac{x}{2}\right|\right)+C$$
$\square$
martes, 27 de febrero de 2018
miércoles, 21 de febrero de 2018
Diferenciación bajo el signo integral
ENUNCIADO. Calcular la integral indefinida $$\displaystyle \int \,x\,e^{x^2}\,dx$$
SOLUCIÓN. Diferenciando bajo el signo integral:
$$\displaystyle \int \,x\,e^{x^2}\,dx \overset{(1)}{=} \int \,d\left(\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}\right)=\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}+C$$
(1) $d\left(\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}\right)=\left(\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}\right)'\,dx = \dfrac{1}{2}\cdot 2\,x\,e^{x^2}\,dx=x\,e^{x^2}\,dx$
$\square$
SOLUCIÓN. Diferenciando bajo el signo integral:
$$\displaystyle \int \,x\,e^{x^2}\,dx \overset{(1)}{=} \int \,d\left(\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}\right)=\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}+C$$
(1) $d\left(\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}\right)=\left(\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}\right)'\,dx = \dfrac{1}{2}\cdot 2\,x\,e^{x^2}\,dx=x\,e^{x^2}\,dx$
$\square$
miércoles, 14 de febrero de 2018
Segundo teorema fundamental del cálculo
Segundo teorema fundamental del cálculo ( conocido como regla de Newton-Leibniz y, también, como regla de Barrow )
Sea una función primitiva, $F(x)$, de $f(x)$, y siendo $f(x) \ge 0 \quad \forall x \in \left[a,b \right]$, el valor de la integral definida, entre las abscisas $x=a$ i $x=b$ ( a los que llamamos límites de integración), es igual a $F(b)-F(a)$, es decir $$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$
Demostración:
Supongamos que $F(x)$ és una funció integral ( primitiva ) de $f(x)$ (Primer Teorema Fundamental del Cálculo ). Supongamos ahora que $G(x)$ es otra primitiva de $f(x)$, entonces tendrá que cumplirse que $$F(x)=G(x)+C \quad (1)$$ donde $C$ es una constante.
En consecuencia $$F(a)=G(a)+C \quad (2)$$
Por otra parte, y de acuerdo con la definición de función primitiva de $f$,
$$F(x)=\int_{a}^{x} \, f(t) \, dt$$
es obvio que $F(a)=0$, con lo cual, de (2), deducimos que $C=-G(a)$
Sustituyendo el valor de $C$ en la expresión (1), encontramos $F(x)=G(x)-G(a)$ y, según el significado de función primitiva, vemos que el valor de la integral definida entre los límites de integración $a$ (límite inferior) i $b$ (límite superior) es igual a
$$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x) \, dx = G(b)-G(a)=F(b)-C - ( F(a) - C ) = F(b) - F(a)$$
valor que, en la literatura, suele expresarse de la forma
$$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x) \, dx =\left[ F(x) \right]_{a}^{b}$$
$\square$
Sea una función primitiva, $F(x)$, de $f(x)$, y siendo $f(x) \ge 0 \quad \forall x \in \left[a,b \right]$, el valor de la integral definida, entre las abscisas $x=a$ i $x=b$ ( a los que llamamos límites de integración), es igual a $F(b)-F(a)$, es decir $$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$
Demostración:
Supongamos que $F(x)$ és una funció integral ( primitiva ) de $f(x)$ (Primer Teorema Fundamental del Cálculo ). Supongamos ahora que $G(x)$ es otra primitiva de $f(x)$, entonces tendrá que cumplirse que $$F(x)=G(x)+C \quad (1)$$ donde $C$ es una constante.
En consecuencia $$F(a)=G(a)+C \quad (2)$$
Por otra parte, y de acuerdo con la definición de función primitiva de $f$,
$$F(x)=\int_{a}^{x} \, f(t) \, dt$$
es obvio que $F(a)=0$, con lo cual, de (2), deducimos que $C=-G(a)$
Sustituyendo el valor de $C$ en la expresión (1), encontramos $F(x)=G(x)-G(a)$ y, según el significado de función primitiva, vemos que el valor de la integral definida entre los límites de integración $a$ (límite inferior) i $b$ (límite superior) es igual a
$$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x) \, dx = G(b)-G(a)=F(b)-C - ( F(a) - C ) = F(b) - F(a)$$
valor que, en la literatura, suele expresarse de la forma
$$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x) \, dx =\left[ F(x) \right]_{a}^{b}$$
$\square$
Integración. Primer teorema fundamental del cálculo.
Primer teorema fundamental del cálculo
Dada una función $f(x)$ continua -- siendo continua es integrable -- en el intervalo $\left[a,b\right]$, la función integral ( o función primitiva de $f(x)$ )
$\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} \, f(t)\,dt$
cumple que
$F^{'}(x)=f(x)$
Observación:
. No todas las funciones tienen primitiva
. Toda función continua tiene primitiva
Demostración:
Según la definición analítica de derivada de una función, podemos escribir
$$\displaystyle F'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Big( \dfrac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x}\Big)$$
Estudiemos el cociente incremental que representa el argumento del límite que define la derivada de $F'(x)$, teniendo en cuenta la hipótesis del teorema:
$$\displaystyle \dfrac{ \int_{a}^{x + \Delta x} \, f(x)dx - \int_{a}^{x}\, f(x)dx }{\Delta x} = \dfrac{\int_{a}^{\Delta x}\,f(x)dx }{\Delta x}$$
Ahora bien, el numerador de esta expresión está acotado entre
$$f(x) \, \Delta x \quad \text{y} \quad f(x + \Delta x) \, \Delta x$$
y estas cotas respresentan las áreas de los rectángulos, que son respectivament, menor y mayor que él área por debajo del trozo de curva que da significado significado geométrico de la integral, es claro que, al pasar al límite cuando $ \Delta x \rightarrow 0$, se obtiene $F'(x) = f(x)$
$\square$
Dada una función $f(x)$ continua -- siendo continua es integrable -- en el intervalo $\left[a,b\right]$, la función integral ( o función primitiva de $f(x)$ )
$\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} \, f(t)\,dt$
cumple que
$F^{'}(x)=f(x)$
Observación:
. No todas las funciones tienen primitiva
. Toda función continua tiene primitiva
Demostración:
Según la definición analítica de derivada de una función, podemos escribir
$$\displaystyle F'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Big( \dfrac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x}\Big)$$
Estudiemos el cociente incremental que representa el argumento del límite que define la derivada de $F'(x)$, teniendo en cuenta la hipótesis del teorema:
$$\displaystyle \dfrac{ \int_{a}^{x + \Delta x} \, f(x)dx - \int_{a}^{x}\, f(x)dx }{\Delta x} = \dfrac{\int_{a}^{\Delta x}\,f(x)dx }{\Delta x}$$
Ahora bien, el numerador de esta expresión está acotado entre
$$f(x) \, \Delta x \quad \text{y} \quad f(x + \Delta x) \, \Delta x$$
y estas cotas respresentan las áreas de los rectángulos, que son respectivament, menor y mayor que él área por debajo del trozo de curva que da significado significado geométrico de la integral, es claro que, al pasar al límite cuando $ \Delta x \rightarrow 0$, se obtiene $F'(x) = f(x)$
$\square$
martes, 13 de febrero de 2018
Aplicaciones de la derivada. Ecuación de la recta tangente a la curva de una función dada en un cierto punto.
