Integral indefinida. Cálculo de primitivas de funciones trigonométricas.

ENUNCIADO. Calcular la integral indefinida $$\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{\sin\,x}$$

SOLUCIÓN. Efectuemos el cambio de variable $t=\tan\,\dfrac{x}{2}$, con lo cual $x=2\,\arctan\,t$ y por tanto $$dx=\,2\,\arctan\,\dfrac{1}{1+t^2}\,dt$$ Por otra parte, por la identidad trigonométrica $$\sin\,x=2\,\sin\,\dfrac{x}{2}\cos\,\dfrac{x}{2}$$ y teniendo en cuenta también la identidad fundamental de la trigonometría, $\sin^2\,\dfrac{x}{2}+\cos^2\,\dfrac{x}{2}=1$, podemos escribir $$\sin\,x=2\,\dfrac{\sin\,\dfrac{x}{2}\cos\,\dfrac{x}{2}}{\sin^2\,\dfrac{x}{2}+\cos^2\,\dfrac{x}{2}}$$ y dividiendo numerador y denominador por $\cos^2\,\dfrac{x}{2}$ y teniendo en cuenta que $\tan\,\dfrac{x}{2}\overset{\text{def}}{=}\dfrac{\sin\,(x/2)}{\cos\,(x/2)}$, nos queda que $$\sin\,x=2\,\dfrac{\tan\,\dfrac{x}{2}}{1+\tan^2}$$ esto es $$\sin\,x=2\,\dfrac{t}{1+t^2}$$ Así pues, la integral pedida puede escribirse de la forma $$\displaystyle \int\,\frac{\frac{2}{1+t^2}}{\frac{2\,t}{1+t^2}}\,dt=\int\,\dfrac{dt}{t}=\ln\,t+C_1$$ y deshaciendo el cambio de variable, llegamos a $$\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{\sin\,x} = \ln\,\left(\left|\tan\,\dfrac{x}{2}\right|\right)+C$$
$\square$