Aplicaciones del teorema de Lagrange ( o del valor medio ) a la aproximación del valor de una función en un punto

ENUNCIADO. Aproximar $\sqrt{124}$ a partir de la aplicación del teorema de Lagrange a la función $f(x)=\sqrt{x}$

SOLUCIÓN. Observemos que $11^2=121 \prec 124$ y que $(11+1)^2=12^2=144 \succ 124$, y teniendo en cuenta que la función $f(x)=\sqrt{x}$ ( tomado el valor absoluto de la raíz cuadrada ) es continua en $[11,12] \subset \mathbb{R}$ y derivable en el intervalo $(11,12)$, estamos en condiciones de aplicar el teorema del valor medio ( o de Lagrange ); así que existe un punto $x_P$, comprendido entre $11$ y $12$, tal que $$\dfrac{f(124)-f(121)}{124-121}=f'(x_P)$$ y como $f'(x)=\dfrac{1}{2\,\sqrt{x}}$, podemos escribir $$\sqrt{124}=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x_P}}+11 \quad \quad (1)$$ Teniendo en cuenta ahora que $11^2\prec x_P\prec 124 \prec 12^2$, se tiene que $11 \prec \sqrt{x_P} \prec 12$ con lo cual $\dfrac{1}{12}\prec \dfrac{1}{\sqrt{x_P}}\prec \dfrac{1}{11}$. En consecuencia, de (1), ha de cumplirse que $$\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{12}+11 \prec \sqrt{124} \prec \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{11}+11$$ esto es $$\dfrac{89}{8}\prec \sqrt{124}\prec \dfrac{245}{22}$$
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El teorema de Lagrange y la desigualdad de Bernoulli

El teorema de Lagrange ( o del valor medio ) sirve para demostrar desigualdades entre funciones, por ejemplo la desigualdad de Bernouilli, que dice lo siguiente: para todo $x \succ 0$ y para cualquier número real $k \succ 1$ se cumple la llamda desigualdad de Bernoulli: $$(1+x)^k \succ 1 +k\,x$$ Procedamos a demostrarla:

La función $f(x)=(1+x)^k$ es continua en el intervalo $[0,x] \subset \mathbb{R}$ y derivable en el intervalo $(0,x)$, con lo cual se cumple la tesis del teorema de Lagrange: existe un $x_P$, $0\prec x_P \prec x$, tal que $$\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(x_P)$$ Como $f(0)=(1+0)^k=1$, tenemos que $$(1+x)^k-1=x\,f'(x_P)$$ Y teniendo en cuenta que $f'(x)=k\,(1+x)^{k-1}$ podemos escribir $$(1+x)^k-1=k\,x\,(1+x_P)^{k-1}$$ esto es $$(1+x)^k=1+k\,x\,(1+x_P)^{k-1}$$ Ahora bien, $(1+x_P) \succ 1$ luego $(1+x_P)^{k-1}\succ 1$ y, en consecuencia, $$(1+x)^k\succ 1+k\,x$$
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Aplicaciones del teorema de Lagrange ( o del valor medio )

ENUNCIADO. Dada la función $f(x)=3x^2$, encuéntrese un punto en el que la recta tangente a la curva en dicho punto sea paralela a la cuerda que une los puntos $A(0,0)$ y $B(4,48)$

SOLUCIÓN. Como la función $f$ es continua y derivable para cualquier valor $x$ de $\mathbb{R}$, desde luego lo es también para todos los números reales comprendidos entre $0$ y $4$, ambos incluidos, luego estamos en condiciones de aplicar el teorema del valor medio o de Lagrange. Existe pues un punto $P$ de abscisa $x_P$ tal que $$\dfrac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}=f'(x_P)$$ por lo que, con los datos del problema, podemos escribir $$\dfrac{48-0}{4-0}=f'(x_P)$$ y teniendo en cuenta que $f'(x)=6x$, tenemos que $$\dfrac{48-0}{4-0}=6\,x_p \Rightarrow x_P=2$$ luego $y_P=f(x_P)=f(2)=3\cdot 2^2=12$, por lo que el punto pedido es $P(2,12)$
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Teoremas básicos acerca de funciones continuas y derivables

TEOREMAS BÁSICOS SOBRE CONTINUIDAD

Teorema de Weierstrass. Una función real de variable real, $f(x)$, continua en un intervalo cerrado y acotado, entonces dicha función está acotada y alcanza la menor de las cotas superiores ( supremo ) y la mayor de las cotas inferiores ( ínfimo ) dentro del mismo, es decir, alcanza los valores máximo y mínimo en puntos de dicho intervalo. En otras palabras, existen $x_1,x_2 \in [a,b]$ tales que $f(x_1)=\text{min}\,\{f(x)\}$ y $f(x_2)=\text{max}\,\{f(x)\}$

Nota: Desde luego, al hablar aquí de máximo y mínimo, no debe entenderse que éstos han de ser necesariamente máximos y mínimos relativos ( locales ).

Teorema de Bolzano. Sea $f(x)$ una función real de variable real, continua en un intervalo cerrado, y tal que en sus extremos los valores de función son de signos opuestos, entonces existe por lo menos una raíz de la función que pertenece a dicho intervalo.

Corolario (Teorema de los valores intermedios)
Con las premisas del teorema de Bolzano, se tiene que para cualquier $f(a) \le k \le f(b)$ existe al menos un valor $c \in [a,b]$ tal que $f(c)=k$

Nota: No debe confundirse el teorema de los valores intermedios con el teorema del valor medio ( o teorema de Lagrange ), que se expondrá a continuación.

TEOREMAS BÁSICOS SOBRE DERIVABILIDAD DE FUNCIONES CONTINUAS EN UN CIERTO INTERVALO

Teorema de Fermat. Sea $f(x)$ una función real de variable real, definida en cierto entorno del punto $x_0$, siendo tal que en dicho punto la función es derivable, y toma en él el valor máximo ó el v. mínimo, entonces $f'(x_0)=0$


Teorema de Rolle. Sea $f(x)$ una función real de variable real, continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$; entonces, si $f(a)=f(b)$ existe por lo menos un punto $c \in (a,b)$ tal que $f'(c)=0$.

Teorema de Lagrange ( o del valor medio). Sea $f(x)$ una función real de variable real, continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$; entonces existe al menos un punto $c \in (a,b)$ tal que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en este punto es igual a la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$, esto es, $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Teorema de Cauchy. Sean dos funciones reales de variable real, $f(x)$ y $g(x)$, continuas en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivables en $(a,b)$; entonces existe al menos un punto $c \in (a,b)$ tal que $\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

Observación: Una consecuencia de este teorema es la regla de L'Hôpital, muy útil para trabajar con indeterminaciones en el cálculo de límites:
i) Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,g(x)=0$ y existe $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$, entonces $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$$

ii) Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,g(x)=\infty$ y existe $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$, entonces $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$$

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