ENUNCIADO. Determínese la ecuación de la recta tangente a la curva asociada a la función $f(x)=x^3+x+1$ en el punto de abscisa $x=1$
SOLUCIÓN. La ecuación de la recta (tangente) pedida es $\text{r.t.}\equiv y=mx+k$ ( ecuación en forma explícita de una recta en el plano ), donde $m$ es la pendiente de la recta y $k$ es la ordenada en el origen. Sabemos que $m\overset{\text{def}}{=}f'(1)$. Teniendo en cuenta que $f'(x)=3\,x^2+1$, vemos que $f'(1)=3\cdot 1^2+1=4$, luego $m=4$. Por otra parte, el valor de la ordenada de la función del punto con abscisa igual a $1$, $f(1)$, ha de ser igual al valor de la ordenada de la función lineal $y=4x+k$ en $x=1$, por consiguiente, como $f(1)=1^3+1+1=3$, tenemos que $3=4\cdot 1 +k$, de donde despejando $k$, se obtiene $k=3-4=-1$. En consecuencia, la ecuación de la recta tangenete pedida es $$y=4x-1$$
$\square$
SOLUCIÓN. La ecuación de la recta (tangente) pedida es $\text{r.t.}\equiv y=mx+k$ ( ecuación en forma explícita de una recta en el plano ), donde $m$ es la pendiente de la recta y $k$ es la ordenada en el origen. Sabemos que $m\overset{\text{def}}{=}f'(1)$. Teniendo en cuenta que $f'(x)=3\,x^2+1$, vemos que $f'(1)=3\cdot 1^2+1=4$, luego $m=4$. Por otra parte, el valor de la ordenada de la función del punto con abscisa igual a $1$, $f(1)$, ha de ser igual al valor de la ordenada de la función lineal $y=4x+k$ en $x=1$, por consiguiente, como $f(1)=1^3+1+1=3$, tenemos que $3=4\cdot 1 +k$, de donde despejando $k$, se obtiene $k=3-4=-1$. En consecuencia, la ecuación de la recta tangenete pedida es $$y=4x-1$$
$\square$
Aplicaciones de la derivada. Extremos relativos. Optimización.
ENUNCIADO. El número de individuos ( expresado en millares ) en función del tiempo ( expresado en horas ) de una población bacteriana se describe mediante la siguiente función $$N(t)=2t\,(t-10)^2+50$$ Se pide:
a) ¿ Cuántas bacterias hay al iniciar el proceso ?
b) Calcúlese cuánto tiempo ha de pasar, inferior a las cuatro primeras horas, para que la población alcance un máximo local.
SOLUCIÓN.
a) $N(0)=2\cdot 0\,((0-10)^2+50=0+50=50$ millares
b) Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $N'(t)=0$, y teniendo en cuenta que $N'(t)=2\,\left( 1\cdot (t-10)^2+2\,(t-10)\,t\right)$ obtenemos $$2\,(t-10)\,(3t-10)=0$$ cuyas soluciones son $t^{*}_{1}=10\, \text{horas} \succ 4\, \text{horas}$ ( y por tanto no nos sirve ) y $t^{*}_{2}=\dfrac{10}{3}\, \text{horas} \prec 4\, \text{horas}$, que es la solución buscada. Procedemos ahora a comprobar que se trata de un máximo local. Por el criterio del signo de la segunda derivada en el punto en cuestión, vemos que $N''(t)=2\,(6t-40)$, luego $N''(10/3)=2\,\left(\dfrac{6\cdot 10}{3}-40\right)=-40\prec 0$, luego queda comprobado que se trata de un máximo local. $\square$
a) ¿ Cuántas bacterias hay al iniciar el proceso ?
b) Calcúlese cuánto tiempo ha de pasar, inferior a las cuatro primeras horas, para que la población alcance un máximo local.
SOLUCIÓN.
a) $N(0)=2\cdot 0\,((0-10)^2+50=0+50=50$ millares
b) Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $N'(t)=0$, y teniendo en cuenta que $N'(t)=2\,\left( 1\cdot (t-10)^2+2\,(t-10)\,t\right)$ obtenemos $$2\,(t-10)\,(3t-10)=0$$ cuyas soluciones son $t^{*}_{1}=10\, \text{horas} \succ 4\, \text{horas}$ ( y por tanto no nos sirve ) y $t^{*}_{2}=\dfrac{10}{3}\, \text{horas} \prec 4\, \text{horas}$, que es la solución buscada. Procedemos ahora a comprobar que se trata de un máximo local. Por el criterio del signo de la segunda derivada en el punto en cuestión, vemos que $N''(t)=2\,(6t-40)$, luego $N''(10/3)=2\,\left(\dfrac{6\cdot 10}{3}-40\right)=-40\prec 0$, luego queda comprobado que se trata de un máximo local. $\square$
Aplicaciones de la derivada. Extremos relativos. Optimización de funciones.
ENUNCIADO. Determínise el punto de la curva asociada a la función $f(x)=\sqrt{x}$ ( se toma el valor positivo de la raíz cuadrada ) más próximo al punto $A(2,0)$
SOLUCIÓN. Sea un punto $P(x,\sqrt{x})$ de la gráfica de la función ( de la curva ), entonces la distancia euclídea entre $P$ y $A$ es $d(A,P)=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}$, que es función de $x$: $$d(x)=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}$$ esto es $$d(x)=\sqrt{(x-2)^2+x}$$
Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $d'(x)=0$; y teniendo en cuenta que $$g'(x)=\dfrac{1}{2\,\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}}\cdot \left( (x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2 \right)'$$ las abscisas de los extremos relativos son solución de la ecuación $$\dfrac{2\,(x-2)+1}{2\,\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}}=0$$ que es cero si y sólo si se anula el numerador ( no anulándose simultáneamente el denominador ) $$2\,(x-2)+1=0 \Leftrightarrow x^{*}=\dfrac{3}{2}$$
Veamos si se trata de un mínimo relativo. Para ello utilizaremos el criterio del signo de la primera derivada a ambos lados del extremos relativo:
Podemos comprobar que $f'((3/2)^-) \overset{1 \prec 3/2}{\rightarrow} f'(1) \prec 0$ y que $f'((3/2)^+) \overset{2 \succ 3/2}{\rightarrow} f'(2) \succ 0$, luego el extremo relativo encontrado corresonde a un mínimo relativo.
Tal como se bosqueja en la gráfica de la función, este mínimo relativo es también el mínimo absoluto.
