Aplicaciones de la derivada

ENUNCIADO. Sobre un montón de arena en forma de cono está cayendo arena a razón de $10\,\dfrac{\text{dm}^3}{\text{min}}$. El radio de la base se mantiene siempre igual a la mitad de la altura del montón de arena. ¿ A qué velocidad crece la altura del montón cuando éste tiene $5\,\text{dm}$ de altura ?.

SOLUCIÓN. Denotemos por $h$ la altura del cono; por $r$ el radio de la base, y por $t$ la variable tiempo. Como $r(t)=\dfrac{1}{2}\,h(t)$, el volumen del cono viene dado por la función $$V(t)=\dfrac{1}{3}\,\pi\,\left( \dfrac{1}{2}\,h(t) \right)^2\cdot h(t)$$ esto es $$V(t)=\dfrac{\pi}{12}\,(h(t))^3$$

Sabemos que $\dfrac{dV(t)}{dt}=1\,\dfrac{\text{dm}^3}{\text{min}}$. Por otra parte, derivando la función $V(t)$ vemos que $\dfrac{dV(t)}{dt}=3\cdot \dfrac{\pi}{12}\,(h(t))^2\,\dfrac{dh}{dt}$ y simplificando, $\dfrac{dV(t)}{dt}=\dfrac{\pi}{4}\,(h(t))^2\,\dfrac{dh(t)}{dt}$, con lo cual $$\dfrac{\pi}{4}\,(h(t))^2\,\dfrac{dh(t)}{dt}=1$$ Entonces, denotando por $v(t)\equiv \dfrac{dh(t)}{dt}$ la velocidad de crecimiento de la altura del montón, y despejando, se obtiene, $$v(t)=\dfrac{4}{\pi\,(h(t))^2}$$ En consecuencia, cuando $h:=5\,\text{dm}$ la velocidad de crecimiento de la altura del montón es $$v=\dfrac{4}{\pi\cdot 5^2} \approx 0,05 \,\dfrac{\text{dm}}{\text{min}}$$
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