Aplicaciones del teorema de Lagrange ( o del valor medio ) a la aproximación del valor de una función en un punto

ENUNCIADO. Aproximar $\sqrt{124}$ a partir de la aplicación del teorema de Lagrange a la función $f(x)=\sqrt{x}$

SOLUCIÓN. Observemos que $11^2=121 \prec 124$ y que $(11+1)^2=12^2=144 \succ 124$, y teniendo en cuenta que la función $f(x)=\sqrt{x}$ ( tomado el valor absoluto de la raíz cuadrada ) es continua en $[11,12] \subset \mathbb{R}$ y derivable en el intervalo $(11,12)$, estamos en condiciones de aplicar el teorema del valor medio ( o de Lagrange ); así que existe un punto $x_P$, comprendido entre $11$ y $12$, tal que $$\dfrac{f(124)-f(121)}{124-121}=f'(x_P)$$ y como $f'(x)=\dfrac{1}{2\,\sqrt{x}}$, podemos escribir $$\sqrt{124}=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x_P}}+11 \quad \quad (1)$$ Teniendo en cuenta ahora que $11^2\prec x_P\prec 124 \prec 12^2$, se tiene que $11 \prec \sqrt{x_P} \prec 12$ con lo cual $\dfrac{1}{12}\prec \dfrac{1}{\sqrt{x_P}}\prec \dfrac{1}{11}$. En consecuencia, de (1), ha de cumplirse que $$\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{12}+11 \prec \sqrt{124} \prec \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{11}+11$$ esto es $$\dfrac{89}{8}\prec \sqrt{124}\prec \dfrac{245}{22}$$
$\square$