La ordenada correspondiente a $x^*=3/2$ es $f(3/2)=\sqrt{3/2}$. En consecuencia, el punto de la curva que está a distancia mínima de $A(2,0)$ es el punto de coordenadas $P_{\text{mín}}\left(3/2,\sqrt{3/2}\right)$
$\square$
SOLUCIÓN. Sea un punto $P(x,\sqrt{x})$ de la gráfica de la función ( de la curva ), entonces la distancia euclídea entre $P$ y $A$ es $d(A,P)=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}$, que es función de $x$: $$d(x)=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}$$ esto es $$d(x)=\sqrt{(x-2)^2+x}$$
Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $d'(x)=0$; y teniendo en cuenta que $$g'(x)=\dfrac{1}{2\,\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}}\cdot \left( (x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2 \right)'$$ las abscisas de los extremos relativos son solución de la ecuación $$\dfrac{2\,(x-2)+1}{2\,\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}}=0$$ que es cero si y sólo si se anula el numerador ( no anulándose simultáneamente el denominador ) $$2\,(x-2)+1=0 \Leftrightarrow x^{*}=\dfrac{3}{2}$$
Veamos si se trata de un mínimo relativo. Para ello utilizaremos el criterio del signo de la primera derivada a ambos lados del extremos relativo:
Podemos comprobar que $f'((3/2)^-) \overset{1 \prec 3/2}{\rightarrow} f'(1) \prec 0$ y que $f'((3/2)^+) \overset{2 \succ 3/2}{\rightarrow} f'(2) \succ 0$, luego el extremo relativo encontrado corresonde a un mínimo relativo.
Tal como se bosqueja en la gráfica de la función, este mínimo relativo es también el mínimo absoluto.
La ordenada correspondiente a $x^*=3/2$ es $f(3/2)=\sqrt{3/2}$. En consecuencia, el punto de la curva que está a distancia mínima de $A(2,0)$ es el punto de coordenadas $P_{\text{mín}}\left(3/2,\sqrt{3/2}\right)$
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lunes, 12 de febrero de 2018
Aplicaciones de la derivada
ENUNCIADO. Sobre un montón de arena en forma de cono está cayendo arena a razón de $10\,\dfrac{\text{dm}^3}{\text{min}}$. El radio de la base se mantiene siempre igual a la mitad de la altura del montón de arena. ¿ A qué velocidad crece la altura del montón cuando éste tiene $5\,\text{dm}$ de altura ?.
SOLUCIÓN. Denotemos por $h$ la altura del cono; por $r$ el radio de la base, y por $t$ la variable tiempo. Como $r(t)=\dfrac{1}{2}\,h(t)$, el volumen del cono viene dado por la función $$V(t)=\dfrac{1}{3}\,\pi\,\left( \dfrac{1}{2}\,h(t) \right)^2\cdot h(t)$$ esto es $$V(t)=\dfrac{\pi}{12}\,(h(t))^3$$
Sabemos que $\dfrac{dV(t)}{dt}=1\,\dfrac{\text{dm}^3}{\text{min}}$. Por otra parte, derivando la función $V(t)$ vemos que $\dfrac{dV(t)}{dt}=3\cdot \dfrac{\pi}{12}\,(h(t))^2\,\dfrac{dh}{dt}$ y simplificando, $\dfrac{dV(t)}{dt}=\dfrac{\pi}{4}\,(h(t))^2\,\dfrac{dh(t)}{dt}$, con lo cual $$\dfrac{\pi}{4}\,(h(t))^2\,\dfrac{dh(t)}{dt}=1$$ Entonces, denotando por $v(t)\equiv \dfrac{dh(t)}{dt}$ la velocidad de crecimiento de la altura del montón, y despejando, se obtiene, $$v(t)=\dfrac{4}{\pi\,(h(t))^2}$$ En consecuencia, cuando $h:=5\,\text{dm}$ la velocidad de crecimiento de la altura del montón es $$v=\dfrac{4}{\pi\cdot 5^2} \approx 0,05 \,\dfrac{\text{dm}}{\text{min}}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $h$ la altura del cono; por $r$ el radio de la base, y por $t$ la variable tiempo. Como $r(t)=\dfrac{1}{2}\,h(t)$, el volumen del cono viene dado por la función $$V(t)=\dfrac{1}{3}\,\pi\,\left( \dfrac{1}{2}\,h(t) \right)^2\cdot h(t)$$ esto es $$V(t)=\dfrac{\pi}{12}\,(h(t))^3$$
Sabemos que $\dfrac{dV(t)}{dt}=1\,\dfrac{\text{dm}^3}{\text{min}}$. Por otra parte, derivando la función $V(t)$ vemos que $\dfrac{dV(t)}{dt}=3\cdot \dfrac{\pi}{12}\,(h(t))^2\,\dfrac{dh}{dt}$ y simplificando, $\dfrac{dV(t)}{dt}=\dfrac{\pi}{4}\,(h(t))^2\,\dfrac{dh(t)}{dt}$, con lo cual $$\dfrac{\pi}{4}\,(h(t))^2\,\dfrac{dh(t)}{dt}=1$$ Entonces, denotando por $v(t)\equiv \dfrac{dh(t)}{dt}$ la velocidad de crecimiento de la altura del montón, y despejando, se obtiene, $$v(t)=\dfrac{4}{\pi\,(h(t))^2}$$ En consecuencia, cuando $h:=5\,\text{dm}$ la velocidad de crecimiento de la altura del montón es $$v=\dfrac{4}{\pi\cdot 5^2} \approx 0,05 \,\dfrac{\text{dm}}{\text{min}}$$
$\square$
Aplicaciones de la derivada
ENUNCIADO. Un globo se encuentra a $200$ metros de un prado horizontal y se eleva a razón de $15\, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Un automóvil pasa bajo el globo a una velocidad de $162\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$, siguiendo una trayectoria recta,. ¿ Con qué velocidad se separan el globo del automóvil $1\,\text{s}$ después ?.
