Expresión de una función cualquiera como suma de una función par y una función impar

ENUNCIADO. Demuéstrese que toda función puede expresarse como suma de una función par y una función impar

SOLUCIÓN. Recordemos que una función $g(x)$ es par si $g(x)=g(-x)$ y es impar si $g(x)=-g(-x)$. Sea $f$ una función cualquiera, entonces:

Podemos escribir una función par de la forma $p(x)=\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))$; en efecto, $p$ es par, pues $p(-x)=\dfrac{1}{2}\,(f(-x)+f(-(-x))=\dfrac{1}{2}\,(f(-x)+f(x))=\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))=p(x)$

También podemos escribir una función impar, de la forma $i(x)=\dfrac{1}{2}\,(f(x)-f(-x))$; en efecto, $i$ es impar, pues $i(-x)=\dfrac{1}{2}\,(f(-x)-f(-(-x))=\dfrac{1}{2}\,(f(-x)-f(x))=-\dfrac{1}{2}\,(f(x)-f(-x))=-i(x)$

Y, sumando $p(x)$ e $i(x)$, obtenemos la función $f$: $$p(x)+i(x)=\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))+\dfrac{1}{2}\,(f(x)-f(-x))=\dfrac{1}{2}\cdot 2 \,f(x)=f(x)$$

$\square$