Aplicaciones de la derivada. Extremos relativos. Optimización de funciones.

ENUNCIADO. Determínise el punto de la curva asociada a la función $f(x)=\sqrt{x}$ ( se toma el valor positivo de la raíz cuadrada ) más próximo al punto $A(2,0)$

SOLUCIÓN. Sea un punto $P(x,\sqrt{x})$ de la gráfica de la función ( de la curva ), entonces la distancia euclídea entre $P$ y $A$ es $d(A,P)=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}$, que es función de $x$: $$d(x)=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}$$ esto es $$d(x)=\sqrt{(x-2)^2+x}$$

Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $d'(x)=0$; y teniendo en cuenta que $$g'(x)=\dfrac{1}{2\,\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}}\cdot \left( (x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2 \right)'$$ las abscisas de los extremos relativos son solución de la ecuación $$\dfrac{2\,(x-2)+1}{2\,\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}}=0$$ que es cero si y sólo si se anula el numerador ( no anulándose simultáneamente el denominador ) $$2\,(x-2)+1=0 \Leftrightarrow x^{*}=\dfrac{3}{2}$$

Veamos si se trata de un mínimo relativo. Para ello utilizaremos el criterio del signo de la primera derivada a ambos lados del extremos relativo:
Podemos comprobar que $f'((3/2)^-) \overset{1 \prec 3/2}{\rightarrow} f'(1) \prec 0$ y que $f'((3/2)^+) \overset{2 \succ 3/2}{\rightarrow} f'(2) \succ 0$, luego el extremo relativo encontrado corresonde a un mínimo relativo.

Tal como se bosqueja en la gráfica de la función, este mínimo relativo es también el mínimo absoluto.

La ordenada correspondiente a $x^*=3/2$ es $f(3/2)=\sqrt{3/2}$. En consecuencia, el punto de la curva que está a distancia mínima de $A(2,0)$ es el punto de coordenadas $P_{\text{mín}}\left(3/2,\sqrt{3/2}\right)$
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