SOLUCIÓN. La posición del globo ( en cada instante de tiempo ) con respecto del punto $O$ en el prado, bajo su vertical, es $y(t)=200+15\,t$, y la posición del automóvil ( en cada instante de tiempo ) con respecto del punto $O$ es $x(t)=162\,t$
Calculemos ahora la longitud del segmento rectilíneo que une el centro de la barquilla del globo con el centro del automóvil, cuya longintud es la distancia euclídea entre ambos móviles, la cual depende del tiempo $t$. Aplicando el teorema de Pitágoras, se puede ver que $$\ell(t)=\sqrt{(200+15t)^2+(162\,t)^2}$$
Entonces, la velocidad con la que se separan dichos móviles viene dada por la derivada de $\ell(t)$ con respecto de $t$, esto es $$\dfrac{d\ell(t)}{dt}=\dfrac{3\,(8823\,t+1000)}{\sqrt{(200+15\,t)^2+(162\,t)^2}}$$ luego $$\left(\dfrac{d\ell(t)}{dt}\right)_{t=1\,\text{s}}=\dfrac{3\,(8823\cdot 1+1000)}{\sqrt{(200+15\cdot 1)^2+(162\cdot 1)^2}}\approx 110 \,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$$
$\square$
SOLUCIÓN. La posición del globo ( en cada instante de tiempo ) con respecto del punto $O$ en el prado, bajo su vertical, es $y(t)=200+15\,t$, y la posición del automóvil ( en cada instante de tiempo ) con respecto del punto $O$ es $x(t)=162\,t$
Calculemos ahora la longitud del segmento rectilíneo que une el centro de la barquilla del globo con el centro del automóvil, cuya longintud es la distancia euclídea entre ambos móviles, la cual depende del tiempo $t$. Aplicando el teorema de Pitágoras, se puede ver que $$\ell(t)=\sqrt{(200+15t)^2+(162\,t)^2}$$
Entonces, la velocidad con la que se separan dichos móviles viene dada por la derivada de $\ell(t)$ con respecto de $t$, esto es $$\dfrac{d\ell(t)}{dt}=\dfrac{3\,(8823\,t+1000)}{\sqrt{(200+15\,t)^2+(162\,t)^2}}$$ luego $$\left(\dfrac{d\ell(t)}{dt}\right)_{t=1\,\text{s}}=\dfrac{3\,(8823\cdot 1+1000)}{\sqrt{(200+15\cdot 1)^2+(162\cdot 1)^2}}\approx 110 \,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$$
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Aplicaciones de la derivada
ENUNCIADO. Una gota de agua ( que suponemos tiene forma esférica ) cae durante la lluvia, absorbiendo humedad ( aumentando su tamaño ) de forma proporcional a su área ( hipótesis ). Demuéstrese que, en estas condiciones, su radio crece a velocidad constante.
SOLUCIÓN. Denotemos por $V$ al volumen de la gota de agua, que, naturalmente es función del radio de la gota, $r$; y éste, de $t$ ( tiempo ). De acuerdo a lo que se dice en el enunciado podemos escribir $$\dfrac{dV(t)}{dt}=k\,A(t) \quad \quad (1)$$ Teniendo en cuenta que el volumen de una esfera viene dado por la expresión $V(t)=\dfrac{4}{3}\,\pi\,(r(t))^3$ y que el área de la superficie de la esfera es $4\,\pi\,(r(t))^2$, derivando el volumen y aplicando para ello la regla de la cadena podemos escribir (1) de la forma $$\dfrac{4}{3}\,\pi \dfrac{d(r(t))^3}{dr}\cdot\dfrac{d(r(t)}{dt}=4\,\pi\,k\,(r(t))^2$$ esto es $$\dfrac{4}{3}\,\pi \cdot 3\,(r(t))^2 \cdot\dfrac{d(r(t)}{dt}=4\,\pi\,k\,(r(t))^2$$ y simplificando $$\dfrac{d(r(t)}{dt}=k\; \text{constante}$$ que es lo que queríamos demostrar. $\square$
SOLUCIÓN. Denotemos por $V$ al volumen de la gota de agua, que, naturalmente es función del radio de la gota, $r$; y éste, de $t$ ( tiempo ). De acuerdo a lo que se dice en el enunciado podemos escribir $$\dfrac{dV(t)}{dt}=k\,A(t) \quad \quad (1)$$ Teniendo en cuenta que el volumen de una esfera viene dado por la expresión $V(t)=\dfrac{4}{3}\,\pi\,(r(t))^3$ y que el área de la superficie de la esfera es $4\,\pi\,(r(t))^2$, derivando el volumen y aplicando para ello la regla de la cadena podemos escribir (1) de la forma $$\dfrac{4}{3}\,\pi \dfrac{d(r(t))^3}{dr}\cdot\dfrac{d(r(t)}{dt}=4\,\pi\,k\,(r(t))^2$$ esto es $$\dfrac{4}{3}\,\pi \cdot 3\,(r(t))^2 \cdot\dfrac{d(r(t)}{dt}=4\,\pi\,k\,(r(t))^2$$ y simplificando $$\dfrac{d(r(t)}{dt}=k\; \text{constante}$$ que es lo que queríamos demostrar. $\square$
domingo, 11 de febrero de 2018
Aplicaciones del teorema de Rolle
ENUNCIADO. La función $f:[1,3]\subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto x^2-4x+11$ , ¿ verifica las condiciones suficientes del teorema de Rolle ? En caso afirmativo, encontrar una abscisa, $x_P$, tal que $f'(x_P)=0$
SOLUCIÓN. La función, al ser de tipo polinómico, es continua en el intervalo $[1,3]$ y derivable en $(1,3)$; por otra parte, $f(1)=f(3)=8$, luego se cumplen las condiciones suficientes. Procedamos a calcular $x_P$. La condición necesaria del teorema es: existe un $x_P$ en $(1,3)$ tal que $f'(x_P)=0$, como $f'(x)=2x-4$, tenemos que $2x_P-4=0$, luego $x_P=2$ $\square$
SOLUCIÓN. La función, al ser de tipo polinómico, es continua en el intervalo $[1,3]$ y derivable en $(1,3)$; por otra parte, $f(1)=f(3)=8$, luego se cumplen las condiciones suficientes. Procedamos a calcular $x_P$. La condición necesaria del teorema es: existe un $x_P$ en $(1,3)$ tal que $f'(x_P)=0$, como $f'(x)=2x-4$, tenemos que $2x_P-4=0$, luego $x_P=2$ $\square$
Aplicaciones del teorema de Lagrange ( o del valor medio ) a la aproximación del valor de una función en un punto
ENUNCIADO. Aproximar $\sqrt{124}$ a partir de la aplicación del teorema de Lagrange a la función $f(x)=\sqrt{x}$
SOLUCIÓN. Observemos que $11^2=121 \prec 124$ y que $(11+1)^2=12^2=144 \succ 124$, y teniendo en cuenta que la función $f(x)=\sqrt{x}$ ( tomado el valor absoluto de la raíz cuadrada ) es continua en $[11,12] \subset \mathbb{R}$ y derivable en el intervalo $(11,12)$, estamos en condiciones de aplicar el teorema del valor medio ( o de Lagrange ); así que existe un punto $x_P$, comprendido entre $11$ y $12$, tal que $$\dfrac{f(124)-f(121)}{124-121}=f'(x_P)$$ y como $f'(x)=\dfrac{1}{2\,\sqrt{x}}$, podemos escribir $$\sqrt{124}=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x_P}}+11 \quad \quad (1)$$ Teniendo en cuenta ahora que $11^2\prec x_P\prec 124 \prec 12^2$, se tiene que $11 \prec \sqrt{x_P} \prec 12$ con lo cual $\dfrac{1}{12}\prec \dfrac{1}{\sqrt{x_P}}\prec \dfrac{1}{11}$. En consecuencia, de (1), ha de cumplirse que $$\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{12}+11 \prec \sqrt{124} \prec \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{11}+11$$ esto es $$\dfrac{89}{8}\prec \sqrt{124}\prec \dfrac{245}{22}$$
