Expresión de una función que no es ni par ni impar como suma de una función par y una función impar

ENUNCIADO. La función $f(x)=|x-1|$ no es par ni es impar. Exprésese dicha función como suma de una función par y una función impar.

SOLUCIÓN. Por otro ejercicio expuesto en este mismo blog, sabemos que podemos expresar $f(x)$ como $p(x)+i(x)$ donde $p(x)=\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))$ e $i(x)=\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))$. Veamos cuáles son, en nuestro caso, las funciones $p(x)$ e $i(x)$:

$p(x)\equiv\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|+|-x-1|)=$
  $=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|+|(-1)\cdot(x+1)|)=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|+|(x+1)|)$

$i(x)\equiv\dfrac{1}{2}\,(f(x)-f(-x))=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|-|-x-1|)=$
  $=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|-|(-1)\cdot(x+1)|)=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|-|(x+1)|)$

Y, en efecto, podemos comprobar que
$p(x)+i(x)=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|+|(x+1)|)+\dfrac{1}{2}\,(|x-1|-|(x+1)|)=$
  $=2\cdot \dfrac{1}{2}\,|x-1|=|x-1|=f(x)$

$\square$