Optimización. Extremos relativos de funciones.

ENUNCIADO. Considérese un sector circular, de radio $r$, cuya longitud de arco viene fijada por la cantidad $\ell$, y tal que el perímetro de la figura así formada sea igual a $100$ milímetros. Para qué valor de $r$ el área es máxima ?

SOLUCIÓN. Procedemos a encontrar la función $f(r)$ que proporcione el valor del área del sector circular en función de la variable $r$. Como el área de un círculo de radio $r$ es $\pi\,r^2$, el área $\mathcal{A}$ del sector circular cuya longitud de arco sea $\ell$ se obtiene planteando una simple proporción directa $$\dfrac{\mathcal{A}}{\ell}=\dfrac{\pi\,r^2}{2\,\pi\,r} \Rightarrow \mathcal{A}=\dfrac{\ell\,r}{2}\quad \quad (1)$$ Por otra parte, la ligazón entre $\ell$ y $r$ viene determinada por la condición del problema $$100=2r+\ell$$ y por tanto $$\ell=2\,(50-r)$$ Así pues, sustituyendo en (1) y simplificando llegamos a $$\mathcal{A}\rightarrow f(r)=r\,(50-r)$$
Imponiendo la condición necesaria para encontrar extremos relativos $$f'(r)=0$$ vemos que $$1\cdot (50-r)-r=0$$ luego $$r^{*}=\dfrac{50}{2}=25\,\text{mm}$$ abscisa que corresponde a un máximo local, pues por el criterio del signo de la segunda derivada en el punto en cuestión, $$f''(25)=-2 \prec 0$$
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