$\square$
SOLUCIÓN. Observemos que $11^2=121 \prec 124$ y que $(11+1)^2=12^2=144 \succ 124$, y teniendo en cuenta que la función $f(x)=\sqrt{x}$ ( tomado el valor absoluto de la raíz cuadrada ) es continua en $[11,12] \subset \mathbb{R}$ y derivable en el intervalo $(11,12)$, estamos en condiciones de aplicar el teorema del valor medio ( o de Lagrange ); así que existe un punto $x_P$, comprendido entre $11$ y $12$, tal que $$\dfrac{f(124)-f(121)}{124-121}=f'(x_P)$$ y como $f'(x)=\dfrac{1}{2\,\sqrt{x}}$, podemos escribir $$\sqrt{124}=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x_P}}+11 \quad \quad (1)$$ Teniendo en cuenta ahora que $11^2\prec x_P\prec 124 \prec 12^2$, se tiene que $11 \prec \sqrt{x_P} \prec 12$ con lo cual $\dfrac{1}{12}\prec \dfrac{1}{\sqrt{x_P}}\prec \dfrac{1}{11}$. En consecuencia, de (1), ha de cumplirse que $$\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{12}+11 \prec \sqrt{124} \prec \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{11}+11$$ esto es $$\dfrac{89}{8}\prec \sqrt{124}\prec \dfrac{245}{22}$$
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El teorema de Lagrange y la desigualdad de Bernoulli
El teorema de Lagrange ( o del valor medio ) sirve para demostrar desigualdades entre funciones, por ejemplo la desigualdad de Bernouilli, que dice lo siguiente: para todo $x \succ 0$ y para cualquier número real $k \succ 1$ se cumple la llamda desigualdad de Bernoulli: $$(1+x)^k \succ 1 +k\,x$$ Procedamos a demostrarla:
La función $f(x)=(1+x)^k$ es continua en el intervalo $[0,x] \subset \mathbb{R}$ y derivable en el intervalo $(0,x)$, con lo cual se cumple la tesis del teorema de Lagrange: existe un $x_P$, $0\prec x_P \prec x$, tal que $$\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(x_P)$$ Como $f(0)=(1+0)^k=1$, tenemos que $$(1+x)^k-1=x\,f'(x_P)$$ Y teniendo en cuenta que $f'(x)=k\,(1+x)^{k-1}$ podemos escribir $$(1+x)^k-1=k\,x\,(1+x_P)^{k-1}$$ esto es $$(1+x)^k=1+k\,x\,(1+x_P)^{k-1}$$ Ahora bien, $(1+x_P) \succ 1$ luego $(1+x_P)^{k-1}\succ 1$ y, en consecuencia, $$(1+x)^k\succ 1+k\,x$$
$\square$
La función $f(x)=(1+x)^k$ es continua en el intervalo $[0,x] \subset \mathbb{R}$ y derivable en el intervalo $(0,x)$, con lo cual se cumple la tesis del teorema de Lagrange: existe un $x_P$, $0\prec x_P \prec x$, tal que $$\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(x_P)$$ Como $f(0)=(1+0)^k=1$, tenemos que $$(1+x)^k-1=x\,f'(x_P)$$ Y teniendo en cuenta que $f'(x)=k\,(1+x)^{k-1}$ podemos escribir $$(1+x)^k-1=k\,x\,(1+x_P)^{k-1}$$ esto es $$(1+x)^k=1+k\,x\,(1+x_P)^{k-1}$$ Ahora bien, $(1+x_P) \succ 1$ luego $(1+x_P)^{k-1}\succ 1$ y, en consecuencia, $$(1+x)^k\succ 1+k\,x$$
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Optimización. Extremos relativos de funciones.
ENUNCIADO. Considérese un sector circular, de radio $r$, cuya longitud de arco viene fijada por la cantidad $\ell$, y tal que el perímetro de la figura así formada sea igual a $100$ milímetros. Para qué valor de $r$ el área es máxima ?
SOLUCIÓN. Procedemos a encontrar la función $f(r)$ que proporcione el valor del área del sector circular en función de la variable $r$. Como el área de un círculo de radio $r$ es $\pi\,r^2$, el área $\mathcal{A}$ del sector circular cuya longitud de arco sea $\ell$ se obtiene planteando una simple proporción directa $$\dfrac{\mathcal{A}}{\ell}=\dfrac{\pi\,r^2}{2\,\pi\,r} \Rightarrow \mathcal{A}=\dfrac{\ell\,r}{2}\quad \quad (1)$$ Por otra parte, la ligazón entre $\ell$ y $r$ viene determinada por la condición del problema $$100=2r+\ell$$ y por tanto $$\ell=2\,(50-r)$$ Así pues, sustituyendo en (1) y simplificando llegamos a $$\mathcal{A}\rightarrow f(r)=r\,(50-r)$$
Imponiendo la condición necesaria para encontrar extremos relativos $$f'(r)=0$$ vemos que $$1\cdot (50-r)-r=0$$ luego $$r^{*}=\dfrac{50}{2}=25\,\text{mm}$$ abscisa que corresponde a un máximo local, pues por el criterio del signo de la segunda derivada en el punto en cuestión, $$f''(25)=-2 \prec 0$$
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SOLUCIÓN. Procedemos a encontrar la función $f(r)$ que proporcione el valor del área del sector circular en función de la variable $r$. Como el área de un círculo de radio $r$ es $\pi\,r^2$, el área $\mathcal{A}$ del sector circular cuya longitud de arco sea $\ell$ se obtiene planteando una simple proporción directa $$\dfrac{\mathcal{A}}{\ell}=\dfrac{\pi\,r^2}{2\,\pi\,r} \Rightarrow \mathcal{A}=\dfrac{\ell\,r}{2}\quad \quad (1)$$ Por otra parte, la ligazón entre $\ell$ y $r$ viene determinada por la condición del problema $$100=2r+\ell$$ y por tanto $$\ell=2\,(50-r)$$ Así pues, sustituyendo en (1) y simplificando llegamos a $$\mathcal{A}\rightarrow f(r)=r\,(50-r)$$
Imponiendo la condición necesaria para encontrar extremos relativos $$f'(r)=0$$ vemos que $$1\cdot (50-r)-r=0$$ luego $$r^{*}=\dfrac{50}{2}=25\,\text{mm}$$ abscisa que corresponde a un máximo local, pues por el criterio del signo de la segunda derivada en el punto en cuestión, $$f''(25)=-2 \prec 0$$
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viernes, 9 de febrero de 2018
Construcción de una función de un determinado tipo, calculando el valor de varios parámetros, dadas determinadas condiciones
ENUNCIADO. Dada la función $f(x)=ax^4+3bx^3-3x^2-ax$, determinar el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la gráfica de la función presente dos puntos de inflexión, uno en $x=1$ y otro en $x=\dfrac{1}{2}$
SOLUCIÓN. Impondremos la condición de punto de inflexión, $f''(x)=0$. La primera derivada es $f'(x)=4ax^3+9bx^2-6x-a$, luego la función segunda derivada es $f''(x)=12ax^2+18bx-6$. De la condición, $$2ax^2+3bx-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-3b\pm \sqrt{9b^2+8a}}{4a}$$ Como $x$ ha de tomar los valores $1$ y $1/2$, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{-3b+\sqrt{9b^2+8a}}{4a}=1 \\ \\ \dfrac{-3b-\sqrt{9b^2+8a}}{4a}=1/2 \end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}(4a+3b)^2=9b^2+8a \\ \\ (2a+3b)^2=9b^2+8a \end{matrix}\right.$$ que simplificado queda $$\left\{\begin{matrix}2a+3b=1 \\ a+3b=2\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}2a&+&3b&=&1 \\&& -3b&=&-3\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}a&&&=&-1 \\&& b&=&1\end{matrix}\right. $$ Por consiguiente, la función pedida es $$f(x)-x^4+3x^3+3x^2+1$$
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SOLUCIÓN. Impondremos la condición de punto de inflexión, $f''(x)=0$. La primera derivada es $f'(x)=4ax^3+9bx^2-6x-a$, luego la función segunda derivada es $f''(x)=12ax^2+18bx-6$. De la condición, $$2ax^2+3bx-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-3b\pm \sqrt{9b^2+8a}}{4a}$$ Como $x$ ha de tomar los valores $1$ y $1/2$, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{-3b+\sqrt{9b^2+8a}}{4a}=1 \\ \\ \dfrac{-3b-\sqrt{9b^2+8a}}{4a}=1/2 \end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}(4a+3b)^2=9b^2+8a \\ \\ (2a+3b)^2=9b^2+8a \end{matrix}\right.$$ que simplificado queda $$\left\{\begin{matrix}2a+3b=1 \\ a+3b=2\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}2a&+&3b&=&1 \\&& -3b&=&-3\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}a&&&=&-1 \\&& b&=&1\end{matrix}\right. $$ Por consiguiente, la función pedida es $$f(x)-x^4+3x^3+3x^2+1$$
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jueves, 8 de febrero de 2018
Aplicaciones del teorema de Lagrange ( o del valor medio )
ENUNCIADO. Dada la función $f(x)=3x^2$, encuéntrese un punto en el que la recta tangente a la curva en dicho punto sea paralela a la cuerda que une los puntos $A(0,0)$ y $B(4,48)$
SOLUCIÓN. Como la función $f$ es continua y derivable para cualquier valor $x$ de $\mathbb{R}$, desde luego lo es también para todos los números reales comprendidos entre $0$ y $4$, ambos incluidos, luego estamos en condiciones de aplicar el teorema del valor medio o de Lagrange. Existe pues un punto $P$ de abscisa $x_P$ tal que $$\dfrac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}=f'(x_P)$$ por lo que, con los datos del problema, podemos escribir $$\dfrac{48-0}{4-0}=f'(x_P)$$ y teniendo en cuenta que $f'(x)=6x$, tenemos que $$\dfrac{48-0}{4-0}=6\,x_p \Rightarrow x_P=2$$ luego $y_P=f(x_P)=f(2)=3\cdot 2^2=12$, por lo que el punto pedido es $P(2,12)$
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SOLUCIÓN. Como la función $f$ es continua y derivable para cualquier valor $x$ de $\mathbb{R}$, desde luego lo es también para todos los números reales comprendidos entre $0$ y $4$, ambos incluidos, luego estamos en condiciones de aplicar el teorema del valor medio o de Lagrange. Existe pues un punto $P$ de abscisa $x_P$ tal que $$\dfrac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}=f'(x_P)$$ por lo que, con los datos del problema, podemos escribir $$\dfrac{48-0}{4-0}=f'(x_P)$$ y teniendo en cuenta que $f'(x)=6x$, tenemos que $$\dfrac{48-0}{4-0}=6\,x_p \Rightarrow x_P=2$$ luego $y_P=f(x_P)=f(2)=3\cdot 2^2=12$, por lo que el punto pedido es $P(2,12)$
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Aplicaciones del teorema de Bolzano
ENUNCIADO. Justifíquese la siguiente afirmación: La función $f(x)=e^x-3$ tiene una única raíz en el intervalo $[0,3] \subset \mathbb{R}$
SOLUCIÓN. La función es continua en dicho intervalo, y como $f(0)=e^0-3=1-2=-2 \prec 0$ y $f(3)=e^3-3 \succ 0$, por el teorema de Bolzano, existe al menos una raíz entre los extremos de dicho intervalo.
Observación: La función pedida no tiene extremos relativos, en consecuencia es monótona ( creciente ) en todos los puntos de su dominio de definición, luego la raíz de la que hablamos es la única en todo el dominio de definición de $f$, esto es, en $\mathbb{R}$
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SOLUCIÓN. La función es continua en dicho intervalo, y como $f(0)=e^0-3=1-2=-2 \prec 0$ y $f(3)=e^3-3 \succ 0$, por el teorema de Bolzano, existe al menos una raíz entre los extremos de dicho intervalo.
Observación: La función pedida no tiene extremos relativos, en consecuencia es monótona ( creciente ) en todos los puntos de su dominio de definición, luego la raíz de la que hablamos es la única en todo el dominio de definición de $f$, esto es, en $\mathbb{R}$
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Función parte entera de un número real
La parte entera de un número real se define como el mayor número entero de todos los números enteros menores o iguales que dicho número real, y se escribe $$y=\text{Ent}(x)$$ así que la función envía un número real a un número entero: $$E:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Z}$$
Así por ejemplo $\text{Ent}(1,2)=1$, $\text{Ent}(-1,2)=-2$, $\text{Ent}(1)=1$, $\text{Ent}(0)=0$, etcétera.
Construyendo una tabla de valores es muy fácil dibujar la gráfica de dicha función:
Observación. Esta función tiene infinitos puntos de discontinuidad de salto, esto es para todo $x \in \mathbb{Z}$. Por consiguiente no es derivable en todos esos puntos.
Nota. En las calculadoras científicas avanzadas y en las aplicaciones de cálculo ( como GeoGebra ) existe una función predefinida para calcular la parte entera de un número: $\text{floor}(x)$.
Así por ejemplo $\text{Ent}(1,2)=1$, $\text{Ent}(-1,2)=-2$, $\text{Ent}(1)=1$, $\text{Ent}(0)=0$, etcétera.
Construyendo una tabla de valores es muy fácil dibujar la gráfica de dicha función:
Observación. Esta función tiene infinitos puntos de discontinuidad de salto, esto es para todo $x \in \mathbb{Z}$. Por consiguiente no es derivable en todos esos puntos.
Nota. En las calculadoras científicas avanzadas y en las aplicaciones de cálculo ( como GeoGebra ) existe una función predefinida para calcular la parte entera de un número: $\text{floor}(x)$.
miércoles, 7 de febrero de 2018
Calculando límites
ENUNCIADO. Calcular el siguiente límite $$\displaystyle\,\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x}{\sin\,x}$$
SOLUCIÓN. $\displaystyle\,\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x}{\sin\,x}\overset{\frac{0}{0}}{=}\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{(x)'}{(\sin\,x)'}=\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{1}{\cos\,x}=\dfrac{1}{\cos\,0}=\dfrac{1}{1}=1$
donde hemos aplicado la regla de l'Hôpital para resolver la indeterminación indicada
$\square$
SOLUCIÓN. $\displaystyle\,\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x}{\sin\,x}\overset{\frac{0}{0}}{=}\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{(x)'}{(\sin\,x)'}=\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{1}{\cos\,x}=\dfrac{1}{\cos\,0}=\dfrac{1}{1}=1$
donde hemos aplicado la regla de l'Hôpital para resolver la indeterminación indicada
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Cálculo de límites de funciones
ENUNCIADO. Calcular el siguiente límite $$\displaystyle\,\lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{\sin\,x}{x}$$
SOLUCIÓN. La función del numerador, $\sin\,x$, está acotada entre $-1$ y $1$; por otra parte, al pasar al límite el denominador tiene a $\infty$, luego el límite pedido tiende a $0$ $\square$
SOLUCIÓN. La función del numerador, $\sin\,x$, está acotada entre $-1$ y $1$; por otra parte, al pasar al límite el denominador tiene a $\infty$, luego el límite pedido tiende a $0$ $\square$
Expresión de una función que no es ni par ni impar como suma de una función par y una función impar
ENUNCIADO. La función $f(x)=|x-1|$ no es par ni es impar. Exprésese dicha función como suma de una función par y una función impar.
SOLUCIÓN. Por otro ejercicio expuesto en este mismo blog, sabemos que podemos expresar $f(x)$ como $p(x)+i(x)$ donde $p(x)=\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))$ e $i(x)=\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))$. Veamos cuáles son, en nuestro caso, las funciones $p(x)$ e $i(x)$:
$p(x)\equiv\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|+|-x-1|)=$
$=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|+|(-1)\cdot(x+1)|)=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|+|(x+1)|)$
$i(x)\equiv\dfrac{1}{2}\,(f(x)-f(-x))=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|-|-x-1|)=$
$=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|-|(-1)\cdot(x+1)|)=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|-|(x+1)|)$
Y, en efecto, podemos comprobar que
$p(x)+i(x)=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|+|(x+1)|)+\dfrac{1}{2}\,(|x-1|-|(x+1)|)=$
$=2\cdot \dfrac{1}{2}\,|x-1|=|x-1|=f(x)$
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SOLUCIÓN. Por otro ejercicio expuesto en este mismo blog, sabemos que podemos expresar $f(x)$ como $p(x)+i(x)$ donde $p(x)=\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))$ e $i(x)=\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))$. Veamos cuáles son, en nuestro caso, las funciones $p(x)$ e $i(x)$:
$p(x)\equiv\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|+|-x-1|)=$
$=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|+|(-1)\cdot(x+1)|)=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|+|(x+1)|)$
$i(x)\equiv\dfrac{1}{2}\,(f(x)-f(-x))=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|-|-x-1|)=$
$=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|-|(-1)\cdot(x+1)|)=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|-|(x+1)|)$
Y, en efecto, podemos comprobar que
$p(x)+i(x)=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|+|(x+1)|)+\dfrac{1}{2}\,(|x-1|-|(x+1)|)=$
$=2\cdot \dfrac{1}{2}\,|x-1|=|x-1|=f(x)$
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Expresión de una función cualquiera como suma de una función par y una función impar
ENUNCIADO. Demuéstrese que toda función puede expresarse como suma de una función par y una función impar
SOLUCIÓN. Recordemos que una función $g(x)$ es par si $g(x)=g(-x)$ y es impar si $g(x)=-g(-x)$. Sea $f$ una función cualquiera, entonces:
Podemos escribir una función par de la forma $p(x)=\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))$; en efecto, $p$ es par, pues $p(-x)=\dfrac{1}{2}\,(f(-x)+f(-(-x))=\dfrac{1}{2}\,(f(-x)+f(x))=\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))=p(x)$
También podemos escribir una función impar, de la forma $i(x)=\dfrac{1}{2}\,(f(x)-f(-x))$; en efecto, $i$ es impar, pues $i(-x)=\dfrac{1}{2}\,(f(-x)-f(-(-x))=\dfrac{1}{2}\,(f(-x)-f(x))=-\dfrac{1}{2}\,(f(x)-f(-x))=-i(x)$
Y, sumando $p(x)$ e $i(x)$, obtenemos la función $f$: $$p(x)+i(x)=\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))+\dfrac{1}{2}\,(f(x)-f(-x))=\dfrac{1}{2}\cdot 2 \,f(x)=f(x)$$
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SOLUCIÓN. Recordemos que una función $g(x)$ es par si $g(x)=g(-x)$ y es impar si $g(x)=-g(-x)$. Sea $f$ una función cualquiera, entonces:
Podemos escribir una función par de la forma $p(x)=\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))$; en efecto, $p$ es par, pues $p(-x)=\dfrac{1}{2}\,(f(-x)+f(-(-x))=\dfrac{1}{2}\,(f(-x)+f(x))=\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))=p(x)$
También podemos escribir una función impar, de la forma $i(x)=\dfrac{1}{2}\,(f(x)-f(-x))$; en efecto, $i$ es impar, pues $i(-x)=\dfrac{1}{2}\,(f(-x)-f(-(-x))=\dfrac{1}{2}\,(f(-x)-f(x))=-\dfrac{1}{2}\,(f(x)-f(-x))=-i(x)$
Y, sumando $p(x)$ e $i(x)$, obtenemos la función $f$: $$p(x)+i(x)=\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))+\dfrac{1}{2}\,(f(x)-f(-x))=\dfrac{1}{2}\cdot 2 \,f(x)=f(x)$$
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Funciones periódicas y no periódicas
ENUNCIADO. Demuéstrese que la función $f(x)=\sin\,\left|2x\right|$ no es periódica
SOLUCIÓN. Recordemos que una función $g(x)$ es periódica si existe un número real $T$, al que llamamos periodo, tal que $g(x)=g(x+T)$ para todo valor $x$ en el que $g$ está definida.
Estudiemos la función pedida, $f$. Tengamos en cuenta que en el caso de $x\ge 0$, la función en estudio sería $y=\sin\,2x$, que, desde luego, es periódica ( de periodo $\pi$ ), es decir, $\sin\,2x=\sin\,(2x+\pi)$. Sin embargo, al tener en cuenta también los valores negativos de $x$ y el valor absoluto en el argumento, podemos ver que la función pedida $f$ no es periódica, pues basta encontrar algún contraejemplo: buscando dos valores del argumento del seno tales que, distanciados un valor de $\pi$, no tengan la misma imagen por $f$.
Por ejemplo $-\pi/4$ y $3\,\pi/4$; en efecto, vemos que $ 3\,\pi/4 - (-\pi/4)=\pi$, esto es $3\,\pi/4= -\pi/4 +\pi$; sin embargo $f( -\pi/4 ) = \sin\,|2\,(-\pi/4)|=\sin\,\,\pi/2 = 1$. Y, por otra parte, $f(-\pi/4 +\pi ) = f( 3\,\pi/4 ) =\sin\,|2\,(3\,\pi/4)|=\sin\,\,3\,\pi/2 = -1$, con lo cual $f( -\pi/4 ) \neq f(-\pi/4 +\pi )$, luego $f$ no es periódica.
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SOLUCIÓN. Recordemos que una función $g(x)$ es periódica si existe un número real $T$, al que llamamos periodo, tal que $g(x)=g(x+T)$ para todo valor $x$ en el que $g$ está definida.
Estudiemos la función pedida, $f$. Tengamos en cuenta que en el caso de $x\ge 0$, la función en estudio sería $y=\sin\,2x$, que, desde luego, es periódica ( de periodo $\pi$ ), es decir, $\sin\,2x=\sin\,(2x+\pi)$. Sin embargo, al tener en cuenta también los valores negativos de $x$ y el valor absoluto en el argumento, podemos ver que la función pedida $f$ no es periódica, pues basta encontrar algún contraejemplo: buscando dos valores del argumento del seno tales que, distanciados un valor de $\pi$, no tengan la misma imagen por $f$.
Por ejemplo $-\pi/4$ y $3\,\pi/4$; en efecto, vemos que $ 3\,\pi/4 - (-\pi/4)=\pi$, esto es $3\,\pi/4= -\pi/4 +\pi$; sin embargo $f( -\pi/4 ) = \sin\,|2\,(-\pi/4)|=\sin\,\,\pi/2 = 1$. Y, por otra parte, $f(-\pi/4 +\pi ) = f( 3\,\pi/4 ) =\sin\,|2\,(3\,\pi/4)|=\sin\,\,3\,\pi/2 = -1$, con lo cual $f( -\pi/4 ) \neq f(-\pi/4 +\pi )$, luego $f$ no es periódica.
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Funciones periódicas
ENUNCIADO. Averiguar el periodo de la función (periódica) $f(x)=2\,\sin 5x$
SOLUCIÓN. Recordemos que una función $g(x)$ es periódica si existe un número real $T$ tal que para todo valor $x$ que tenga imagen por $g$, se tiene que $g(x+T)=g(x)$. Sabemos que la función seno es periódica y su periodo es $2\,\pi$ rad, luego $\sin\,5x = \sin\,(5x+2\,\pi) = \sin\,\left(5\,(x+\dfrac{2}{5}\,\pi)\right)=\sin\,(5\,x')$, donde $x'=x+\dfrac{2}{5}\,\pi$, por lo que el periodo de la función $\sin\,5x$ es $\dfrac{2}{5}\,\pi$ rad; y, por tanto, el periodo de la función pedida, $f(x)=2\,\sin\,5x$, también es $\dfrac{2}{5}\,\pi$ rad, pues la amplitud de la misma ( en este caso, el factor '$2$' ) no afecta al periodo de la misma.
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SOLUCIÓN. Recordemos que una función $g(x)$ es periódica si existe un número real $T$ tal que para todo valor $x$ que tenga imagen por $g$, se tiene que $g(x+T)=g(x)$. Sabemos que la función seno es periódica y su periodo es $2\,\pi$ rad, luego $\sin\,5x = \sin\,(5x+2\,\pi) = \sin\,\left(5\,(x+\dfrac{2}{5}\,\pi)\right)=\sin\,(5\,x')$, donde $x'=x+\dfrac{2}{5}\,\pi$, por lo que el periodo de la función $\sin\,5x$ es $\dfrac{2}{5}\,\pi$ rad; y, por tanto, el periodo de la función pedida, $f(x)=2\,\sin\,5x$, también es $\dfrac{2}{5}\,\pi$ rad, pues la amplitud de la misma ( en este caso, el factor '$2$' ) no afecta al periodo de la misma.
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Averiguando si una función dada es par, impar o bien no es ni par ni impar
ENUNCIADO. Considérese la función $f(x)=\left|x-1\right|$. ¿ Es par ? ¿ Es impar ? ¿ Ni una cosa ni otra ?
SOLUCIÓN. Recordemos que una función $g(x)$ es par si $g(-x)=g(x)$ y que es impar si $g(x)=-g(-x)$. La función pedida, $f$, no es impar, pues $f(-x)= \left|-x-1\right|=\left|(-1)\cdot (x+1)\right|=\left|x+1\right|\neq -\left|x-1\right|=-f(x)$; y, desde luego, tampoco es par, pues $f(-x)=\left|x+1\right|\neq \left|x-1\right|=f(x)$. En consecuencia $f$ no es par ni impar. $\square$
SOLUCIÓN. Recordemos que una función $g(x)$ es par si $g(-x)=g(x)$ y que es impar si $g(x)=-g(-x)$. La función pedida, $f$, no es impar, pues $f(-x)= \left|-x-1\right|=\left|(-1)\cdot (x+1)\right|=\left|x+1\right|\neq -\left|x-1\right|=-f(x)$; y, desde luego, tampoco es par, pues $f(-x)=\left|x+1\right|\neq \left|x-1\right|=f(x)$. En consecuencia $f$ no es par ni impar. $\square$
martes, 6 de febrero de 2018
lunes, 5 de febrero de 2018
sábado, 3 de febrero de 2018
Derivadas sucesivas
ENUNCIADO. Calcular la derivada de orden $n$ de la función $f(x)=\ln\,x$
SOLUCIÓN. Procedamos a obtener las derivadas sucesivas:
$f'(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1}$
$f^{''}(x)=(x^{-1})'=-x^{-2}$
$f^{'''}(x)=(-x^{-2})'=2\,x^{-3}$
$f^{iv}(x)=(2\,x^{-3})'=-2\cdot 3\,x^{-4}$
$f^{v}(x)=(-2\cdot 3\,x^{-4})'=2\cdot 3 \cdot 4\,x^{-5}$
$f^{vi}(x)=(2\cdot 3 \cdot 4\,x^{-5})'=-2\cdot 3 \cdot 4\cdot 5\,x^{-6}$
$\ldots$
De todo ello es fácil inducir que $f^{n}(x)=(-1)^{n-1}\cdot (n-1)!\,x^{-n}$
$\square$
SOLUCIÓN. Procedamos a obtener las derivadas sucesivas:
$f'(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1}$
$f^{''}(x)=(x^{-1})'=-x^{-2}$
$f^{'''}(x)=(-x^{-2})'=2\,x^{-3}$
$f^{iv}(x)=(2\,x^{-3})'=-2\cdot 3\,x^{-4}$
$f^{v}(x)=(-2\cdot 3\,x^{-4})'=2\cdot 3 \cdot 4\,x^{-5}$
$f^{vi}(x)=(2\cdot 3 \cdot 4\,x^{-5})'=-2\cdot 3 \cdot 4\cdot 5\,x^{-6}$
$\ldots$
De todo ello es fácil inducir que $f^{n}(x)=(-1)^{n-1}\cdot (n-1)!\,x^{-n}$
$\square$
jueves, 1 de febrero de 2018
Aplicaciones de la derivada. Optimización
Observación: En el ejercicio se determina un máximo relativo en $x=\dfrac{10}{3}$ m; como el dominio de definición de la función es $\text{Dom}\,f=[0\,,\,5]$ m, podemos decir que dicho máximo relativo ( local ) corresponde también al máximo absoluto de la función.
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